1、1“线速度”究竟应该怎样定义？朱建廉南京市 金陵中学 （210005）关于圆周运动的“线速度”概念，很多教材都是用“弧长与时间的比值”来定义。若从其物理本质上来分析，这样的定义方式其实是犯了一个根本性错误。那么， “线速度”概念究竟应该怎样来定义呢？本文所做的相关研究就是针对着这一问题而展开的。1、教材针对“线速度”概念给出的定义在“人教版”新课标教材物理 必修 2 （2004 年 5 月第 1 版 P45）中，针对圆周运动的“线速度”给出了如下定义：圆周运动的快慢可以用物体通过的弧长与所用时间的比值来量度。例如在图 1中，物体沿圆弧由 M 向 N 运动，某时刻 t 经过 A 点。为了描述物体
2、经过 A 点附近时运动的快慢，可以从此时刻开始，取一段很短的时间 ，物体在这段时间内由 A 运t动到 B，通过的弧长为 。比值 反映了物体运动的快ltl慢，把它称为线速度（linear velocity） ，用 表示，则v（*）tlv2、教材所定义的“线速度”存在的问题教材所定义的“线速度”概念存在着若干无法解释的问题，这里仅就其中两个最主要的问题依次分析如下。（1）用“弧长与时间的比值”所定义的“线速度”不可能是矢量教材一方面用“弧长与时间的比值”定义“线速度” ，另一方面却又坚持认为“线速度”是矢量，这显然是错误的：“弧长”和“时间”都是“只有大小、没有方向”的标量， “弧长与时间的比值”
3、怎么可能会是矢量呢？教材为了使作为定义“线速度”的“弧长与时间的比值”这一标量摇身变为矢量，只能硬性为其赋予方向，教材中写道：“线速度是矢量，图 1 中物体在 A 点的线速度的方向就是 AB 位移的方向，显然，当 很小时，该方向是和半径 OA 垂直的，即和圆弧相切。t”其实，这样的描述是不确切的：“物体在 A 点的线速度的方向”怎么能是“AB 位移的方向”呢？这样的指认岂不是把“物体在 A 点的线速度的方向”寄托在“时间 ”所选t取的长短上了吗“时间 ”所选取的长短不同， “物体在 A 点的线速度的方向”也就t图 1lMNABO r2相应不同 虽然“时间 ”很小而趋于零时“物体在 A 点的线速
4、度的方向”和圆弧相t切能够让我们接受与理解，但在“时间 ”取不同值 、t1t、 时，难道“物体在 A 点的线速度的方向”2t3也就相应取如图 2 中的 AB1、AB 2、AB 3等各个位移的各种不同方向吗？教材在用“弧长与时间的比值”定义“线速度”的同时还进一步指出：“线速度也有平均值与瞬时值之分。如果所取的时间间隔很小很小，这样得到的就是瞬时线速度。 ”可见：在“时间 ”取不同t值 、 、 时，所对应的“弧长与时间的比值”就不应该是“物体在 A 点的瞬1t23t时线速度” ，而应该是“物体在通过 AB1、AB 2、AB 3等各段圆弧过程中的平均线速度” ；相应的图 2 中的 AB1、AB 2
5、、AB 3等各个位移的各种不同方向也就不应该是“物体在A 点的瞬时线速度方向” ，而应该是 “物体在通过 AB1、AB 2、AB 3等各段圆弧过程中的平均线速度方向” 。只是，一方面用“AB 弧长与时间的比值”定义“线速度” ，另一方面又将“AB 位移的方向”硬性赋予“线速度”而作为其方向，显然是不合情理的。这就是说：如果用“弧长与时间的比值”来定义“线速度” ，那么“线速度”就不可能是矢量。也不应该是在一般意义上用于描述的运动的“速度” 。 （2）用“弧长与时间的比值”其实并不能描述“圆周运动”快慢教材之所以用“弧长与时间的比值”定义“线速度” ，是由于教材的编写者误认为“弧长与时间的比值”
6、能够描述“圆周运动”的快慢，而实际上用“弧长与时间的比值”其实并不能描述“圆周运动”快慢。其理由分析如下要描述“圆周运动”的快慢，就应该了解“圆周运动” ；要了解什么是“圆周运动” ，就应该了解“运动” 。设想：如果连“运动”是什么都没能够弄清楚，那么怎样正确描述“运动”的快慢、怎样正确描述“圆周运动”的快慢呢？关于“运动”概念其定义是：物体相对于其他物体的位置变化叫做机械运动，简称运动。既然“运动”是“位置变化” ，那么“圆周运动”当然也就应该是“位置变化” ，只是其“位置变化”的范围被局限在“圆周”上而已。我们说用“弧长与时间的比值”其实并不能描述“圆周运动”快慢，其本意是指：用“弧长与时
7、间的比值”其实并不能描述被局限于“圆周”上的“位置变化”的快慢。关于这一判断，其实只需要用如图 3 所示的圆周运动的实际状况就可以给出清晰的说明：物体在半径为 R 的圆周上做圆周运动，自 A 点起经时间 t 转过 n 圈恰好又回到 A 点，则一方图 2MNAB1OrB2B33面其“位置变化”为零，另一方面其按教材给出的形如（*）式的所谓“线速度”定义而得出的“弧长与时间的比值”却不为零，为（* /）tRnv2这就是说：用“弧长与时间的比值”其实并不能描述做“圆周运动”的物体的“位置变化”的快慢、即不能描述“圆周运动”的快慢。3、圆周运动“线速度”的正确定义方式若能够明确对一般意义的“运动”的描
8、述要求，则将不难给出圆周运动的“线速度”的正确定义方式。（1）对一般意义的“运动”的描述要求由于“运动”是“位置变化” ，所以对一般意义的“运动”的描述实际上就是对“位置变化”情况的描述：针对着某一段时间，通常要求将物体“位置变化的多少” 、 “位置变化的快慢”和“位置变化的方向”这三种情况描述清楚，物理学为此给出了“位移”和“平均速度”这两个矢量 用“位移的大小”描述这段时间内“位置变化的多少” 、用“平均速度的大小”描述这段时间内“位置变化的快慢” 、用“位移”和“平均速度”这两个矢量的方向共同描述这段时间内“位置变化的方向” ；针对着某一个时刻，由于物体“位置变化的多少”必然为零而不需要
9、另行描述，所以要求给出具体描述的就只剩下“位置变化的快慢”和“位置变化的方向”这两种情况，物理学为此又给出了“瞬时速度”这个矢量 用“瞬时速度的大小”描述这一时刻“位置变化的快慢” 、用“瞬时速度的方向”描述这一时刻“位置变化的方向” 。（2）圆周运动两种“速度”的正确定义对于“圆周运动”来说，既可以将其理解为是一般意义上的“运动”所对应的“位置变化” ，又应该针对其“位置变化”被局限在“圆周”上这一重要特征而关注到其“运动”的特殊表现形式 “转动” 。因此， “圆周运动”就应该有两种不同形式的快慢，即：用“速度”概念所描述的“运动的快慢”和用“角速度”概念所描述的“转动的快慢” 。只是为了与
10、“角速度”的“角”字对应，通常又在“速度”概念的名称之前加上一个“线”字而称作为“线速度” 。圆周运动的“角速度”图 3O AR图 4OABs4和“线速度”的正确定义如下：如图 4 所示，若物体在时间 内从 A 点沿圆弧运动到 Bt点的过程中，物体发生的位移和半径所转过的角度分别记为s 和，则将“位移与时间的比值”和“角度与时间的比值”分别定义为“平均线速度”和“平均角速度” ，即和 （*）tsvt前者表示物体从 A 点沿圆弧运动到 B 点过程中“运动的平均快慢” ，后者则表示物体从 A点沿圆弧运动到 B 点过程中“ 转动的平均快慢” 。若对（*）式取“时间 趋近于零”的t极限，则“平均线速度
11、”和“平均角速度”将分别趋近于“瞬时线速度”和“瞬时角速度” ，即和 （*）tsvtlim0 ttli0前者表示物体沿圆弧运动到 A 点时“运动的瞬时快慢” ，后者则表示物体沿圆弧运动到 A点时“转动的瞬时快慢” 。4、教材错误定义“线速度”的原因分析教材之所以给出形如（*）式的“线速度”错误定义，究其原因主要有如下两条。（1）忽视了“运动”概念的准确指认而与“跑动”混淆上述分析表明：教材之所以给出了“线速度”概念的错误定义，其中一个很重要的原因就是忽视了“运动”的本质是“位置变化”这一准确的指认，从而把“弧长与时间的比值”误认为是描述圆周运动快慢的“线速度” 。其实， “弧长与时间的比值”只
12、是描述了物体沿圆周“跑动”的快慢而并非是描述物体做圆周“运动”的快慢， “跑动”的实际情况应该由“路程” （即“弧长” ）反映，而“运动”的实际效果则应该以“位移”描述。若物体沿圆周运动恰好通过一圈，则其“跑动”的实际情况是：通过的“路程”等于周长；其“运动”的实际效果是：发生的“位移”等于零。形如（*）式的定义实质上只是“路程与时间的比值”而只能描述做圆周运动的物体沿着圆周“跑动”的快慢，而绝不是描述做圆周运动的物体沿着圆周“运动”的快慢 即“位置变化”的快慢。（2）受到了“匀速圆周运动”的干扰而给出了错误定义回顾以前的中学物理教材，似乎在针对“匀速圆周运动”的“线速度”的概念就一直是沿用了
13、形如（*）式的“弧长与时间的比值”来定义的，而本文所提及的教材之所以对“圆周运动”的“线速度”给出了形如（*）式的错误定义，看来就是受到了以前的教材中对“匀速圆周运动”的“线速度”的定义方式的干扰所致。尽管对“匀速圆周运动”和5“圆周运动”来说，若将（*）式作为其“线速度”的定义式，则均将同样的犯有“以标量取代矢量”的根本性错误，但相比较而言， （*）式所给出的“弧长与时间的比值”毕竟与“匀速圆周运动”的“线速度”总还是有一些关联，而与“圆周运动”的“线速度”则没有任何关联。笔者从教以来多次针对“匀速圆周运动”的“线速度”实施教学，教学过程中相应的处理通常把握了如下所述的教学要点：要点：用于描
14、述“匀速圆周运动”的“线速度”其实就是用于描述一般意义上的“运动”的“速度” ；要点：既然“线速度”就是“速度” ，那么就应该借助于“位移”而给出定义；要点：用“位移与时间的比值”给出的是形如（*）式的“匀速圆周运动”的“平均线速度”定义式， “平均线速度”的大小比教材上所给出的形如（*）式的“弧长与时间的比值”要小；要点：针对“匀速圆周运动”的“平均线速度”取“时间 趋近于零”的极限，则t将获得形如（*）式的“匀速圆周运动”的“瞬时线速度”定义式， “瞬时线速度”的大小与教材上所给出的形如（*）式的“弧长与时间的比值”相等；要点：一方面由于在取“时间 趋近于零”的极限时相应的“弦长”与“弧长
15、”间t已经没有差别，另一方面由于“匀速圆周运动”具备着“任意相等的时间内通过的弧长都相等”的特征，所以形如（*）式的“弧长与时间的比值”其物理本质就应该被理解为是“匀速圆周运动”的“瞬时线速度”的大小；要点：综合上述要点可以判断：“匀速圆周运动”的“平均线速度”应由（*）式定义；“匀速圆周运动”的“瞬时线速度”应由（*）式定义；教材所给出的（*）式绝对不是“匀速圆周运动”的“线速度”定义式，更不是“圆周运动”的“线速度”定义式，而其物理意义只能被理解为是“匀速圆周运动”的“线速度”大小的计算式。由此看来：教材之所以受到“匀速圆周运动”的“线速度”定义方式的干扰而针对“圆周运动”的“线速度”给出（*）式所示的错误定义，实在是由于没有能够领悟到上述要点之故。希望此文能够对教材的建设、乃至对相应的教学起到一点积极的作用。以晓建的笔名发表于物理教师2009 年第 7 期
