1、- 1 -下学期高二数学 5月月考试题 05时间：120 分 满分：150 分一、选择题（每小题 5分，共 50分）1. 下列各数： , , , 中虚数的个数是 （ i423i1）A 1 B 2 C 3 D42. 一个物体的运动方程为 其中 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在 秒末2stst 3的瞬时速度是 （ ）A 米 /秒 B 米/秒 C 米/秒 D 米/秒56783. 计算 （ i)21(）A B C Dii1i2i214. 用反证法证明命题 ：“关于 方程 最多有两个实数根” ，下列x)0(acbxa假设中正确的是 只有两个实数根 最少三个实数根至少有两个实数根 少于三个实数根5.
2、曲线 在点 处的切线方程是 ln2yx1,0PA. B. C. D.1yx21yx21yx6. 设函数 的导函数为 ，且 ，则 的值为 （ )(xf)(f 3)()(ff )(f）A B C D44227. 设函数 ,则 xfln2)(A 为 的极小值点 B 为 的极大值点1x x)(fC 为 的极大值点 D 为 的极小值点2)(f 28. 在棱长为 1的正方体 中， 和 分别为ABCD1MN1A- 2 -和 的中点，那么直线 与 所成角的余弦值是 （ ）1BAMCNA B C D 525310529. 已知 0x，由不等式322214442, ,xxxx可以推出结论：*()naNa则= A
3、B C Dn32nn10. 已知偶函数 在 上可导，且 则曲线)(xfR),2()(,)1( xfff在 处的切线的斜率为 )(fy5A B C D221二、填空题（每小题 4分，共 16分）11. 复数 的虚部是 ；1i12. 函数 在 =1处取得极值，则 的值为 ；xaylna13.用数学归纳法证明等式 (3)4123()()2nnN 时，第一步验证 1n时，成立的等式是 ；14. 如图，二面角 ，线段 .， , ，lAB4Bl与 所成的角为 30,点 到平面 的距离为 ，则二面角ABl 3的大小是 ；15. 下列结论：如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的
4、射影垂直；定义运算 ，复数 z满足 ，则复数 的模为 ；acdb1iz5向量 ，有 2；类比复数 ，有 2z；第 8 题图AB第 14 题图l- 3 -满足条件 的复数 在复平面上对应点的轨迹是椭圆。2izz真命题的序号是 .一、选择题（每小题 5分，共 50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10选项 B A C B A D D A D A二、填空题（每小题 5分，共 25分）11、-1 12、-1 13、 或 254311043114、 15、 603或9.第 3个式子： 知43433 xaxaxa 3猜想： 选 D.nnNx时 ，)(1*10.由 ， 的周期为 4，所以， 在
5、处的切线4(2)(xfff )(f )(xf5斜率等于 在 处的切线斜，又 为偶函数，根据对称性， 在 处的 1切线斜率与 在 处的切线斜率相反， ，故 选 A.)(xf12)1(f 2)(5ff三、解答题（本题六小题，共 75分）16. (本小题满分 12分) 已知复数 iz（ 为虚数单位）,把复数 z的共轭复数记作 z，若 iz341，求复数 1；16.解： （5 分）2（12 分）izi117. (本小题满分 12分) 如图， , ,ABCPD平 面。的 中 点分 别 为 ABMD,求证：（1） ; (2) .CP面/17.证明：（1）由 ，可知， （4 分）的 中 点分 别 为 PAB
6、, DMPB/ DPM C BA- 4 -, 故 （6 分）CDMPBDM面，面 CDPB面/（2）由 ，得 ; 由 ， ，得 ;A平 面A中 点为 ABABCD故 ，所以 （12A面， 又面 分）18. (本小题满分 12分) 已知函数 )0(ln3)(2xxg() 求函数 的单调区间； () 求函数 在区间 上的最小值；(xg)e,2118. 解：（1） （4 分）)0(3213)( xxx由 得 ；由 得 ； （6 分）0)(xg12x或 0)(xg12x所以函数 的单调增区间为 （或 ） ，)( ),(),(单调增区间为 （或 ） 。 （8 分）1,2,（2）由（1）可知， 为 在区间
7、 的极小值点，也是最小值点，x)(ge,21故函数 在区间 上的最小值为 （12 分）)(ge,21 21ln3)(19. (本小题满分 12分) 如图,四边形 为矩形,且 , ABCDABCDPAB平,1,2, 为 的中点. 1PAEBC(1 ) 求点 C到面 PDE的距离; (2 ) 求二面角 的余弦值。EP19. (1 ) （6 分） (2 ) （12 分）6 36几何法：连接 ，易得 ，而AE2DEA第 19 题图- 5 -为直角三角形，故ADEDEA又 ，所以 ，BCP面PAP面， 2632121SED又 ，由 ，设点 C到EC PDECPV面 PDE的距离为 ，则 ，得ddSASC
8、DE31316（2）由（1）易得： ，故 ，所以 为二面角面,AEP的平面角。又 ， ,所以二面角 的余ADEPP32cosAPED弦值为 36坐标法：略20. (本小题满分 13分) 已知数列 计算， 10741,)13(2n,1S根据计算结果，猜想其前 项和 的表达式，并证明。,2S3,4 nnS20.解： ； ； ；17242S1073303猜想： （3 分）nS证明：（法一）数学归纳法：(1)当 时，左边 ；右边 ；左边=右边，猜想成立； （5 分）141S413(2)假设 时，猜想成立，即),(*Nkn（7 分），13)(23110741 k- 6 -那么，当 时，1kn 1)(32
9、)1()3(21074 kkk= （9 分）)3(13kk= = = 也成立。 （12 分）)43(12k)43(1k1)(根据（1） ， （2）可知， （ ） ，得证。 （13 分）nS*N（法二）裂项相消：（6 分）)132(1)3(2nn)(074kSn = （10 分）)1321)1(3)(1)(3 n= )1074( n= = （12 分）)31n（ ） （13 分）1Sn故 *N21.（本小题满分 14分）已知函数 在 处取得极值，且()lnbfxax13a（1）求 与 满足的关系式； （2）讨论函数 的单调区间；ab()f- 7 -（3）设函数 ，若存在 ，使得 成立，求2()3
10、gxa12,m12|()|9fmg的取值范围a21.解： （2 分）2()1(0)bfxx（1）由题意： 则， （4 分）1aba（2）由（1）令 得 ， 221()()() 0xfx1x21a列表如下：3ax (01)， 1 ()a， ()a，)f+ 0 0 +( 所以 单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 （10()fx01)， ()a， (1)a，分）（3）由（2）得 在 上单增，在 上单减， 在 上的最大值为()fx12， (12， ()fx2，. (1)0fa因为函数 在 上是单调递增函数，所以 的最小值为 . ()gx12， ()gx21304ga即 在 上恒成立.若存在 ， ，要使得 成立，f， 1m2， 12()9fm只需要 ，即 ，所以 .1()92gf213()94a8a又因为 ，所以 的取值范围是 （14 分）3a4，
