1、 万有引力与天体运动一、考点聚焦12万有引力定律 21万有引力定律的应用人造地球卫星的运动（限于圆轨道） 22宇宙速度 二、知识扫描1万有引力定律：（1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比（2）表达式： r 为两质点或球心间的距离； G 为万有引力恒量（1798 年由21mGF英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出） 21/067.kgmN（3）适用条件：适用于两个质点或均匀球体2万有引力定律的应用（1）行星表面物体的重力：重力近似等于万有引力（2）重力加速度：表面重力加速度： 202RGMgmRG轨道上的重力加速度： 2
2、2hh3天体的运动（1）运动模型：天体运动可看成是匀速圆周运动 其引力全部提供向心力（2）人造地球卫星：由 可得： r 越大，v 越小22rvmMGGM由 可得： r 越大， 越小23由 可得： r 越大，T 越大rTr222由 可得： r 越大，a 向 越小向maMG2 2GM向4宇宙速度（1）第一宇宙速度：v=7.9km/s可理解成：是发射卫星进入最低轨道所必须具有的最小速度是卫星进入轨道正常运转的最大环绕速度，即所有卫星的环绕速度均小于 7.9km/s（2）第二宇宙速度：v=11.2km/s（3）第三宇宙速度：v=16.7km/s三、好题精析例 1从地球上发射的两颗人造地球卫星 A 和
3、B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RARB=41，求它们的线速度大小之比错在没有考虑重力加速度与高度有关根据万有引力定律知道：mAgA=G (1)2AM地mBgB=G 2BR地由(1)/得， gA= gB162BA16可见，该同学把 A、B 两卫星的重力加速度 gA，g B 当作相同的 g 来处理是不对的正确解答：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有G =mA 2RM地 v2G =mB 2地2由/，得 = 2BAvR21ABRv例 2在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星它们围绕两球连线上的某一点作圆周运动由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变已知两
4、星质量分别为M1 和 M2，相距 L，求它们的角速度解：如图 4-4-1 所示，设 M1 的轨道半径为 r1，M 2 的轨道半径为r2，由于两星绕 O 点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为 ，根据牛顿第二定律有：而2121GrL212GrL12rLM1 M2O图 4-4-1以上三式联立解得： 12()GML点评：双星之间的万有引力是一对相互作用力，分别提供各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变，且角速度相同；这类双星模型在列方程时要注意：用万有引力定律时两颗星之间的距离与向心加速度中星球作匀速圆周运动的轨道半径不等例 3某星球自转的周期为 T，在它的两极处用
5、弹簧秤称得某物重为 W，在赤道上称得该物重为 W，求该星球的平均密度 解析在星球的两极物体受星球的引力与弹簧的弹力作用，因该处的物体无圆运动，处于静止状态，有 FGMmR引 2又 ，代入式后整理得 MV4334GRm在星球赤道处，物体受星球的引力与弹簧的弹力作用，物体随星球自转做圆运动，所以FWmTR引 2又 引FWT2 整理后得： R()24 32WG()例 4如图 4-4-2 所示为宇宙中有一个恒星系的示意图， A 为该星系的一颗行星，它绕中央恒星 O 运行轨道近似为圆，天文学家观测得到 A 行星运动的轨道半径为 R0，周期为 T0（1）中央恒星 O 的质量是多大？（2）长期观测发现，A
6、行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔 t0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是 A 行星外侧还存在着一颗未知的行星 B（假设其运行轨道与 A 在同一平面内，且与 A 的绕行方向相同） ，它对A 行星的万有引力引起 A 轨道的偏离根据上述现象及假设，你能对未知行星 B 的运动得到哪些定量的预测解析（1）设中央恒星质量为 M，A 行星质量为 m，则有 解得： 0220)(RTmG2034GTR（2）如图 4-4-3 所示，由题意可知：A 、B 相距最近时， B对 A 的影响最大，且每隔 t0 时间相距最近设 B 行星周期为 TB，则有：图 4-4-3A
7、O图 4-4-2A O10BTt解得： 0t该 B 行星的质量为 m，运动的轨道半径为 RB，则有BRTMG22)(由、可得： 3200)(TtB例 5某网站报道：最近南亚某国发射了一颗人造环月卫星，卫星的质量为 1000kg，环绕周期为 1h一位同学对新闻的真实性感到怀疑，他认为，一是该国的航天技术与先进国家相比还有差距，近期不可能发射出环月卫星；再是该网站公布的数据似乎也有问题，他准备用所学知识对该数据进行验证他记不清引力恒量的数值且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径约为地球半径的 ，地球半径为 6400km，月球表面重力加速度约为地球表面的 ，地球表面的重力加41 61速度可取 2s
8、/m0，他由上述这些数据经过推导分析，进一步认定该新闻不真实请你也根据上述数据，运用物理学的知识，写出推导判断过程解析设月球的质量为 M，半径为 r0，卫星的质量为 m，环绕周期为 T，半径为 r，有=m 2r 得 T=2 （1 ）rrG22)(GMr3在月球表面，有 G =mg 月 得 GM=g 月 r20rm20代入（1）式，得 T=2 （2）03月由（2）可知，卫星轨道半径 r 越小，周期 T 则越短，取 r=r0，周期有最小值 TminTmin=2 （3）月g0据题意，r 地 =4r0，g 地 =6g 月 代入（3）式，得T min=2 =2 6/4地地 地地r2T min=2 =23
9、.14 S=6000s=1.7h地地gr3104.63由于环月卫星的周期至少要 1.7h，远大于新闻中环月卫星周期 1h，所以新闻报道中数据有误点评本题牵涉到两颗星球的两颗卫星，由题意，应根据人造环月卫星的周期判断新闻是否真实由于它们的运动模型相同，因而只要研究其中的一个列方程求出通式，再用比值法就很容易地求出人造环月卫星的周期的特点，为判断提供证据四、变式迁移1人造地球卫星的轨道可以是这样的（ ）A与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆B与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相
10、对地球表面是运动的五、能力突破1卡文迪许巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里测出了万有引力恒量的数值，在他的实验装置中，下列哪些措施是为了测量极小的引力而采取的？（ ）A将测量力变为测量力矩B使固定小球的质量尽可能大些C用镜尺法显示扭秤的偏转情况D把实验装置放在恒温箱内2下列说法中正确的是（ ）A因 F=m 2r，所以人造地球卫星轨道半径增大到 2 倍时，向心力将增大到 2 倍B因 F=mv2/r，所以人造地球卫星轨道半径增大到 2 倍时，向心力将减小到原来的 1/2C因 F=GMm/r2，所以人造地球卫星轨道半径增大到 2 倍时，向心力减小为原来的 1/4D仅知道卫星轨道半径变化，无法确定向
11、心力的变化3在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说” ，这种学说认为万有引力常量 G 在缓慢减小根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（ ）A公转半径 R 较大 B公转周期 T 较小C公转速率 v 较大 D公转角速度 较小4已知第一宇宙速度为 7.90 千米/秒，如果一颗人造卫星距地面的高度为 3 倍的地球半径，它的环绕速度是（ ）A7.90km/s B3.95 km/sC1.98km/s D由于卫星质量不知，所以不能确定5如果有一星球的密度跟地球的密度相同，又已知它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的 2 倍，则该星球质量与地球质量之比是（ ）A B
12、2 C8 D1 816利用下列哪组数据，可以计算出地球质量（ ）A已知地球半径和地面重力加速度B已知卫星绕地球作匀速圆周运动的轨道半径和周期C已知月球绕地球作匀速圆周运动的周期和月球质量D已知同步卫星离地面高度和地球自转周期7地球的公转周期和公转轨道半径分别为 T 和 R；月球的公转周期和公转轨道半径分别为t 和 r，则太阳质量与地球质量之比为（ ）A B C DtRTr32RtrT32rTRtRtrT28地球半径 R=6400km，地面上的重力加速度 g=9.8m/s2，地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的 34%试估算地核的平均密度 (结果取两位有效数字)9两颗卫星
13、在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动地球半径为 R，a 卫星离地面的高度等于 R，b 卫星离地面高度为 3R则（1）a、b 两卫星周期之比为 TaT b 是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则 a 至少经过多少个周期两卫星相距最远？102003 年 10 月 15 日，我国成功发射了“神舟”五号载人宇宙飞船火箭全长583m，起飞质量为 479.8t，刚起飞时，火箭竖直升空，航天员杨利伟有较强的超重感，仪器显示他对座舱的最大压力达到他体重的 5 倍飞船进入轨道后，21h 内环绕地球飞行了 14 圈，将飞船运行的轨道简化为圆形求点火发射时，火箭的最大推力 （g 取 10m/s
14、2）飞船运行轨道与同步卫星的轨道半径之比2009 年高考新题一、选择题1.（16全国19）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7 倍，是地球的 25 倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为 1.4 小时，引力常量G=6.6710-11Nm2/kg2,由此估算该行星的平均密度为 （ ） A.1.8103kg/m3 B. 5.6103kg/m3 C. 1.1104kg/m3 D.2.9104kg/m3解析：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供 22TRmMG,可求出地球的质量.然后根据 34RM,可得该行星的密度约为2.9104kg/
15、m3。2.（15上海物理8）牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿 （ ）A接受了胡克等科学家关于 “吸引力与两中心距离的平方成反比 ”的猜想B根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即 Fm 的结论C根据 Fm 和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出 Fm1m2D根据大量实验数据得出了比例系数 G 的大小解析：题干要求“在创建万有引力定律的过程中” ，牛顿知识接受了平方反比猜想，和物体受地球的引力与其质量成正比，即 Fm 的结论，而提出万有引力定律后，后来利用卡文迪许扭称测
16、量出万有引力常量 G 的大小，只与 C 项也是在建立万有引力定律后才进行的探索，因此符合题意的只有 AB。3.（15广东物理5）发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近 （ ） A地球的引力较大 B地球自转线速度较大C重力加速度较大D地球自转角速度较大解析：由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道，在靠进赤道处的地面上 的物体的线速度最大，发射时较节能，因此 B 正确。4.（16江苏物理 3）英国新科学家（New Scientist） 杂志评选出了 2008 年度世界 8项科学之最，在 XTEJ1650-500
17、双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约 45km，质量 M和半径 R的关系满足2McG（其中 为光速， G为引力常量） ，则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ）A 8210m/s B 102m/sC D 4解析：处理本题要从所给的材料中，提炼出有用信息，构建好物理模型，选择合适的物理方法求解。黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为 m 物体有： mgRMG2，又有2cRG，联立解得 Rcg2，带入数据得重力加速度的数量级为 120/s，C 项正确。5.（16广东理科基础10）关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是 （
18、 ）A第一宇宙速度又叫环绕速度B第一宇宙速度又叫脱离速度C第一宇宙速度跟地球的质量无关D第一宇宙速度跟地球的半径无关解析：第一宇宙速度又叫环绕速度 A 对，B 错；根据定义有 RVmMG22可知与地球的质量和半径有关，CD 错。6.（15重庆17）据报道， “嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为 200Km 和 100Km，运动速率分别为 v1 和 v2， 那么 v1 和 v2 的比值为（月球半径取 1700Km） （ ）A. 198 B. 198 C, 819 D. 7.（09四川15）据报道，2009 年 4 月 29 日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太
19、阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为 2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为 3.39 年，直径 23 千米，其轨道平面与地球轨道平面呈 155的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为（ ） A.13.9B.123.9C.32.9D.23.9解析：小行星和地球绕太阳作圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有 2GMmR2()mRT，可知小行星和地球绕太阳运行轨道半径之比为 R1:R2321T，又根据 VGM，联立解得 V1:V231T，已知 12 3.9，则 V1:V23.9。8.（14安徽15）2009 年 2 月 11 日，俄罗
20、斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33 ”卫星在西伯利亚上空约 805km 处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（ ） A. 甲的运行周期一定比乙的长 B. 甲距地面的高度一定比乙的高C. 甲的向心力一定比乙的小 D. 甲的加速度一定比乙的大解析：由 rGMv可知，甲的速率大，甲碎片的轨道半径小，故 B 错；由公式R2T3可知甲的周期小故 A 错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故 C 错；碎片的加速度是指引力加速度由 maRG
21、M2得 2，可知甲的加速度比乙大，故 D 对。9.（09安徽16）大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于 137 亿年前的一次大爆炸。除开始瞬间外，在演化至今的大部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的。上世纪末，对 1A 型超新星的观测显示，宇宙正在加速膨胀，面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径 R 和宇宙年龄的关系，大致是下面哪个图像 （ ）解析：图像中的纵坐标宇宙半径 R 可以看作是星球发生的位移 x，因而其切线的斜率就是宇宙半径增加的快慢程度。由题意，宇宙加速膨
22、胀，其半径增加的速度越来越大。故选C。10.（14山东18）2008 年 9 月 25 日至 28 日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点 343 千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为 343 千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为 90 分钟。下列判断正确的是 （ ）A飞船变轨前后的机械能相等B飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度D飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以 A 不正确。飞船在圆轨道
23、上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B 正确。飞船在此圆轨道上运动的周期 90 分钟小于同步卫星运动的周期 24 小时，根据 2T可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C 正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D 不正确。考点：机械能守恒定律，完全失重，万有引力定律提示：若物体除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力) 不做功，且其他力做功之和不为零，则机械能不守恒。根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由22Mmv
24、Gr得 Gr，由 22()MmrrT得3rGM，由2得 3， 2na可求向心加速度。PA 地球Q轨道 1轨道 211.（15福建14） “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为 r，运行速率为 v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时（ ） A.r、v 都将略为减小 B.r、v 都将保持不变C.r 将略为减小，v 将略为增大 D. r 将略为增大， v 将略为减小解析：当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，引力变大，探测器做近心运动，曲率半径略为减小，同时由于引力做正功，动能略为增加，所以速率略为增大。12.（16浙江19）在讨论地球潮汐
25、成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的 710.2倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的 400 倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是 （ ）A太阳引力远大于月球引力B太阳引力与月球引力相差不大C月球对不同区域海水的吸引力大小相等D月球对不同区域海水的吸引力大小有差异解析： 2RMF太太太，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异。13. (15广东文科基础59)关于万有引力及其应用，下列表述正确的是（ ） A人造地球卫星运行时不受地球引力作用B两物体间的万有引力跟它们质量的乘积成反比C两物体间的万有引力跟它们的距离成反比D人造卫星在地面附近绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度，称为第一宇宙速度答案：， ，
