1、 1 习题 1.1 解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 CBA , 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 CBA , 中的样本点。 解： (正，正 )，（正，反），（反，正），（反，反） A (正，正 )，（正，反） ； B （正，正），（反，反） C (正，正 )，（正，反），（反，正） 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 DCBA , 分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事件 DCBABCCABAAB , 中的样本点。 解： )6,6(,),2,6(),1
2、,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( ； )1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB ； )1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( BA ； CA ； )2,2(),1,1(BC ； )4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1( DCBA 3. 以 CBA , 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 CBA , 表示以下事件： （ 1）只订阅日报； （ 2）只订日报和晚报； （ 3）只订一种报； （ 4）正好订两种报； （ 5
3、）至少订阅一种报； （ 6）不订阅任何报； （ 7）至多订阅一种报； （ 8）三种报纸都订阅； （ 9）三种报纸不全订阅。 解：（ 1） CBA ； （ 2） CAB ； （ 3） CBACBACBA ； （ 4） BCACBACAB ; （ 5） CBA ； （ 6） CBA ； （ 7） CBACBACBACBA 或 CBCABA （ 8） ABC ； （ 9） CBA 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 321 , AAA 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果： 2A , 32 AA , 21AA , 21 AA , 321 AAA , 313221 AAAAAA . 解
4、：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件 CBA , 满足 ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：CBA ， CAB ， ACB . 解： 如图： 2 BCACBCABABBCACBACABACBCCABCABCBACBABCAABCCABCBACBACBA;6. 若事件 CBA , 满足 CBCA ，试问 BA 是否成立？举例说明。 解： 不一定成立。例如： 5,4,3A ， 3B ， 5,4C ， 那么， CBCA ， 但 BA 。 7. 对于事件 CBA
5、, ，试问 CBACBA )()( 是否成立？举例说明。 解： 不一定成立。 例如： 5,4,3A ， 6,5,4B ， 7,6C ， 那么 3)( CBA ， 但是 7,6,3)( CBA 。 8. 设 31)( AP ， ，试就以下三种情况分别求 )( ABP ： （ 1） AB ， （ 2） BA ， （ 3） 81)( ABP . 解： （ 1） 21)()()()( ABPBPABBPABP ； （ 2） 61)()()()( APBPABPABP ； （ 3） 838121)()()()( ABPBPABBPABP 。 9. 已知 41)()()( CPBPAP ， 161)()(
6、 BCPACP ， 0)( ABP 求事件CBA , 全不发生的概率。 21)( BPCBA CBACBAABCBCACABCBAABCCBA3 解： )(1)( CBAPCBAPCBAP = )()()()()()()(1 ABCPBCPACPABPCPBPAP 83016116104141411 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： A “三个都是红灯” =“全红”； B “全绿”； C “全黄”； D “无红”； E “无绿”； F “三次颜色相同”； G “颜色全不相同”； H “颜色不全相同”。 解： 271
7、333 111)()()( CPBPAP ； 278333 222)()( EPD ； 91271271271)( FP ； 92333 !3)( GP ； 98911)(1)( FPHP . 11. 设一批产品共 100 件，其中 98 件正品， 2 件次品，从中任意抽取 3 件（分三种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3次），试求： （ 1） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率； （ 2） 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。 解： 一次拿 3 件： （ 1） 0588.0310012298 C CCP； （ 2） 059
8、4.031001982229812 C CCCCP； 每次拿一件，取后放回，拿 3 次： （ 1） 0576.0310098232 P ； （ 2） 0588.010098133 P ； 每次拿一件，取后不放回，拿 3 次： （ 1） 0588.039899100 97982 P ； （ 2） 0594.09899100 9697981 P 12. 从 9,2,1,0 中任意选出 3 个不同的数字，试求下列事件的概率： 501 与三个数字中不含A ， 502 或三个数字中不含A 。 4 解： 157)( 310381 CCAP； 15142)( 31038392 C CCAP或15141)(
9、310182 CCAP13. 从 9,2,1,0 中任意选出 4 个不同的数字，计算它们能组成一个 4 位偶数的概率。 解：904145 4102839 P PPP14. 一个宿舍中住有 6 位同学，计算下列事件的概率： （ 1） 6 人中至少有 1 人生日在 10 月份； （ 2） 6 人中恰有 4 人生日在 10 月份； （ 3） 6 人中恰有 4 人生日在同一月份； 解： （ 1） 41.01211166 P ； （ 2） 00061.012 116246 CP ； （ 3） 0073.012 116246112 CCP 15. 从一副扑克牌（ 52 张）任取 3 张（不重复），计算取出
10、的 3 张牌中至少有 2张花色相同的概率。 解： 602.03521392131431314 C CCCCCP或 602.0135211311311334 C CCCCP5 习题 1.2 解答 1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%， 30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。 解： 令 iA “取到的是 i 等品”， 3,2,1i 329.0 6.0)( )()( )()( 313 3131 AP APAP AAPAAP。 2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件产品中有 1 件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
11、 解： 令 A “两件中至少有一件不合格”， B “两件都不合格” 511)(1)()()()|(2102621024CCCCAPBPAPABPABP 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效的概率为 0.85，求 （ 1） 两种报警系统 I 和 II 都有效的概率； （ 2） 系统 II 失灵而系统 I 有效的概率； （ 3） 在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。 解： 令 A “系统（）有效” ， B “系统（）有效” 则 8
12、5.0)|(,93.0)(,92.0)( ABPBPAP （ 1） )()()()( BAPBPBABPABP 862.085.0)92.01(93.0)|()()( ABPAPBP （ 2） 058.0862.092.0)()()()( ABPAPABAPABP （ 3） 8286.093.01 058.0)( )()|( BP BAPBAP4. 设 ，证明事件 A 与 B 独立的充要条件是 )|()|( ABPABP 证： ： A 与 B 独立， A 与 B 也独立。 )()|(),()|( BPABPBPABP )|()|( ABPABP ： 1)(01)(0 APAP 又)( )()|
13、(,)( )()|( AP BAPABPAP ABPABP 1)(0 AP6 而由题设)( )()( )()|()|( AP BAPAP ABPABPABP 即 )()()()()(1 ABPBPAPABPAP )()()( BPAPABP ，故 A 与 B 独立。 5. 设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都是 41 ，求 )(AP 和 )(BP . 解： 41)()( BAPBAP ， 又 A 与 B 独立 41)()(1)()()( BPAPBPAPBAP 41)(1)()()()( BPAPBPAPBAP 41)()(),()( 2 APAP
14、BPAP 即 21)()( BPAP 。 6. 证明 若 )(AP 0， )(BP 0，则有 （ 1） 当 A 与 B 独立时， A 与 B 相容； （ 2） 当 A 与 B 不相容时， A 与 B 不独立。 证明： 0)(,0)( BPAP （ 1）因为 A 与 B 独立，所以 0)()()( BPAPABP ， A 与 B 相容。 （ 2）因为 0)( ABP ，而 0)()( BPAP ， )()()( BPAPABP ， A 与 不独立。 7. 已知事件 CBA , 相互独立，求证 BA 与 C 也独立。 证明： 因为 A 、 B 、 C 相互独立， )()( BCACPCBAP )(
15、)()()()()()()()()()()()()()()(CPBAPCPABPBPAPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACP BA 与 C 独立。 8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为 0.7， 0.8 和 0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解： 令 321 , AAA 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么 9.0)(,8.0)(,7.0)( 321 APAPAP 令 B 表示最多有一台机床需要工人照顾， 那么 )()( 321321321321 AAAAAAAAAAAAPBP 7 902.01.08.0
16、7.08.02.07.09.08.03.09.08.07.0)()()()( 321321321321 AAAPAAAPAAAPAAAP 9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 )10( pp ，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。 解： 令 A “系统（）正常工作” B “系统（）正常工作” iA “第 i 个元件正常工作”， ni 2,2,1 ni AAAPAP 221 ,)( 相互独立。 那么 )()()( 22121 nnnn AAAAAAPAP )2(2)()()()()()(22121122122121nnnnniinniini
17、innnnnPPPPAPAPAPAAAPAAAPAAAP )()()( 22211 nnnn AAAAAAPBP nnniniiniininiiniPPPPAPAPAPAPAA)2(2)()()()()(121110. 10 张奖券中含有 4 张中奖的奖券，每人购买 1 张，求 （ 1） 前三人中恰有一人中奖的概率； （ 2） 第二人中奖的概率。 解： 令 iA “第 i 个人中奖”， 3,2,1i (1) )( 321321321 AAAAAAAAAP 注：利用第 7 题的方法可以证 明 与 时独立。 系统 I 1 2 n n+1 n+2 2n 系统 II 1 n+1 2 n+2 n 2n
18、8 )()()( 321321321 AAAPAAAPAAAP )|()|()( )|()|()()|()|()( 213121 213121213121 AAAPAAPAP AAAPAAPAPAAAPAAPAP 21859410684951068596104 或213102614 CCCP（ 2） )|()()|()()( 1211212 AAPAPAAPAPAP 529410693104 11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出 95%的真实患者，但也有可能将 10%的人误诊。根据以往的记录，每 10 000 人中有 4 人患有肝癌，试求： （ 1）某人经此检验法诊断患
19、有肝癌的概率； （ 2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。 解： 令 B “被检验者患有肝癌”， A “用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么， 0004.0)(,10.0)|(,95.0)|( BPBAPBAP （ 1） )|()()|()()( BAPBPBAPBPAP 10034.01.09996.095.00004.0 （ 2）)|()()|()( )|()()|( BAPBPBAPBP BAPBPABP 0038.01.09996.095.00004.0 95.00004.0 12. 一大批产品的优质品率为 30%，每次任取 1 件，连续抽取 5 次，计算下列
20、事件的概率： （ 1）取到的 5 件产品中恰有 2 件是优质品； （ 2） 在取到的 5 件产品中已发现有 1 件是优质品，这 5 件中恰有 2 件是优质品。 解： 令 iB “ 5 件中有 i 件优质品”， 5,4,3,2,1,0i （ 1） 3087.0)7.0()3.0()( 32252 CBP （ 2）)( )()|()|( 0 0202512 BPBBPBBPBBPi i 371.0)7.0(1 3087.0)(1 )( 502 BPBP9 13. 每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中任取 1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由
21、于检验有误， 1 件正品被误检是次品的概率是 2%， 1 件次品被误判是正品的概率是 5%，试计算： （ 1）抽取的 1 件产品为正品的概率； （ 2）该箱产品通过验收的概率。 解： 令 A “抽取一件产品为正品” iA “箱中有 i 件次品”， 2,1,0i B “该箱产品通过验收” （ 1） 9.0101031)|()()( 2 02 0 ii ii iAAPAPAP（ 2） )|()()|()()( ABPAPABPAPBP 887.005.01.098.09.0 14. 假设一厂家生产的仪器，以概率 0.70 可以直接出厂，以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以
22、出厂，并以概率 0.20 定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了 )2( nn 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： （ 1）全部能出厂的概率； （ 2）其中恰有 2 件不能出厂的概率； （ 3）其中至少有 2 件不能出厂的概率。 解： 令 A “仪器需进一步调试” ； B “仪器能出厂” A “仪器能直接出厂” ； AB “仪器经调试后能出厂” 显然 ABAB ， 那么 8.0)|(,3.0)( ABPAP 24.08.03.0)|()( ABPPAABP 所以 94.024.07.0)()()( ABPAPBP 令 iB “ n 件中恰有 i 件仪器能出厂”， ni ,1,0 （
23、1） nnBP )94.0()( （ 2） 2222222 )06.0()94.0()06.0()94.0()( nnnnnn CCBP （ 3） nnnnnnk k CBPBPBP )94.0()94.0(06.01)()(1)(11120 15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为 p ，试求以下事件 的概率： （ 1）直到第 r 次才成功； （ 2）第 r 次成功之前恰失败 k 次； （ 3）在 n 次中取得 )1( nrr 次成功； 10 （ 4）直到第 n 次才取得 )1( nrr 次成功。 解： （ 1） 1)1( rppP （ 2） krr kr ppCP )1(1 1
24、（ 3） rnrrn ppCP )1( （ 4） rnrrn ppCP )1(11 16. 对飞机进行 3 次独立射击，第一次射击命中率为 0.4，第二次为 0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为 0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为 0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。 解： 令 iA “恰有 i 次击中飞机”， 3,2,1,0i B “飞机被击落” 显然： 09.0)7.01)(5.01)(4.01()( 0 AP 36.0 7.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01()5.01(4.0)( 1 AP41.
25、0 7.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)( 2 AP14.07.05.04.0)( 3 AP 而 0)|( 0 ABP ， 2.0)|( 1 ABP ， 6.0)|( 2 ABP ， 1)|( 3 ABP 所以 458.0)|()()( 3 0 i ii ABPAPBP ； 542.0458.01)(1)( BPBP 11 习题 1.3 解答 1. 设 X 为随机变量，且 ( ,2,1k ), 则 （ 1） 判断上面的式子是否为 X 的概率分布； （ 2） 若是，试求 ）为偶数XP( 和 )5( XP . 解： 令 ,2,1,21)( kpkXPkk（ 1
26、）显然 10 kp ， 且 1121 212111 k kk kp所以 ,2,1,21)( kkXPk为一概率分布。 （ 2） XP( 为偶数3112 1) 41411 21 2 k kk kp161121)5( 2121555 k kk kpXP2.设随机变量 X 的概率分布为 ekCkXP k!)( ( ,2,1k ), 且 0 ， 求常数 C . 解： 1!1 ekckk ， 而 1!0 ekkk 1!010 ec ， 即 1)1( ec 3. 设一次试验成功的概率为 )10( pp ，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量 X 表示试验的次数，求 X 的概率分布。 解： ,2,
27、1,)1()( 1 kppkXP k 4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整， X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求 （ 1） X 的概率分布； （ 2） )5( XP 。 解： （ 1） ,2,1,0,1.0)9.0()1()( kppkXP kk （ 2） 555 )9.0(1.0)9.0()()5( kkk kXPXP5. 一张考卷上有 5 道选择题，每道题列出 4 个可能答案，其中有 1 个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少 4 道题的概率是多少？ kkXP 21)( 12 解： 因为学生靠猜测答对每道题的概率为 41p
28、，所以这是一个 5n , 41p 的独立重复试验。 641)43()41(43)41()4( 0555445 CCXP6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为 0.01，各台设备工作情况相互独立。 （ 1）若由 1 人负责维修 20 台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率； （ 2）设有设备 100 台， 1 台发生故障由 1 人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超 过 0.01？ 解： （ 1） 0175.0)99.0(01.020)99.0(1 1920 （按 Poisson (泊松 )分布近似）
29、（ 2） 101.0100,100 npn （按 Poisson (泊松 )分布近似） 01.0!1)99.0()01.0()1( 100 111001100100 NkkNkkkk k eCNXP 查表得 4N 7. 设随机变量 X 服从参数为 的 Poisson(泊松 )分布，且 21)0( XP ，求 （ 1） ； （ 2） )1( XP . 解： 2ln,21!0)0( 0 eXP )1()0(1)1(1)1( XPXPXPXP )2ln1(212ln21211 8. 设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从 Poisson(泊松 )分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷
30、错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率。 解： )2()1( XPXP ， 即 2,!2!1 21 ee 20 eXP ）（ 842)( eeP 9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的 Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求 （ 1）某一天从中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率； （ 2）某一天从中午 12 时至下午 5 时收到 1 次紧急呼救的概率； 9. 在长度为 t 的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数 X 服从参数为 2t 的Poisson(泊松 )分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时
31、计） . 求 （ 1）某一天从中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率； （ 2）某一天从中午 12 时至下午 5 时收到 1 次紧急呼救的概率； 13 解： （ 1） 23)0(23,3 eXPt （ 2） 251)0(1)1(25,5 eXPXPt 10. 已知 X 的概率分布为： X -2 -1 0 1 2 3 P 2a 101 3a a a 2a 试求（ 1） a ； （ 2） 12 XY 的概率分布。 解： （ 1） 1231012 aaaaa 101a 。 （ 2） Y 1 0 3 8 P 103 51 103 51 11. 设连续型随机变量 X 的概率密度曲线如图 1.
32、3.8 所示 . 试求 :（ 1） t 的值； （ 2） X 的概率密度； （ 3） )22( XP . 解： （ 1） 135.0215.0)(21 t 1t f (x) 图 1.3.8 x t o 1 2 3 0.5 14 （ 2）其它，0)3,0,2161)0,1,2121)( xxxxxf（ 3）1211)2161()2121()220120 dxxdxxXP （ 12. 设连续型随机变量 X 的概率密度为 其他,0 0,s in)( axxxf试确定常数 a 并求 )6( XP . 解： 令 1)( dxxf ，即 1sin0 dxxa 1cos 0 ax ， 即 2,0cos aa
33、 23|c o ss i n)6( 2626 xx d xXP 13. 乘以什么常数将使 xxe 2 变成概率密度函数 ? 解： 令 12 dxce xx 即 141)21( 2 dxeec x 即 141 ce 411 ec14. 随机变量 ),( 2NX ，其概率密度函数为 6 44261)( xxexf ( x ) 试求 2, ；若已知 CC dxxfdxxf )()(，求 C . 解： 222)3(2 )2(6 44 32 161)( xxx eexf 2 , 32 15 若 ccdxxfdxxf )()( ，由正态分布的对称性 可知 2c . 15. 设连续型随机变量 X 的概率密度
34、为 其他,0 10,2)( xxxf以 Y 表示对 X 的三次独立重复试验中“ 21X ”出现的次数，试求概率 )2( YP . 解：412)21( 210 x d xXP 649)43()41()2( 223 CYP。 16. 设随机变量 X 服从 1,5上的均匀分布，试求 )( 21 xXxP . 如果 （ 1） 51 21 xx ； （ 2） 21 51 xx . 解： X 的概率密度为 其他,051,41)( xxf （ 1） 21 221)1(4141)( x xdxxXxP （ 2） 51211)5(4141)(xxdxxXxP 17. 设顾客排队等待服务的时间 X （以分计）服从
35、 51 的指数分布。某顾客等待服务，若超过 10 分钟，他就离开。他一个月要去等待服务 5 次，以 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求 的概率分布和 )1( YP . 解： 21051 11)10(1)10( eeXPXP 5,4,3,2,1,0,)1()()( 5225 keeCkYP kkk 5167.0)1(1)1( 52 eYP YY16 习题 1.4 解答 1. 已知随机变量 X 的概率分布为 2.0)1( XP ， 3.0)2( XP ，5.0)3( XP ，试求 X 的分布函数； )25.0( XP ；画出 的曲线。 解： 3,132,5.021,2.01,0)(xxxx
36、xF ； 5.0)25.0( XP )(xF 曲线： 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 331111,1,8.0,4.0,0)(xxxxxF 试求 :（ 1） X 的概率分布； （ 2） )1|2( XXP . 解： （ 1） X 1 1 3 P 4.0 4.0 2.0 （ 2）32)1( )1()1|2( XP XPXXP3. 从家到学校的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是 0.4，设 X 为途中遇到红灯的次数，试求（ 1） X 的概率分布； （ 2） X 的分布函数。 )(xFx)(xF0 1 2 32.05.0117 解： （ 1） 3,
37、2,1,0,)53()52()( 33 kCkXP kkk列成表格 X 0 1 2 3 p 12527 12554 12536 1258 （ 2）3,132,12511721,1258110,125270,0)(xxxxxxF4. 试求习题 1.3 中第 11 题 X 的分布函数，并画出 的曲线。 解： 313041211210141214110)(22xxxxxxxxxF 5. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 00,0 ,)(2xxBeAxFx)(xF1 x)(xF0 2 325.01118 试求 :（ 1） BA, 的值； （ 2） )11( XP ； （ 3）概率密度函数 )(xf
38、. 解： （ 1） 11)(lim)( 2 ABeAF xx又 10)0()(lim 20 ABFBeA xx（ 2） 21)1()1()11( eFFXP （ 3） 0,0 0,2)()( 2 xxexFxf x 6. 设 X 为连续型随机变量，其分布函数为 .,;1,ln;1,)(exdexdcxxbxxaxF 试确定 中的 dcba , 的值。 解： 10)( aF 又 11)( dF 又 10)1ln(lim1 cacxxbxx又 111)1ln(lim ebedxxbxex即 1b 7. 设随机变量 X 的概率密度函数为)1()( 2xaxf ，试确定 a 的值并求和 )1( XP
39、. 解： 1)1( 2 dxxa 即 11|a r c t a n axa xxdttaxFx ,a r c t a n121)1()( 2 5.0)1a r c t a n (121)1a r c t a n121()1()1()1|(|FFXP 8. 假设某地在任何长为 t (年 )的 时间间隔内发生地震的次数 )(tN 服从参数为1.0 的 Poisson(泊松 )分布， X 表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求 : （ 1）证明 X 服从指数分布并求出 X 的分布函数； （ 2）今后 3 年内再次发生地震的概率； （ 3）今后 3 年到 5 年内再次发生地震的概率。 )(x
40、F)(xF19 解： （ 1） 当 0t 时， tetNPtXP 1.0)0)()( tetXPtXPtF 1.01)(1)()( 当 0t 时， 0)( tF 00 01)( 1.0 xxexF x X 服从指数分布 （ 1.0 ） （ 2） 26.01)3( 31.0 eF （ 3） 13.0)3()5( FF 9. 设 )16,1( NX ，试计算（ 1） )44.2( XP ； （ 2） )5.1( XP ；（ 3）)4( XP ； （ 4） )11( XP . 解： （ 1） 8051.0)444.3()4 )1(44.2()44.2( XP （ 2） )5.1(1)5.1( XPX
41、P 5498.0)81(1)4 15.1(1 （ 3） )4 14()4 14()4|(| XP )43()45( 6678.01)43()45( （ 4） )2()0()2()0()1|1(| XPXPXXPXP )4 12(1)4 10( 8253.0)43(1)41( 10. 某科统考成绩 X 近似服从正态分布 )10,70( 2N ，第 100 名的成绩为 60 分，问第 20 名的成绩约为多少分？ 解： 10020)60|( XxXP 而 )60( )()60( )60()()60|( XP xXPXP XxXPXxXP 又 8413.0)1(10 70601)60( XP16826
42、.08413.02.0)( xXP 20 即 16826.0)1(10 701)( xxXP83174.010 70 x， 96.01070 x ， 6.79x 11. 设随机变量 X 和 Y 均服从正态分布， )4,( 2NX ， )5,( 2NY ， 而)4(1 XPp ， ，试证明 21 pp . 证明： )1(44)4(1 XPp )1()1(1551)5(2 YPp21 pp . 12. 设随机变量 X 服从 a,b上的均匀分布，令 dcXY 0c ，试求随机变量 Y 的密度函数。 解： 其它,0,| 1)( bc dyacc dyfyf XY当 0c 时， 其他,0,)( 1)( dcbydacabcyfY当 0c 时， 其他,0,)( 1)( dcaydbcabcyfY)5(2 YPp21
