1、概率论与数理统计习题答案详解版( 廖茂新复旦版 )习 题 一1.设 A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算式表示下列事件：（1） A 发生而 B 与 C 都不发生；（2） A，B，C 至少有一个事件发生；（3） A，B，C 至少有两个事件发生；（4） A，B，C 恰好有两个事件发生；（5） A，B 至少有一个发生而C 不发生；（6） A，B，C 都不发生 .解：（1）A BC 或 A B C 或 A （BC）.（2）ABC.（3）（AB）（ AC）（ BC）.（4）（ABC ）（ AC B ）（ BC A ）.（5）（AB） C .（6） ABC 或 ABC .2. 对于任意事件 A，B
2、，C，证明下列关系式：（1）(A+B) (A+ B )( A + B)( A + B )=；（2）AB+ A B +A B + A BAB = AB；（3）A-(B+C)= (A-B)-C.证明：略 .第1 页共 41 页3.设 A，B 为两事件， P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求：（1） A 发生但 B 不发生的概率；（2） A，B 都不发生的概率；（3） 至少有一个事件不发生的概率.解（1） P（A B ）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；(2) P( AB )=P( A B )=1-P(AB)=1-0.7=0.3；(3) P( A B
3、 ）=P( AB ）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4. 调查某单位得知。 购买空调的占 15，购买电脑占 12，购买 DVD的占 20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与 DVD占 10%，购买电脑和 DVD占 5，三种电器都购买占2。求下列事件的概率。（1）至少购买一种电器的；（2）至多购买一种电器的；（3）三种电器都没购买的 .解：（1） 0.28,（2）0.83,（3） 0.725.10 把钥匙中有 3 把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。解： 8/156. 任意将 10 本书放在书架上。其中有两套书，一套3 本，另一套 4本。求下列事件的概率。（1）3 本一套放在一
4、起；（2）两套各自放在一起；（3）两套中至少有一套放在一起.解： （1）1/15， （ 2）1/210， （3）2/21第2 页共 41 页7. 12 名新生中有 3 名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求：（ 1） 每班各分配到一名优秀生的概率；（ 2） 3 名优秀生分配到同一个班的概率 .解 12 名新生平均分配到三个班的可能分法总数为44412!C12C 8C4(4! )3（ 1） 设 A 表示“每班各分配到一名优秀生”3 名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9 名学生平均分配到 3 个班共有 9!3 种分法，由乘法原理， A 包含基本事件(3! )数为3！ 9!3
5、= 9! 2(3! )(3!)故有P（A）= 9! 2/ 12!3 =16/55(3!)(4! )（ 2） 设 B 表示“ 3 名优秀生分到同一班” ，故 3 名优秀生分到同一班共有 3 种分法，其他9 名学生分法总数为 C19C84C44 9!，故由乘法原理， B 包含样本总数为 3 9! .1!4!4!1!4!4!39!12!故有P（B）= 4！2/ 4！3 =3/558.箱中装有 a 只白球， b 只黑球，现作不放回抽取，每次一只.（1） 任取 m+n 只，恰有 m 只白球， n 只黑球的概率（ ma,n第3 页共 41 页b）;(2) 第 k 次才取到白球的概率（ kb+1）;（3）
6、第 k 次恰取到白球的概率 .解 （1）可看作一次取出 m+n 只球，与次序无关，是组合问题 . 从 a+b 只球中任取 m+n 只，所有可能的取法共有 Cma bn 种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.从a 只白球中取 m 只，共有 Cma 种不同的取法，从 b 只黑球中取 n 只，共有 Cnb 种不同的取法 .由乘法原理知，取到 m 只白球， n 只黑球的取法共有 C ma Cnb 种，于是所求概率为m n C C(2) 抽取与次序有关 .每次取一只，取后不放回，一共取 k 次，每种取法即是从 a+b 个不同元素中任取 k 个不同元素的一个排列， 每种取法
7、是一个基本事件，共有 Pak b 个基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同 .前 k-1 次都取到黑球，从 b 只黑球中任取k-1 只的排法种数， 有 Pbk 1 种，第 k 次抽取的白球可为 a 只白球中任一只，有 Pa1种不同的取法 .由乘法原理，前 k-1 次都取到黑球，第 k 次取到白球的取法共有 Pbk 1Pa1 种，于是所求概率为k11p2= Pb k Pa .Pa b(3) 基本事件总数仍为 Pak b .第 k 次必取到白球，可为 a 只白球中任一只，有 Pa1 种不同的取法，其余被取的 k-1 只球可以是其余 a+b-1只球中的任意 k-1 只，共有 Pak b
8、1 1 种不同的取法，由乘法原理，第k 次第4 页共 41 页恰取到白球的取法有 Pa1 Pak b11 种，故所求概率为Pa1Pak b11ap3=Pak ba b .9.在区间（ 0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4 的概率 .解设在（ 0，1）内任取两个数为 x,y，则0x1,0y1图 1-7即样本空间是由点（ x，y）构成的边长为 1 的正方形，其面积为1.令 A 表示“两个数乘积小于1/4”，则A= （x,y） 0xy1/4,0x1,0y1事件 A 所围成的区域见图1-7，则所求概率第5 页共 41 页1111(11 )dx1dxdy1/41 3P(A) =1/41/4
9、x14x1411 / 41 dx11 ln 2 .4x4210.两人相约在某天下午500600 在预定地方见面，先到者要等候 20 分钟，过时则离去 .如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率 .解设 x,y 为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60 的正方形内，这个正方形就是样本空间,而两人能会面的充要条件是x-y 20，即x-y20 且 y-x20.令事件 A 表示“两人能会到面” ，这区域如图1-8 中的 A.则m( A)6024025P(A) = m( )6029.11.一盒中装有 5 只产品，其中有 3 只正品， 2
10、 只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率.解设 A 表示“第一次取到正品”的事件，B 表示“第二次取到正品”的事件由条件得P（A）=(34)/(54)= 3/5，P(AB)= (32)/(54)= 3/10，第6 页共 41 页故有P（BA）=P（AB）/P（A）=(3/10)/( 3/5)=1/2.此题也可按产品编号来做，设 1，2，3 号为正品， 4，5 号为次品，则样本空间为 =1 ，2，3，4，5 ，若 A 已发生，即在 1，2，3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有 4 只产品，其中有 2 只正品，故得P（
11、BA）=2/4=1/2.12. 设 P（ A ）=0.3,P(B)=0.4,P(A B )=0.5，求 P（BA B ).解P( B A U B)P( AB)P( A) P( AB)P( A U B)P( A)P(B)P( AB)0.70.510.70.60.5413.设盒中有 m 只红球， n 只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k 只与所取颜色相同的球 .若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率.解设 Ri(i=1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件，Ri(i=1,2,3,4)表示第 i 次取到白球的事件 .则有P( R1 R2 R3 R4
12、) P( R1)P( R2 R1) P( R3 R1R2 ) P(R4 R1R2 R3 )mm knn k.mnmnkmn2kmn3k14. 仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为 1/10,1/15,1/20. 从这十箱产品中任取一件产品，求取得第7 页共 41 页正品的概率。解： 0.9215. 有两箱同类零件，第一箱有 50 个，其中 10 个一等品，第二箱有30 个，其中 18 个一等品。现任取一箱，从中任取零件两次，每次取一个，取后不放回。 求：（1）第二次取到的零件是一等品的概率； （2）在第一
13、次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率； （3）两次取到的都不是一等品的概率。解：设A表示取到第一箱零件，Bi (i1,2)：表示第次取到一等品，由全概率公式知：P( A) P( B2 BA)P( A)P(B1 B2A) P(A) P( B2B A)P( B2 )P( A) P(B1B2 A)11C102C101C401C182C181C121)0.40.5( 2222C50A50C30A30P(B2 B1 )P(B1B2 )P(B1B2A)P( A)P( B1 B2A) P( A)P( B1 )P( B1 A)P( A)P( B1A)P( A)0.5(C1022C1822 )C50
14、C300.48560.5(0.20.6)1B21B2A)12A)C402C122P( B) P( A) P( BP( A)P( B B0.5( 22 ) 0.3942C50C3016. 设有甲乙两袋，甲袋中有 n 只白球、m 只红球；乙袋中有 N 只白球、M 只红球 . 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球.第8 页共 41 页问从乙袋中取到白球的概率是多少？解：记 A1：甲袋中取得白球； A2 ：甲袋中取得红球； B ：从乙袋中取得白球；由全概率公式P( B)P( A1 U A2 ) BP( A1 B U A2 B)P(B | A1) P( A1)P(B | A2 )P( A2
15、)N1nNmMN1 mnMN1 mn17. 一箱产品， A，B 两厂生产分别个占 60，40，其次品率分别为1，2。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？解：取出产品是B 厂生产的可能性大。18.由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95现对自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率 .解设 A 表示“患有癌症”， A 表示“没有癌症”，B 表示“试验反应为阳性”，则由条件得P（A）=0.005,P(
16、 A )=0.995，P(BA)=0.95,P( B A ）=0.95由此 P（B A ）=1-0.95=0.05第9 页共 41 页由贝叶斯公式得P（AB）=P( A)P(B A)=0.087.P( A)P( B A)P( A) P(B A)19. 设每次射击的命中率为 0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于 0.9?解 设必须进行 n 次独立射击 .1 (0.8) n0.9即为(0.8) n0.1故n11至少必须进行 11 次独立射击 .20. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为1/5， 1/3，1/4，求将此密码破译出的概率.解设 Ai= 第 i
17、人能破译 （i=1,2,3），则3P( U Ai ) 1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )i 114230.653421.设在 N 件产品中有 M 件次品，现进行n 次有放回的检查抽样，试求抽得 k 件次品的概率 .解 由条件，这是有放回抽样， 可知每次试验是在相同条件下重复进行，故本题符合 n 重贝努里试验的条件，令 A 表示“抽到一件次品”第 10 页 共 41 页的事件 .则P（A）=p=M/N,以 Pn(k)表示 n 次有放回抽样中，有 k 次出现次品的概率，由贝努里概型计算公式，可知Pn(k)= Ckn ( M ) k (1M )n k ,k
18、=0,1,2,， n.NN22. 将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.解 掷 2n 次硬币，可能出现： A= 正面次数多于反面次数 ，B= 正面次数少于反面次数 ，C= 正面次数等于反面次数 ， A，B， C 两两互斥 .可用对称性来解决 .由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以P( A)1 P(C)2由 2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为P(C)C2nn ( 1)n ( 1)n22故P( A)11C2nn 122 n2习 题 二1.从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格第
19、 11 页 共 41 页品为止，所求抽取次数的分布律：（1）放回；（2）不放回 .解（ 1） P XK (3/13) k 1 (10 /13)X1234（2）P10/13(3/13)(10/12)(3/13)(2/12)(10/11)(3/13)(2/12)(1/11)2. 设随机变量 X 的分布律为kP X=k= a，k!其中 k=0，1，2， 0 为常数，试确定常数a.解 由分布律的性质知k1P( Xk) aga ek 0k 0k!故a e3.某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为 0.6.现在校、
20、系双方商量对抗赛的方式， 提了三种方案：（1）双方各出 3 人；（2）双方各出 5 人；（3）双方各出 7 人.三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利 .问：对系队来说，哪一种方案有利？解 设系队得胜人数为 X，则在上述三种方案中，系队胜利的概率为第 12 页 共 41 页3（ 1） P X2=C3k (0.4)k (0.6)3 k 0.352；k25(2) P X3=C5k (0.4)k (0.6) 5 k 0.317；k37(3) P X4=C7k (0.4)k (0.6) 7 k 0.290.k4因此第一种方案对系队最为有利.这在直觉上是容易理解的，因为参赛人数越少，系队侥幸获胜的可
21、能性也就越大.4. 一篮球运动员的投篮命准率为 45%，以 X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率 .解：随机变量X 所有可能的取值为 : 1,2,L , n,L ，分布律为：P( Xk )(10.45)k 1 0.45k1,2,L , n,L , X 取偶数 U X2k ：一列互不相容的事件的和，k 1所以 P X 取偶数 P U X2kP X 2k0.552 k 1 0.45 11/ 31 .k 1i 1i 15. 某十字路口有大量汽车通过， 假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为 0. 001，如果每天有 5000 辆汽车通过这个十字路口，求发
22、生交通事故的汽车数不少于 2 的概率 .解 设 X 表示发生交通事故的汽车数， 则 Xb(n,p),此处 n=5000，p=0. 001，令 =np=5，1P X2=1- P X2=1-P Xkk0=1-(0.999)5000-5(0.999)4999第 13 页 共 41 页150 e 55e 5.0!1!查表可得P X2=1-0.00674-0.03369=0.95957.6. 设在独立重复实验中，每次实验成功概率为 0.5 ，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于 0.9 。解n47. 设随机变量 X 分布函数为F（ x）=A Be t ,x0,0,x(0),0.（ 1）
23、求常数 A，B；（ 2） 求 P X2 ，P X3 ；（ 3） 求分布密度 f（x）.lim F (x)1得 A1【解】（1）由 xlim F (x)lim F (x)B1x0x0（2） P( X2)F (2)1e 2P( X3)1F (3)1(1e 3 ) e 3(3) f ( x)F (x)ex ,x00,x08. 设随机变量 X 的概率密度为f（x）=x,0x1,2 x,1x2,0,其他 .求 X 的分布函数 F（x），并画出 f（x）及 F（ x）.第 14 页 共 41 页【解】当 x0 时 F（x）=0当 0x1 时 F( x)xtdt0当 1x0;bx,0x1,(2) f(x)=
24、 12 ,1x 2,x0,其他 .试确定常数 a,b，并求其分布函数 F（x）.【解】（1） 由f ( x)dx 1知1ae |x|dx 2a e xdx2a0故a2第 15 页 共 41 页ex ,x0即密度函数为f ( x)2e xx 02当 x0 时 F ( x)xf (x)dxxe xdx1e x22当 x0 时 F (x)xf ( x)dx0xex dxe xdx1 e2021x2故其分布函数11 ex,x0F ( x)21 e x ,x02(2) 由1f ( x)dx1bxdx212 dxb101x22得b=1即 X 的密度函数为x,0x1f (x)11x2x2 ,0,其他当 x0
25、 时 F（x）=0当 0x1 时 F ( x)x0xf (x)dxf ( x)d xf (x)d x0x x2xdx0 2当 1x2 时 F ( x)xf ( x)dx00dx1xdxx1dx01x23 12 x当 x2 时 F（x）=1故其分布函数为第 16 页 共 41 页0,x0x2,0x1F ( x)231, 1x22x1,x210.设随机变量 X 的分布函数为： F(x)=A+Barctanx,(-x).求：（1）系数 A 与 B；（2）X 落在（ -1，1 ）内的概率；（3）X 的分布密度。解11232) A=1/2 ，B=； 1/2； f (x)=1/ (1+x11.某公共汽车站
26、从上午7 时开始，每 15 分钟来一辆车，如某乘客到达此站的时间是 7 时到 7 时 30 分之间的均匀分布的随机变量，试求他等车少于 5 分钟的概率 .解设乘客于 7 时过 X 分钟到达车站，由于 X 在 0，30上服从均匀分布，即有1 ,0 x 30,f(x)= 30其他 .0,显然，只有乘客在 710 到 715 之间或 725 到 730 之间到达车站时，他（或她）等车的时间才少于5 分钟，因此所求概率为P10 X15+ P25 X30=15 1 dx30 1 dx =1/3.10 3025 3012. 设 XN（3，22），（1） 求 P2 X5 ，P-4 X10 ，P X 2 ，P
27、 X3;第 17 页 共 41 页（ 2） 确定 c 使 P Xc= P Xc.【解】（1） P(2 X5)23 X35 3P222(1)1(1)12120.841310.69150.5328P( 4X10)43X310 3P2227720.99962P(| X | 2)P( X2)P( X2)P X32 3PX 323222211511522220.691510.99380.6977P( X3)X 33- 3P() 1 (0) 0.522(2) c=313.公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的 .设男子身高X 服从=170(cm), =6(cm)的正态分布，即X
28、N（170，62），问车门高度应如何确定？解设车门高度为h(cm)，按设计要求 P Xh 0.01 或 P Xh 0.99，因为 XN（170，62），故P Xh= P X 170h 170h 170 0.99，666第 18 页 共 41 页查表得（2.33）=0.99010.99.故取 h 170 =2.33，即 h=184.设计车门高度为184（cm）时，可6使成年男子与车门碰头的机会不超过1%.14. 某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从 (160, 202 ) 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于 180 小时的概率（答案用标准正态分布函数表示） .解：记取出的四只电子管寿
29、命分别为X1, X 2 , X3 , X 4 ，所求概率为 P ，则P Pmin(X1, X 2 , X 3 , X 4 )180P Xi180 41 P X i180 4i 1,2,3, 41(1)40.00063习 题 三1. 设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1X 中等可能地取一整数值，试求（ X，Y）的分布律 .解 由乘法公式容易求得（ X， Y）的分布律，易知 X=i ，Y=j的取值情况是： i=1，2，3，4，j 取不大于 i 的正整数，且P X=i ，Y=j= P Y=jX=i P X=i= 1 1 ，i=1，2，3，4，ji.i4第 19 页 共 41 页于是（ X，Y）的分布律为表 3 3X1234Y11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162. 设 连 续 型 随 机 变 量 （ X ， Y ） 的 密 度 函 数 为f(x,y)=Ae (3 x 4 y), x 0, y 00,其他求 （1）系数 A；
