圆-综合练习题.doc

1、 OFABCDEFEDCBOACEBODFA圆 综合练习题一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1. 如图， 为 O 的直径， 为弦， ， 交 于 ，BDACBADB， 2AE4（1）求证： ，并求 的长； （2）延长 到 ，使 ，连接 ，判断直线 与 O 的位FF置关系，并说明理由.2. 已知：如图，以等边三角形 ABC 一边 AB 为直径的 O 与边 AC、 BC 分别交于点 D、 E，过点 D 作 DF BC，垂足为 F（1）求证： DF 为 O 的切线；（2）若等边三角形 ABC 的边长为 4，求 DF 的长；（3）求图中阴影部分的

2、面积3、如图，已知圆 O 的直径 垂直于弦 于点 ，连接 并延长交 于点 ，且ABCDEODFCFAD（1）请证明： 是 的中点；E（2）若 ，求 的长8BC4如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上， BAC = 60， P 是 OB 上一点，过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q，连结 OC，过点 C 作 交 PQ 于点 DD（1）求证： CDQ 是等腰三角形；（2）如果 CDQ COB，求 BP:PO 的值5 已知:如图, BD 是半圆 O 的直径, A 是 BD 延长线上的一点， BC AE，交 AE 的延长线于点 C, 交半圆 O 于点 E，且 E 为 的中点.

3、 DF（1）求证： AC 是半圆 O 的切线；（2）若 ，求 的长62AD， BCAB CDEOGF6.如图， ABC 内接于O，过点 A的直线交O 于点 P，交 BC的延长线于点 D，且AB2=APAD（1）求证： ；（2）如果 60，O 的半径为 1，且 P 为弧 AC 的中点，求 AD 的长.7如图，在 ABC 中， C=90, AD 是 BAC 的平分线， O 是 AB 上一点, 以 OA 为半径的 O 经过点 D. （1）求证： BC 是 O 切线；（2）若 BD=5, DC=3, 求 AC 的长.8如图， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的一条弦，且 CDAB 于 E，连结

4、AC、OC、BC.（1）求证：ACO=BCD；（2）若 BE=2，CD=8，求 AB 和 AC 的长. 9如图，已知 为 的直径，点 、 在 上， ，垂足为 ， 交BCOAFOBCADBF于 ，且 ADE（1）求证： ；F（2）如果 ， ，求 的长53sin4B10如图，已知直径与等边 的高相等的圆 O 分别与边 AB、BC 相切于点 D、E，边 ACAC过圆心 O 与圆 O 相交于点 F、G。（1） 求证： ； DE（2） 若 的边长为 a，求 的面积.ABE11如图，在 ABC 中， BCA =90，以 BC 为直径的 O 交 AB 于点 P， Q 是 AC 的中点 OPDCBAOACDB

5、OQPCBAGFE D COBA第 13 题图（1）请你判断直线 PQ 与 O 的位置关系，并说明理由；（2）若 A30， AP= ，求 O 半径的长.2312如图，已知点 A 是 O 上一点，直线 MN 过点 A，点 B 是 MN 上的另一点，点 C 是 OB 的中点， ，12CB若点 P 是 O 上的一个动点,且 ,AB= 时，求 APC302的面积的最大值13如图，等腰 ABC 中， AB=AC=13， BC=10，以 AC 为直径作交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，过点 D 作 的切线交 AB 于点 E，O交 AC 的延长线与点 F.（1）求证： EF AB；（2）求 cos F

6、 的值.14 （应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有 30的直角三角尺按图示的方式测量.(1)若 O 分别与 AE、 AF 交于点 B、 C，且 AB=AC,若 O 与 AF 相切. 求证: O 与 AE 相切；(2)在满足(1)的情况下，当 、 分别为 AE、 AF 的三分之一点时，且 AF=3，求 的弧长. BC二、圆与相似综合15已知：如图， O 的内接 ABC 中，BAC=45，ABC =15，ADOC 并交 BC 的延长线于 D，OC 交 AB 于 E.A BCM NOPFAB CDEGOEB （1）求D 的度数；（2）求证：

7、 ；2ACDE（3）求 的值.B16如图，O 的直径为 ，过半径 的中点 作弦 ，ABOGABCE在 BC 上取一点 ，分别作直线 ，交直线 于点DEDC、.MF、求 和 的度数； CO求证： ；如图，若将垂足 改取为半径 上任意一点，点 改取G在 上，仍作直线 ，分别交直线 于点 .、 ABMF、试判断：此时是否仍有 成立？若成立请证明你FDMCO的结论；若不成立，请说明理由。三、圆与三角函数综合17已知O 过点 D（4，3） ，点 H 与点 D 关于 轴对称，y过 H 作O 的切线交 轴于点 A（如图 1） 。y求O 半径；求 的值；sinO如图 2，设O 与 轴正半轴交点 P，点 E、F

8、 是线段 OP 上的动点（与 P 点不重合） ，联结并延长 DE、DF 交O 于点 B、C，直线 BC 交 轴于点 G，若 是以 EFyD为底的等腰三角形，试探索 的大小怎样变化？sinC请说明理由。四、圆与二次函数（或坐标系）综合 18、如图，M 的圆心在 轴上，与坐标轴交于 A（0，x） 、B（1，0） ，抛物线 经过323yxbc图 1图 2 O xyD(4,3)AHC FEPBGO xyD(4,3)图 1图 2A、B 两点 （1） 求抛物线的函数解析式；（2） 设抛物线的顶点为 P试判断点 P 与M 的位置关系，并说明理由；（3） 若M 与 轴的另一交点为 D，则由线段 PA、线段 P

9、Dy及弧 ABD 围成的封闭图形 PABD 的面积是多少？19如图，在平面直角坐标系中， O 是原点，以点 C（1，1）为圆心，2 为半径作圆，交 x轴于 A， B 两点，开口向下的抛物线经过点 A， B，且其顶点 P 在 C 上（1）求 ACB 的大小；（2）写出 A， B 两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点 D，使线段 OP 与 CD 互相平分？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由20 （以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为 1 的 与 轴交于1Ox两点，圆心 的坐标为 ，二次函数 的图象经过 两点，AB、 1O(20)形2y

10、xbcAB、其顶点为 F（1）求 的值及二次函数顶点 的坐标；bc形 F（2）将二次函数 的图象先向下平移 1 个单位，2yxbc再向左平移 2 个单位，设平移后图象的顶点为 ，在经过点CB和点 的直线 上是否存在一点 ，使 的周长最小，0,3DlPA xyA BO -2 4 5-1 -32-1-21 O1若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. P五、以圆为背景的探究性问题21下图中, 图(1)是一个扇形 OAB，将其作如下划分：第一次划分： 如图(2)所示，以 OA 的一半 OA1的长为半径画弧交 OA 于点 A1，交 OB 于点 B1，再作AOB 的平分线，交 于点 C，交 于点

11、C1， 得到扇形的总数为 6 个，分AB别为： 扇形 OAB、扇形 OAC、扇形 OCB、扇形 OA1B1、扇形 OA1C1、扇形 OC1B1；第二次划分： 如图(3)所示，在扇形 OC1B1中， 按上述划分方式继续划分， 即以 OC1的一半 OA2的长为半径画弧交 OC1于点 A2，交 OB1于点 B2，再作B 1OC1的平分线，交于点 D1，交 于点 D2，可以得到扇形的总数为 11 个；1C2第三次划分： 如图(4)所示，按上述划分方式继续划分； 依次划分下去.(1)根据题意, 完成右边的表格；(2)根据右边的表格, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为 2008 个? 为什么

12、?(3)若图(1)中的扇形的圆心角AOB=m，且扇形的半径 OA 的长为 R我们把图(2)第一次划分的图形中，扇形 （或扇形 ）称为第一次划分的最小扇形，其面积记为1OAC1BS1；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为 S2；，把第 n 次划分的最小扇形面积记为 Sn求 的值.1n22圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等” ，记作 （如图AOB） ；圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半” ，记作 （如图）请回答下列问题：1()2AOBCD（1）如图，猜测 并说明理由；PAB与 、 有 怎 样 的 等 量 关 系 ,（2）如图，猜测 并

13、说明理由.与 、 有 怎 样 的 等 量 关 系（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）POACDB图OBDAC图 图C DOPA BOFABCDE23已知：半径为 R 的 经过半径为 r 的 O 圆心， 与O 交于 M、N 两点O （1）如图 1，连接 O 交 O 于点 C，过点 C 作 O 的切线交 于点 A、B，求的值；OAB（2）若点 C 为 O 上一动点.当点 C 运动到 内时，如图 2，过点 C 作 O 的切线交 于 A、B 两点请你 探索 的值与（1）中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；当点运动到 外时，过点 C 作 O 的切线，若能交 于 A、B 两点请你在图3 中画

14、出符合题意的图形，并探索 的值（只写出 的值，不必证明） AB北京市丰台区 2015-2016 学年度第一学期 初三数学 第 24 章 圆 综合练习题一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1. 如图， 为 O 的直径， 为弦， ， 交 于 ， ，BDACBADBCE24E（1）求证： ，并求 的长；AE （2）延长 到 ，使 ，连接 ，判断直线 与 O 的位置关系，并说明FF理由.1解： ， . ABCC ， CD ABC 又 ，E ED2 241AB（舍负） 3（2）直线 与 相切 FO连接 为 的直径， ABD90BAD在 中，由勾股定

15、理，得 Rt 2214831432FO， 3ABBA（或 ， 是等边三角形， OFBA， ）6030F 9OF又 点 A 在圆上， 直线 与 相切A2. 已知：如图，以等边三角形 ABC 一边 AB 为直径的 O 与边 AC、 BC 分别交于点 D、 E，过点 D 作 DF BC，垂足为 F（1）求证： DF 为 O 的切线；（2）若等边三角形 ABC 的边长为 4，求 DF 的长；（3）求图中阴影部分的面积2 （1）证明：连接 DO. 是等边三角形 ， C=60， A=60， ABC OA=OD， 是等边三角形. ADO =60.OD DF BC ， CDF =30. FDO=180- AD

16、O- CDF= 90. DF 为O 的切线. （2） 是等边三角形， CD=AD=AO= AB=2. A21DFE BCOAFEDCBOARt 中， CDF =30， CF= CD=1. DF= . CDF2132CFD（3）连接 OE，由（2）同理可知 E 为 CB 中点， .E ， .1 23)(DFOSFDOE形 3260E扇 形 2DOEFESS形形3、如图，已知圆 O 的直径 垂直于弦 于点 ，连接 并延长交 于点 ，且ABCOADFCFAD（1）请证明： 是 的中点；（2）若 ，求 的长8BC3、 （1）证明：连接 ，如图AC， 且 过圆心CFDEFE， O， ， 是等边三角形 A

17、D 30FCD在 中， ， 点 为 的中点RtO 1212B（2）解：在 中 ，Et8A4CA又 ，B324162C23DE4如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上， BAC = 60， P 是 OB 上一点，过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q，连结 OC，过点 C 作 交 PQ 于点 D（1）求证： CDQ 是等腰三角形；（2）如果 CDQ COB，求 BP:PO 的值FEDCBOACEBODFA4 （1）证明：由已知得 ACB=90， ABC=30， Q=30， BCO= ABC=30. CD OC， DCQ= BCO=30， DCQ= Q， CDQ 是等腰三角

18、形. （2）解：设 O 的半径为 1，则 AB=2， OC=1， AC= ， BC= .12AB3等腰三角形 CDQ 与等腰三角形 COB 全等， CQ=BC= . AQ=AC+CQ=1+ ， AP= ，3231AQ BP=AB AP= PO=AP AO= ，21 2131 BP PO= . 35 已知:如图, BD 是半圆 O 的直径, A 是 BD 延长线上的一点， BC AE，交 AE 的延长线于点 C, 交半圆 O 于点 E，且 E 为 的中点. DF（1）求证： AC 是半圆 O 的切线；（2）若 ，求 的长62AD， BC5.解：（1）连接 OE, E 为 的中点， .EFEC ，

19、 . .OEBC. EBOB BC AC， C=90. AEO= C=90. 即 OE AC.又 OE 为半圆 O 的半径， AC 是半圆 O 的切线. （2）设 的半径为 ，x ， . . .EAC 22(6)()x312ABDOBOEBC， . . 即 .OABC E912C46.如图， 内接于O，过点 的直线交O 于点 P，交 的延长线于点 ，且AB2=APAD（1）求证： ；（2）如果 60ABC，O 的半径为 1，且 P 为弧 AC 的中点，求 AD 的长.6.解：（1）证明：联结 BPOPDCBADCBAOP AB 2=APAD ， = ABAPADAB BAD=PAB， ABDA

20、PB， ABC=APB，ACB=APB， ABC=ACB AB=AC. （2）由（1）知 AB=AC ABC=60，ABC 是等边三角形BAC=60， P 为弧 AC 的中点，ABP=PAC= ABC=30， 12BAP=90， BP 是O 的直径， BP=2， AP= BP=1，12在 RtPAB 中，由勾股定理得 AB 2= BP2AP 2=3， AD= =3 AB2AP7如图，在 ABC 中， C=90, AD 是 BAC 的平分线， O 是 AB 上一点, 以 OA 为半径的 O 经过点 D. （1）求证： BC 是 O 切线；（2）若 BD=5, DC=3, 求 AC 的长.7.（1

21、）证明: 如图 1，连接 OD. OA=OD, AD 平分 BAC, ODA= OAD, OAD= CAD. ODA= CAD. OD/AC. ODB= C=90. BC 是 O 的切线. 图 1（2）解法一: 如图 2，过 D 作 DE AB 于 E. AED= C=90.又 AD=AD, EAD= CAD, AED ACD. AE=AC, DE=DC=3. 在 Rt BED 中， BED =90,由勾股定理，得 BE= . 图 242DEB设 AC=x（ x0）, 则 AE=x.在 Rt ABC 中， C=90, BC=BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得 x2 +82= (x

22、+4) 2. 解得 x=6. 即 AC=6. 解法二: 如图 3，延长 AC 到 E，使得 AE=AB. AD=AD, EAD = BAD, AED ABD. ED=BD=5. OACDBD CAOBEB D CAOEB D CAO在 Rt DCE 中， DCE=90, 由勾股定理，得CE= . 5 分 图 342DCE在 Rt ABC 中， ACB=90, BC=BD+DC=8, 由勾股定理，得 AC2 +BC2= AB 2. 即 AC2 +82=(AC+4) 2.解得 AC=6. 8如图， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的一条弦，且 CDAB 于 E，连结 AC、OC、BC.（1）

23、求证：ACO=BCD；（2）若 BE=2，CD=8，求 AB 和 AC 的长. 8、证明：（1）连结 BD， AB 是 O 的直径，CDAB， A=2又OA=OC，1=A2即：ACO=BCD解：（2）由（1）问可知，A=2，AEC=CEB.ACECBE CE 2=BEAE .CEAB又 CD=8，CE=DE=4AE=8AB=10 AC= .548029如图，已知 为 的直径，点 、 在 上， ，垂足为 ， 交OAFOBCADBF于 ，且 ADEB（1）求证： ；F（2）如果 ， ，求 的长53sinC49解：（1）延长 AD 与 O 交于点 G 直径 BC弦 AG 于点 D， AFB= BAE

24、 AE=BE， ABE= BAE ABE= AFB AB=AF AB=GBAB CDEOGFOGFHAB CDE（2）在 Rt EDB 中， sin FBC= 53BED设 ED=3x， BE=5x，则 AE=5x， AD=8x，在 Rt EDB 中，由勾股定理得 BD=4x在 Rt ADB 中，由勾股定理得 BD2+AD2=AB2 AB=4 ， 52)4()84( x=1（负舍） AD=8x=8 10如图，已知直径与等边 的高相等的圆 O 分别与边 AB、BC 相切于点 D、E，边 ACABC过圆心 O 与圆 O 相交于点 F、G。（3） 求证： ； DE（4） 若 的边长为 a，求 的面积

25、.ABE10. (1) ABC是等边三角形, 60B, A,AB、 BC 是圆 O 的切线， D、 E 是切点， BD=BE.60E, ,有 DE/AC. (2)分别连结 OD、 OE,作 EHAC 于点 H. AB、 BC 是圆 O 的切线， D、 E 是切点， O 是圆心，90AC， OD=OE， AD=EC.D,有 AO=OC=12a.圆 O 的直径等于 ABC的高,得半径 OG=34a,CG=OC+OG=12a+34. ,60EH, 0OE,EH= 8. 12CGSCGEH = (34a+12)3a,EC236a= 6. 11如图，在 ABC 中， BCA =90，以 BC 为直径的

26、O 交 AB 于点 P， Q 是 AC 的中点 （1）请你判断直线 PQ 与 O 的位置关系，并说明理由；OQPCBA（2）若 A30， AP= ，求 O 半径的长.2311、解：（1）直线 PQ 与 O 相切. 连结 OP、 CP. BC 是 O 的直径， BPC90 .又 Q 是 AC 的中点， PQ=CQ=AQ . 34. BCA =90， 2+4=90. 12， 1+3=90. 即 OPQ=90. 直线 PQ 与 O 相切.（2） A30， AP= ，23 在 Rt APC 中，可求 AC=4. 在 Rt ABC 中，可求 BC= .4 BO= . O 半径的长为 . 23 2312如

27、图，已知点 A 是 O 上一点，直线 MN 过点 A，点 B 是 MN 上的另一点，点 C 是 OB 的中点， ，12CB若点 P 是 O 上的一个动点,且 ,AB= 时，求 APC 的面积的最大值30212、解:连结 OA.由 C 是 OB 的中点,且 ,可证得 OAB=90. 12ACOB则 O=60. 可求得 OA=AC=2.过点 O 作 OE AC 于 E，且延长 EO 交圆于点 F则 P(F)E 是 PAC 的 AC 边上的最大的高. 在 OAE 中, OA=2, AOE=30,解得 . 所以 . 323PEA BCM NOPGFE D COBA第 13 题图故 .12(3)2PAC

28、SE即 .313如图，等腰 ABC 中， AB=AC=13， BC=10，以 AC 为直径作 交 BC 于点 D，交 AB 于O点 G，过点 D 作 的切线交 AB 于点 E，交 AC 的延长线与点 F.O（1）求证： EF AB；（2）求 cos F 的值.13. 证明：（1）联结 OD OC=OD ODC= OCD又 AB=AC OCD= B ODC= B OD AB ED 是 的切线， OD 是 的半径O OD EF AB EF （2）联结 AD、 CG AD 是 的直径 ADC= AGC=90 AB EF DE CG F= GCA AB=AC DC= BC=512Rt ADC 中， 2

29、1ADC AD BC=AB CG CG= 103BRt CGA 中， cos GCA= 269G cos F= 216914 （应用性问题）已知：如图，为了测量一种圆形零件的精度，在加工流水线上设计了用两块大小相同，且含有 30的直角三角尺按图示的方式测量.(1)若 O 分别与 AE、 AF 交于点 B、 C，且 AB=AC,若 O 与 AF 相切. 求证: O 与 AE 相切；(2)在满足(1)的情况下，当 、 分别为 AE、 AF 的三分之一点时，且 AF=3，求 的弧长. BCFAB CDEGOGFE D COBAGFE D COBA第 13 题图14.解:（1）证明：连结 OB、 OA

30、、 OC.根据题意, OCA=90. 在 ABO 与 ACO 中,AB=AC,OA=OA,OB=OC,所以 ABO ACO. 所以 OCA= OBA =90. 则 AE 是圆的切线. (2)因 OCA= OBA =90, 且 EAD= FAG =30,则 BAC =120. 又 , OAC =60, 故 .13ACF3OC所以 的长为 .B二、圆与相似综合15已知：如图， O 的内接 ABC 中， BAC=45， ABC =15， AD OC 并交 BC 的延长线于 D，OC 交 AB 于 E.（1）求 D 的度数；（2）求证： ；2AC（3）求 的值.B15 （1）解：如图 3，连结 OB.

31、 O 的内接 ABC 中， BAC=45， BOC =2 BAC =90. OB=OC ， OBC = OCB =45. AD OC ， D = OCB =45. （2）证明： BAC =45， D =45， BAC = D . AD OC ， ACE = DAC . ACE DAC ACE2ACE（3）解法一：如图 4，延长 BO 交 DA 的延长线于 F，连结 OA . AD OC ， F= BOC =90. ABC =15， OBA = OBC ABC =30. OA = OB ， FOA= OBA OAB =60， OAF =30. .12OFA B CAFEO D图 4DOE ACB

32、图 3EB AD OC ， BOC BFD ，即 的值为 2. BCODF2BCOAFBCD解法二：作 OM BA 于 M，设 O 的半径为 r，可得 BM= ， OM= ，3r2， ， BE= ， AE= ，所以30Etan306r.2BCDA16如图，O 的直径为 ，过半径 的中点 作弦 ，在 上取一点 ，OGACD分别作直线 ，交直线 于点 .E、 MF、求 和 的度数；OF求证： ；MC如图，若将垂足 改取为半径 上任意一点，点 改取在 上，仍作直线GBD，分别交直线 于点 .试判断：此时是否仍有 成立？DC、 A、 FMO若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由。（1） （第 16

33、 题） （2）16解：（1）AB 为直径， ， ， .ABCEEGC在 中， ， . .OGRtO20360OA又 ,o1CDE的 度 数的 度 数的 度 数的 度 数 .080oFM（2）证明： , .12COA1oFDMC在 和 中， ，GRtEMtEG . .又 ， .DFFC CO（3）结论仍成立. 证明如下： ，E180oFM又 ，的 度 数的 度 数的 度 数的 度 数 COACAE21DE .OM80oFMAB 为直径， ，B在 和 中，GRtt，EC .tt . . MFDCOM三、圆与三角函数综合17已知O 过点 D（4，3） ，点 H 与点 D 关于 轴对称，过 H 作O

34、的切线交 轴于点yyA（如图 1） 。求O 半径；求 的值；sinO如图 2，设O 与 轴正半轴交点 P，点 E、F 是线段 OP 上的动点（与 P 点不重合） ，y联结并延长 DE、DF 交O 于点 B、C，直线 BC 交 轴于点 G，若 是以 EF 为底的等yDEF腰三角形，试探索 的大小怎样变化？请说明理由。iG O xyD(4,3)AHC FEPBGO xyD(4,3)图 1 图 217(1)点 在O 上， O 的半径 。4,3D5rOD（2）如图 1，联结 HD 交 OA 于 Q，则 HDOA。联结 OH，则 OHAH。 HAO=OHQ。 。3sinsiQHAH（3）如图 2，设点

35、D 关于 轴的对称点为 H，联结 HD 交 OP 于 Q，则 HDOP。y又 DE=DF， DH 平分BDC。 。 联结 OH，则 OHBC。BHCAQH PO xyD(4,3)H QC FEPBGO xyD(4,3)图 1 图 2 CGO=OHQ。 3sinsi5QCGOH四、圆与二次函数（或坐标系）综合 18、如图，M 的圆心在 轴上，与坐标轴交于 A（0， ） 、B（1，0） ，抛物线x3经过 A、B 两点 23yxbc（4） 求抛物线的函数解析式；（5） 设抛物线的顶点为 P试判断点 P 与M 的位置关系，并说明理由；（6） 若M 与 轴的另一交点为 D，则由线段 PA、线段 PD 及

36、弧 ABD 围成的封闭图形yPABD 的面积是多少？18解：（1）抛物线经过点 A、B， 解得 .30,cb.3,2cb .323xy（2）由 2xy得 顶点 P 的坐标为（1， ） .34)1(32xy 34在 RtAOM 中,MA MO =OA ,OA= ,OB=1,22MA (MA1) =3, MA=2.2MB=2, MO=1,即点 O 的坐标为（1，0） MP= 2. 顶点 P 在圆外； 34（）连结 OD，点 M 在抛物线的对称轴上,MP 轴, . yPADOS由线段 PA、线段 PD 及弧 ABD 形成的封闭图形 PABD 的面积=扇形 OAD 的面积.在 RtAOM 中,sinA

37、MO= ,AMO=60.23封闭图形 PABD 的面积= 1046MA19如图，在平面直角坐标系中， O 是原点，以点 C（1，1）为圆心，2 为半径作圆，交 x轴于 A， B 两点，开口向下的抛物线经过点 A， B，且其顶点 P 在 C 上（1）求 ACB 的大小；（2）写出 A， B 两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点 D，使线段 OP 与 CD 互相平分？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由19解： （1）作 CH x 轴， H 为垂足 CH=1，半径 CB=2， HBC=30 BCH=60 ACB=120 （2） CH=1，半径 CB=

38、2， ，故 (130)A， ， 3HB)031(，BxyA BO-2 4 5-1-32-1-21O1（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点 P的坐标为（1，3） 设抛物线解析式为 2(1)yax，把点 代入解析式，)0(，B解得 1a所以 （4）假设存在点 D使线段 OP与 C互相平分，则四边形 OCPD是平行四边形所以， C 且 Py 轴， 点 在 y轴上 ， 2，即 2)0(， 满足 yx，)0(，D 点 在抛物线上 存在 使线段 OP与 CD互相平分 )2(，20 （以圆为幌子，二次函数为主的代几综合题）如图，半径为 1 的 与 轴交于1Ox两点，圆心 的坐标为 ，二次函数 的图象经

39、过 两点，AB、 1(20)形2yxbcAB、其顶点为 F（1）求 的值及二次函数顶点 的坐标；bc形 F（2）将二次函数 的图象先向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位，设2yxbc平移后图象的顶点为 ，在经过点 和点 的直线 上是否存在一点 ，使CB0,3DlP的周长最小，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. PAP20.解：（1）由题意得， (1 , 0) , (3 , 0) .AB则有 解得 093.bc， 43.bc二次函数的解析式为 顶点 的坐标为（2，1） 22431yxxF（2）将 平移后的抛物线解析式为 ，其顶点为 (0,0). 21yxyC直线 经过点 （3

40、，0）和点 （0，- 3） ，直线 的解析式为 lBDl3yx作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ，AlABCA 直线 ，设垂足为 ，则有 ， EE由题意可知， , ，452 ， . E 90过点 作 的垂线，垂足为 ,四边形 为矩形CF 3FAOB3,A直线 的解析式为 . 2yx的解为 直线 与直线 的交点为点 2,3.yx9,56.yCAl96,5P五、以圆为背景的探究性问题21下图中, 图(1)是一个扇形 OAB，将其作如下划分：第一次划分： 如图(2)所示，以 OA 的一半 OA1的长为半径画弧交 OA 于点 A1，交 OB 于点 B1，再作AOB 的平分线，交 于点 C，交 于点

41、 C1， 得到扇形的总数为 6 个，分AB别为： 扇形 OAB、扇形 OAC、扇形 OCB、扇形 OA1B1、扇形 OA1C1、扇形 OC1B1；第二次划分： 如图(3)所示，在扇形 OC1B1中， 按上述划分方式继续划分， 即以 OC1的一半 OA2的长为半径画弧交 OC1于点 A2，交 OB1于点 B2，再作B 1OC1的平分线，交于点 D1，交 于点 D2，可以得到扇形的总数为 11 个；1C2第三次划分： 如图(4)所示，按上述划分方式继续划分；依次划分下去.(4)根据题意, 完成右边的表格；(5)根据右边的表格, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为 2008 个? 为什么

42、?(6)若图(1)中的扇形的圆心角AOB=m，且扇形的半径 OA 的长为 R我们把图(2)第一次划分的图形中，扇形 （或扇形 ）称为第一次1OAC1B划分的最小扇形，其面积记为 S1；把图(3)第二次划分的最小扇形面积记为 S2；，把第 n 次划分的最小扇形面积记为 Sn求 的值.1n21解：（1）划分次数扇形总个数1 62 113 164 21 n 5n+1（2）不能得到 2008 个扇形，因为满足 5n+1=2008 的正整数 n 不存在； （3） 221113603608nnnnmRRS22圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等” ，记作 （如图AOB） ；圆心角定理也可以叙述

43、成“圆心角度数等与它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半” ，记作 （如图）请回答下列问题：1()2AOBCD（1）如图，猜测 并说明理由；PAB与 、 有 怎 样 的 等 量 关 系 ,（2）如图，猜测 并说明理由.与 、 有 怎 样 的 等 量 关 系（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）POACDB图OBDAC图 图C DOPA B22 （1） 理由如下：1()2PABCD过 O 点分别作 ,EFMNBo交 于 E、 F、 、 N，,AB=CDEF1()2OMNPAB（2） ， 理由如下：()C过 O 点分别作 ,EFNBDo交 于 E、 F、 M、 N，APBM,=CDEF1()2ON1()2PABCD23已知：半径为 R 的 经过半径为 r 的 O 圆心， 与O 交于 M、N 两点 （1）如图 1，连接 O 交 O 于点 C，过点 C 作 O 的切线交 于点 A、B，求的值；OAB（2）若点 C 为 O 上一动点.当点 C 运动到 内时，