1、第23卷第3期2007年6月大 学 数 学COLLEGE MATHEMATICSV0123，3Jun2007可逆矩阵在保密通信中的应用熊小兵(武汉大学计算机学院，武汉430079)摘 要作为工科“线性代数”课中相关知识的一个具体应用的例子，从理论与实践相结合的角度论述了可逆矩阵在保密通信中的应用及其存在的问题与对策等关键词线性代数；可逆矩阵；保密通信中图分类号015121 文献标识码TN9112 文章编号16721454(2007)03一0108一051 引 言在工科“线性代数”课程的教学实践中，笔者发现，许多教科书在介绍相关理论知识和数学工具的应用时，所举的例子往往缺乏时代感，没有与当前最前
2、沿的科学技术相结合，以至于很多学生错误地认为所学的东西与自己的专业关系不大，好象没有多大的用处为了引导学生正确地认识“线性代数”这门课在工科领域的重要作用，笔者在讲授“矩阵”的相关知识时，特地设立了一个专题“可逆矩阵及其应用”在此专题中，笔者结合当前最前沿的科学技术，举了若干个“可逆矩阵”可以大显身手的例子，不仅说明了在其中应用“可逆矩阵”的一般思路，也提出了其中存在的问题，从而激励学生进行研究性学习，取得了较好的效果本文就是其中的一例2基于可逆矩阵的保密通信模型保密通信是当今信息时代一个非常重要的课题无数的科技工作者为此做了大量的工作，先后提出了许多较为有效的保密通信模型其中，基于加密技术的
3、保密通信模型是其中最为基本而且最具活力的一种21加密保密通信模型基于加密技术的保密通信模型如下：收稿日期2005一0929(发送方)(接收方)图1万方数据第3期 熊小兵：可逆矩阵在保密通信中的应用 109发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据22可逆矩阵的应用显然一种加密技术是否有效，关键在于是密文能否还原成明文设有矩阵方程CAB，其中B为未知矩阵我们知道，如果A为可逆矩阵，则方程有唯一解BA叫c，其中A1是A的逆矩阵因此，可逆矩阵可以有效地应用于加密技术设A为可逆矩阵，B为明文矩阵，c为密文矩阵221 加密算
4、法加密时，采用下面的矩阵乘法：CBA 或 CAB例如，设加密密钥矩阵A为明文矩阵B为则密文矩阵c等于3 2 O 一1O 2 2 11 2 3 2O 1 2 13 22 54 31 23 2 O lO 2 2 11 2 3 2O 1 2 13 22 54 31 21 41 52 63 71 41 52 63 74 6 4 2 513 6 15 1 2915 3 21 1 3811 1 13 O 24222 解密算法解密时，采用下面的矩阵乘法：BCA一1 或 BA一1C，其中，A1为A的逆矩阵例如，针对上面的加密密钥矩阵A，解密密钥矩阵A如果密文矩阵C为则相应的明文矩阵B应等于1 1 2 4O 1
5、 O 一11 1 3 62 1 6 10101211117 75 71 31 27 87 63 22 12O368 96 62 11 19 66 91 21 11为一416106 0 6 9 74 5 5 5 83 7 2 6 33 17 O 8 1万方数据llO 大 学 数 学 第23卷3密钥的生成如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密密钥和求出其逆矩阵作为解密密钥是利用可逆矩阵实现保密通信的关键31加密密钥的生成我们知道，初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的因此，我们可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密密钥这种做法的好处是，我们可以自由地选择初等矩阵的数量和每个初等矩阵
6、的类型，以及由单位矩阵得到初等矩阵的具体初等变换在实际应用中，可以通过对单位矩阵连续施加一序列所选择的初等变换得到加密矩阵根据文献3，通常所谓的矩阵的三种基本类型的初等变换：1)交换两行或两列；2)数乘某一行或某一列；3)将某一行(或某一列)的K倍加到另一行(或另一列)上，实质上只有2)和3)两种是独立的，1)可以通过2)和3)来表示因此，在设计算法时，可以利用如下矩阵结构(下文称其为变换矩阵)：行号 列号 倍数 行号 列号变换l 1 O 3 O O变换2 O 3 5 O O变换3 2 l 3变换4 O 2 3 O 3变换卵 2 O 2 O O其中行代表变换，列表示变换的具体内容，而且第i行表
7、示第i次变换比如，变换1表示第l行乘一3；变换2表示第3列乘5；变换3表示第3行的一1倍加到第2行上；变换4表示第3列的3倍加到第2列上，等等32解密密钥的生成设A=PlP：P3只，其中只是初等矩阵，则A一1一P：1PilPjlPil，其中P_1是P。的逆矩阵设只是对单位矩阵I做初等变换K得到的初等矩阵，则只需对单位矩阵I做K的逆变换即可得到P_1显然，在实际应用，生成解密密钥只需要再次利用生成加密密钥时的变换矩阵对单位矩阵做一序列的初等逆变换即可文献4介绍了一种无重复生成所有可逆矩阵的方法，大家可以参考4 其它问题除了密钥矩阵的生成这一基本问题以外，在利用可逆矩阵实现保密通信时，还有一些问题
8、值得我们探讨41明文矩阵的选择如果明文矩阵刀为方阵，则当曰为可逆矩阵时有：A=召-1C或ACB，其中B_1为B的逆矩阵万方数据第3期 熊小兵：可逆矩阵在保密通信中的应用因此，如果窃密者以某种方式窃取到一对明文和相应的密文，碰巧其中的明文矩阵可逆，那么窃密者可以轻而易举地破解密文鉴于以上考虑，在实际应用时，明文矩阵不要采用方阵另外，在实际应用中，明文并不总是恰好可以分成整数个矩阵，出现这种情况时需要补充一些数据补充的数据可以是有意义的，也可以是无意义的有时，我们可以利用这些附加数据来达到某种特殊的效果，比如数据的完整性检验等42加密矩阵的选择设c=AB，根据矩阵乘法的定义，乘积矩阵C中第i行第j
9、列的元素c。，等于矩阵A中第i行的所有元素与矩阵B中第j列的对应元素之积的累加和因此，利用可逆矩阵来实现保密通信的另一个问题是，如果加密矩阵选择得不好，密文矩阵的元素长度会急剧膨胀为了避免出现这种情况，加密矩阵A最好满足以下条件：对任意的明文矩阵B，密文矩阵C中的每一个元素的长度都不超过明文矩阵B中对应位置上的元素的长度或者退而求其次：对任意的明文矩阵B，密文矩阵C中所有元素的总长度不超过明文矩阵B中所有元素的总长度如果能找到一个加密矩阵，使得对任意的明文矩阵，密文矩阵中所有元素的总长度在一个比较理想的程度上小于明文矩阵中所有元素的总长度，那么这时的加密算法同时也是一种较好的压缩算法43算法优
10、化设加密矩阵A为咒阶矩阵，明文矩阵B为行行仇列矩阵，利用“向量”的有关知识，密文矩阵c的第i行(行向量)Cf(i一1，2，72)可以表示为GAflBl+A岔口2+A妇B。，其中Ai(J一1，2，咒)为矩阵A的第i行第J列位置上的元素，而B。则为矩阵B的第以行(行向量)显然，密文矩阵的每一个行向量都是明文矩阵的所有行向量的一种线性组合，其组合系数正好是加密矩阵的相应行上的所有元素根据矩阵乘法的定义直接计算密文矩阵时，计算密文矩阵的每个元素需要做粗次乘法和咒一1次加法，因此计算整个密文矩阵总共需要m咒2次乘法和m咒(，z一1)次加法利用上述线性组合关系来计算密文矩阵时，计算密文矩阵的每行元素需要做
11、m九次乘法和m(“一1)次加法，因此计算整个密文矩阵也总共需要优行2次乘法和m竹(起一1)次加法但是，如果加密矩阵中含有一定数量的。元素，则利用线性组合来计算密文矩阵就有较大的优势加密矩阵每增加一个。元素，计算密文矩阵就要少做优次乘法和m次加法在实际应用中，加密矩阵一般都含有一定数量的。元素5 结束语本文作为工科“线性代数”课的一个关于可逆矩阵的应用的例子，不仅较为全面地论述了其一般问题，而且提出了一个非常有实用价值的研究课题，即：能否找到一个可逆矩阵A，使得对任意的矩阵B，乘积矩阵A曰的所有元素的总长度不超过矩阵曰的元素的总长度?笔者一直奉“学以至用，以用促学”为教学的最高境界，本文就是这一
12、追求的结果之一参考 文 献1华中科技大学数学系线性代数(第2版)M北京：高等教育出版社，20032蓝以中高等代数简明教程(上册)M北京：北京大学出版社，20023 张新发初等矩阵的关系及可逆矩阵的分解J大学数学，2003，19(2)：8285万方数据112 大 学 数 学 第23卷4欧海文，戴宗铎一个无重复生成所有可逆矩阵的算法J数学杂志，1999，19(3)：270一276The Application of an InVertible Matrix in Secure CommunicationXJONG Xiao一6ing(Computer School，Wuhan University
13、，Wuhan 430079，China)Abstract：As an example of the application of some knowIedge of Linear Algebra，this paper discusses the applicationof an invertible matrix in secure communication， some basic problems of this application， and the solutions to theseproblemsKey words：linear Algebra；invertible matriX，secure communication万方数据可逆矩阵在保密通信中的应用作者： 熊小兵， XIONG Xiao-bing作者单位： 武汉大学,计算机学院,武汉,430079刊名： 大学数学英文刊名： COLLEGE MATHEMATICS年，卷(期)： 2007,23(3)参考文献(4条)1.欧海文;戴宗铎 一个无重复生成所有可逆矩阵的算法 1999(03)2.张新发 初等矩阵的关系及可逆矩阵的分解期刊论文-大学数学 2003(02)3.蓝以中 高等代数简明教程 20024.华中科技大学数学系 线性代数 2003本文链接：http:/
