1、 160第十五章 选做习题 概率论部分 1. 一打靶场备有 5 支某种型号的枪 , 其中 3 支已经校正 , 2 支未经校正 . 某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p , 使用未经校正过的枪击中目标的概率为2p . 他随机地取一支枪进行射击 , 已知他射击了 5 次 , 都未击中 , 求他使用的是已校正的枪的概率 (设各次射击的结果相互独立 ). 解 A: 取到已经校正的枪 , B: 射击 5 次都未击中 . .52)(,53)( = APAP .)1()|(,)1()|(5251pABPpABP = 由贝叶斯公式 .)1(2)1(3)1(3)1(52)1(53)1(53)|()()|()(
2、)|()()|(525151525151ppppppABPAPABPAPABPAPBAP+=+=+=2. 某人共买了 11 个水果 , 其中有 3个是二级品 , 8 个是一级品 , 随机地将水果分给 A, B. C三人 , 各人分别得到 4 个、 6 个、 1 个 . (1)求 C 未拿到二级品的概率 . (2)已知 C 未拿到二级品 , 求 A, B 均拿到二级品的概率 . (3)求 A, B 均拿到二级品而 C 未拿到二级品的概率 . 解 CBA , 分别表示 CBA , 三人拿到二级品 . (1)118)(11118=CCCP (考虑 A, B 两人 , 118)(11674116641
3、018=CCCCCCCP ) (2)A 拿 1 个或 2 个二级品 . 16154)|(41027233713=+=CCCCCCABP (用公式54118)()()()|(11674112723371318=+=CCCCCCCCCPCABPCABP ) (3)553254118)|()()( = CABPCPCABP (直接计算5532)()(11674112723371318=+=CCCCCCCCCABP 3. 一系统 L由两个只能传输字符 0和 1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成 (如题 15. 3 图 ), 每个子系统输入为 0 输出为 0 的概率为 p(0=.0,0,0,252
4、)(25/2rrerrfrR若弹着点离目标不超过 5 个单位时 , 目标被摧毁 . (1)求发射一枚炮弹能摧毁目标的概率 . (2)为使至少有一枚炮弹能摧毁目标的概率不小于 0. 94, 问最少需要独立发射多少枚炮弹 . 解 (1)所求概率为 =5025/2252)5( drerRPr169632.0105125/2=eer(2)设发射 n 发炮弹 , 其中能摧毁目标的炮弹数为目标的炮弹数为 Y, 则 )632.0,( nbY . 94.0)368.0(10(1)1 =nYPYP 06.0)368.0( n81.2368.0ln06.0lnn 故至少需发射 3 发炮弹 . 12. 设一枚深水炸
5、弹击沉一潜水艇的概率为31, 击伤的概率为21, 击不中的概率为61. 并设击伤两次也会导致潜水艇下沉 . 求施放 4 枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率 . (提示 : 先求击不沉的概率 . ) 解 设 A: 击沉潜艇 , :1B 4 枚深水炸弹均击不中 , :2B 4 枚深水炸弹中有 3 枚击不中 , 1 枚击伤潜艇 , 则21, BB 互不相容 , 且 =A21BB U . 4 枚炸弹的攻击效果可认为是相互独立的 , 所以 )()(21BBPAP U= )()(21BPBP += 43144613612161=+= C98997.06131)(1)(4= APAP 13. 一盒中装有 4 只白
6、球 , 8 只黑球 , 从中取 3 只球 , 每次一只 , 作不放回抽样 . (1)求第 1 次和第 3 次都取到白球的概率 . (提示 : 考虑第二次的抽取 . ) (2)求在第 1 次取到白球的条件下 , 前 3 次都取到白球的概率 . 170解 :iA 第 i 次取白球 , i=1, 2, 3. (1)第 1 次和第 3 次都取到白球的概率为 )()(322131AAAAPAAP U= )(321321AAAAAAP U= )()(321321AAAPAAAP += 11131213181431234=+=ACCCAA(2)在第 1 次取到白球的条件下 , 前 3 次都取到白球的概率为
7、)()()|(13211321APAAAPAAAAP = 55312431234=AA14. 设元件的寿命 T(以小时计 )服从指数分布 , 分布函数为 =.0,0,0,1)(03.0ttetFt(1)已知元件至少工作了 30 小时 , 求它能再至少工作 20 小时的概率 . (2)由 3 个独立工作的此种元件组成一个 2/3G系统 (参见第 7 题 ). 求这一系统的寿命 X20 的概率 . 解 (1)由指数分布的无记忆性 2030|50 = TPTTPp6.0)20(1= eF (2)由第七题 , 2/3G系统寿命 X20 的概率为 5730.0)23()1(320223=+= ppppp
8、XP 17115. (1)已知随机变量 X 的概率密度为 =.0,1,0,1XXY 试求 Y 的分布律和分布函数 . 解 (1) )( xXPxFX= . 0x 时 , ;2121)(xxxXedxexF =0x 时 , .211)1(21212121)(00xxxxxXeedxedxexF=+=+=.0,211,0,21)(xexexFxxX(2)21)0(01 = FXPYP 21111 = YPYP Y 的分布律为 Y 1 1 Pk1/2 1/2 Y 的分布函数为 =kkkkkkekekXPkXPkk当当当当 为整数时 , 1=k 或 =k 时 , 概率 1 = XPXP 最大 ; 当
9、非整数时 , 取 0=k , 则 100+=当当当当 pn )1( + 为整数时 , pnk )1( += 或 1)1( += pnk 时 , 概率 1)1()1( +=+= pnXPpnXP 最大 ; 173当 pn )1( + 非整数时 , 取 )1(0pnk += , 则 1)1(00+= xxy 单调减少 , 值域为 ),0( + , 反函数为yx1= , 21yx = , 则 Y 的密度函数为 175=.0,0,0,11)(2yyyfyyfXY=.0,0,0,)(xxexfxX随机变量 X 的取值范围是 ),0( + , 故随机变量 XY = 的取值范围是 ,2,1,0 L , 所以
10、 Y 是离散型随机变量 . kXPkYP = 1 +=+.,0,0,0,),()1(其他yxxeyxfyxxyRTO),( YXQ图题 25.15180(1)求边缘概率密度 ).(),( yfxfYX(2)求条件概率密度 ).|(),|(|xyfyxfXYYX解 (1)=+.0,0,0,),()( 0)1(xxedyxedyyxfxfxyxX=+.0,0,0),()( 0)1(yydxxedxyxfyfyxY+=+=+=+.0,0,0,)1(1)1()2()1()1()1(1220)1(2yyyyyxdxeyyyx(2)当 0y 时 , =)(),()|(|yfyxfyxfYYX +.,0,0
11、,)1()1(2其他xeyxyx当 0x 时 , =)(),()|(|xfyxfxyfXXY .,0,0,其他yxexy27. 设有随机变量 U 和 V, 它们都仅取 1, -1 两个值 . 已知 ,211 =UP 1|1311|1 = UVPUVP (1)求 U 和 V 的联合分布律 . (2)求 x 的方程 02=+ VUxx 至少有一个实根的概率 . (3)求 x 的方程 0)(2=+ VUxVUx 至少有一个实根的概率 . 解 (1)6131211|111,1 = UVPUPVUP 3132211|111,1 = UVPUPVUP 6131211|111,1 = UVPUPVUP 18
12、13161316111,1 = VUP U V -1 1 -1 61311 3161(2)方程 02=+ VUxx 至少有一个实根的概率为 211,11,140422=+= VUPVUPVUPVUP (3)方程 0)(2=+ VUxVUx 至少有一个实根的概率为 )(4)(0)(4)(22VUVUPVUVUP+=+=651,11,11,1=+=+= VUPVUPVUP28. 某图书馆一天的读者人数 )( X , 任一读者借书的概率为 p, 各读者借书与否相互独立 . 记一天读者借书的人数为 Y, 求 X 和 Y 的联合分布律 . 解 .,2,1,0:,2,1,0: XYYX LL |, kXm
13、YPkXPmYkXP = mkmkppmkek= )1(!.,2,1,0,2,1,0,)1()!(!1kmkppemkmmkmkLL = 29. 设随机变量 X, Y相互独立 , 且都服从均匀分布 U(0, 1), 求两变量之一至少为另一变量之值之两倍的概率 . 182解 由题意 , (X, Y)服从区域 10,10|),( + XXXXP (2) ),12,3(43NXX + 则 2818.0)5775.0(13313235155|043214321= =+=+XXPXXXXXXP(3) ),18,5.4(432NXXX + 则 ()9874.0239.2235.45155|04321432
14、1= =+=+XXXPXXXXXP33. 产品的某种性能指标的测量值 X 是随机变量 , 设 X 的概率密度为 =.,0,0,)(221其他xxexfxX184测量误差 YXUY ,),( 相互独立 . 求 Z=X+Y 的概率密度 )(zfZ, 并验证 .21202/2dueZPu= 解 Y 的概率密度为 .,0,|,0,2221其他zxxexx当 z 时 , ;0)( =zfZ当 ZPZP dzez+=12112)(21= zx0zx+= zx185dueuzu=+202)1(2112dueu=20222134. 在一化学过程中 , 产品中有份额 X 为杂质 , 而在杂质中有份额 Y 是有害
15、的 , 而其余部分不影响产品的质量 . 设 )5.0,0(),1.0,0( UYUX , 且 X和 Y相互独立 , 求产品中有害杂质份额 Z的概率密度 . 解 X, Y 的密度分别为 YXP (6)求条件概率 .5|3 = YXP 解 (1)X, Y 的边缘密度分别为 =+.0,0,0,),()(xxedyedyyxfxfxxyX=+.0,0,0,),()( 0yyyedxedxyxfyfyyyY(2) ),()(),( yfxfyxfYX X, Y 不独立 . (3)记 Z=X+Y, 则 =)(zfZ+ dxxzxf ),( 其中 =.0,0,0,2/2/0zzeedxezzzzx(4)当
16、0y 时 , xy =xy02/zx =zx0187=DyeYXP 5,3 =yydxedy3535335533)2()3(=+=eeeydyeyyy5 eeeYXP (6)由于 YXP5251)5|(533|=+dxdxxfYX36. 设某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为 p, 借阅乙种图书的概率为 , 设每人借阅甲、乙图书的行动相互独立 , 读者之间的行动也相互独立 . xy =xy035D188(1)某天恰有 n 个读者 , 求借阅甲种图书的人数的数学期望 . (2)某天恰有 n 个读者 , 求甲、乙两种图书中至少借阅一种的人数的数学期望 . 解 (1)X: n 个读者中借阅甲种图书的人
17、数 , 则 ),( pnbX 所以 .)( npXE = (2)A, B 分别表示一读者借阅甲种图书与乙种图书 , 则 A, B 相互独立 , 且 .)(,)( = BPpAP 此读者至少借阅一种图书的概率为 pppBPAPBAPBAP += )1)(1(1)()(1)(1)( U . Y: n 个读者中至少借阅一种的人数 , 则 ),( ppnbY + , 所以 npnnpYE +=)( . 37. 某种鸟在某时间区间 .0(0t 下蛋数为 15 只 , 下 r只蛋的概率与 r成正比 . 一个收拾鸟蛋的人在时刻0t 去收集鸟蛋 , 但他仅当鸟窝中多于 3 只蛋时才从中取走一只蛋 . 在某处有
18、这种鸟的鸟窝 6 个 (每个鸟窝保存完好 , 各鸟窝中蛋的只数相互独立 ). (1)写出一个鸟窝中鸟蛋只数 X 的分布律 . (2)对于指定的一个鸟窝 , 求拾蛋人在该鸟窝中拾到一只蛋的概率 . (3)求拾蛋人在 6 个鸟窝中拾到蛋的总数 Y 的分布律及数学期望 . (4)求 PY4. (5)当一个拾蛋人在这 6 个鸟窝中拾过蛋后 , 紧接着又有一个拾蛋人到这些鸟窝中拾蛋 , 也仅当鸟窝中多于 3 只蛋时 , 拾取一只蛋 , 求第二个拾蛋人拾得蛋数 Z 的数学期望 . 解 (1)设 .5,1, L= rCrrXP 则151,11551=CCCrr, 则 X 的分布律为 .5,1,15 L= r
19、rrXP (2)所求概率为 6.01554543 =+=+= XPXPXP (3) )6.0,3( bY 故 Y 的分布律为 189.6,1,0,4.06.066L=kkkYPkk6.36.06)( =YE (4) 65414 = YPYPYP 233.06.06.05665=+=(5)第二个拾蛋人在一个鸟窝中拾得 1 只蛋的概率为515 = XPp , 则 )31,6( bZ , 所以2)( =ZE . 38. 设袋中有 r 只白球 , rN 只黑球 . 在袋中取球 n )( rn 次 , 每次任取一只作不放回抽样 , 以 Y 表示取到白球的个数 , 求 E(Y). 解法一 引入随机变量 ,n,i，XiL21.次取到黑球i第次取到白球，i第01= , 则=niiXY1, 且 .n,2,1i,1111L=iNi-NriAACXP 得的分布律为iX 1X 0 1 kp Nr1 Nr
