1、,一、填空题（每题4分，共24分） 1.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角 形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是_.,【解析】设其中一段细铁丝长为x cm,则另一段长(12-x) cm.两个正三角形的面积之和为 S=f(x) = x2+(12-x)2 = (2x2-24x+144)= (x2-12x+72)，x(0,12)， 由S= (2x-12)=0,得x=6,当00,S=f(x)递增, x=6是函数的最小值点,此时f(6)=2 cm2. 答案：2 cm2,2.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积 最大，则其高为_. 【解析】设高为h,半径为r,则r2
2、=202-h2, V= r2h= (400-h2)h = h3+ h， V=-h2+ =0时，h= 根据函数单调性的变化特点， 知h= cm，体积最大. 答案：,3.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用 料最省，则圆柱的底面半径为_. 【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,则r2h=27, h= 全面积S=r2+2rh=r2+2r =r2+ S=2r- 令S=0,得r=3. 当03时，S0. r=3时，S最小. 答案：3,4.某厂生产某种商品x单位的利润是L(x)=500+x-0.001x2,生产_ 单位这种商品时利润最大，最大利润是_ . 【解析】求最大利润，即求函数L(x)的最
3、大值. L(x)=1-0.002x.令L(x)=0,即1-0.002x=0， 得x=500,此时L(500)=750. 由已知，L(x)在其定义域0,+)上连续且只有一个极值点，所以可得生产500单位这种商品时利润最大，最大利润是750. 答案：500 750,5.（2010聊城高二检测）设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为_.,6.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是则总利润最大时,每年生产的产量是_.,【解析】由题意知总成本C(x)=20 000+100x, 总利润为P=R(x)-C(
4、x)=令P=0,当0x400时,得x=300,当x400时,P0恒成立. 知当x=300时,总利润最大. 答案：300,三、解答题（每题8分，共16分） 7.试验表明,某型号的汽车每小时的耗油量y(升)与速度x (千米/小时)的关系式为y=3( ).已知甲乙两地相距180千米,最高时速为V千米/小时. (1)当车速为x(千米/小时)时,从甲地到乙地的耗油量为 f(x)(升),求函数f(x)的解析式并指出函数的定义域; (2)当车速为多大时,从甲地到乙地的耗油量最少.,【解析】(1)f(x)= x(0,V. (2)f(x)= 解得x=90. 若V90,有f(x)0,则函数f(x)在区间(0,V内
5、为单 调减函数,所以车速为V(千米/小时)时,从甲地到乙地的 耗油量最小;,若V90,当00, 所以,当x=90时,f(x)最小. 综上,若V90,车速为V(千米/小时)时,从甲地到乙地的耗油量最小;若V90, 车速为90(千米/小时)时,从甲地到乙地的耗油量最小.,8.某商场预计2010年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是 p(x)= x(x+1)(39-2x)(xN*，且x12). 该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是 q(x)=150+2x(xN*，且x12)， （1）写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式； （2）该商品每件的
6、售价为185元，若不计其他费用且每月 都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预 计最大是多少元？,【解题提示】(1)解答本题时写出今年第x个月的需求量f(x)与月份之间的函数关系是关键，注意验证x=1时的情况. (2)写出月利润的函数表达式后利用导数的有关性质去求最大利润.,【解析】（1）当x=1时，f(1)=p(1)=37； 当2x12时，f(x)=p(x)-p(x-1) = x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x) =-3x2+40x(xN*，且2x12). 验证x=1符合f(x)=-3x2+40x, f(x)=-3x2+40x(xN*且1x12).,（2）该商场
7、预计销售该商品的月利润为 g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x) =6x3-185x2+1 400x(xN*，1x12), g(x)=18x2-370x+1 400, 令g(x)=0，解得x=5,x= (舍去). 当1x5时，g(x)0;当5x12时，g(x)0, 当x=5时，g(x)max=g(5)=3 125（元）. 综上5月份的月利润最大是3 125元.,9.(10分)已知函数f(x)=x+lnx. (1)求函数f(x)在1,e2上的最值； （2）对xD，如果函数F（x）的图像在函数G（x）的图像的下方，则称函数F(x)在D上被函数G（x）覆盖. 求证：函数f(x)在区间（1，+）上被函数g(x)=x2覆盖.【解题提示】F(x)在D上被G（x）覆盖的真实含义是对对任意xD,f(x)G(x).,【解析】（1）f(x)=1+ 0在1,e2上恒成立， f(x)在1,e2上为增函数. f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(e2)=e2+2. (2)g(x)-f(x)=x2-x-lnx, g(x)-f(x)=2x-1- 0在（1，+）上恒成立. 函数F（x）=g(x)-f(x)在（1，+）上为增函数. g(x)-f(x)g(1)-f(1)=0. 故f(x)在（1，+）上被函数g(x)=x2覆盖.,
