1、第 24卷 第 2期2008年 4月 忻 州 师 范 学 院 学 报JOURNAL OF X INZHOU TEACHERS UN IVERSITY Vol. 24 No. 2Ap r. 2008 图 论 中 邻 接 矩 阵 的 应 用刘 亚 国(河 源 职 业 技 术 学 院 ,广 东 河 源 517000)摘 要 :文 章 介 绍 了 邻 接 矩 阵 的 定 义 及 一 个 重 要 的 定 理 ,揭 示 了 Ak 在 图 论 中 的 实 际 意 义 ,并 运 用 邻 接 矩 阵 的 方 法 巧 妙 的 解 决 了 锁 具 装 箱 和 商 人 过 河 两 个 问 题 ,使 复 杂 的 问 题
2、 简 单 易 懂 ,且 容 易 推 广 ,达 到 了 事 半 功 倍 的 效 果 ,体 现 出 了 邻 接 矩 阵 在 实 际 生 活 中 的 应 用 价 值 。关 键 词 :图 ;邻 接 矩 阵 ;顶 点 ;边 ; 路 径中 图 分 类 号 : O151. 21 文 献 标 识 码 : A 文 章 编 号 : 1671 - 1491 ( 2008) 02 - 0018 - 021 引 言首 先 介 绍 图 论 中 邻 接 矩 阵 的 一 个 重 要 定 理 :G是 一 个 图 , V (G)为 G的 顶 点 集 , E (G)为 G的 边 集 。 设G中 有 n个 顶 点 v1 , v2 ,
3、 , vn; A = ( aij ) n n为 G的 邻 接 距 阵 ,其 中aij =1 vi vj E (G)0 vi vj | E (G)i, j = 1, 2, , n定 理 1:设 A (G)为 图 G的 邻 接 距 阵 ,则 G中 从 顶 点 vi到顶 点 vj,长 度 为 k的 道 路 的 条 数 为 Ak 中 的 i行 j列 元 素 。证 :对 k用 数 学 归 纳 法k = 1时 ,显 然 结 论 成 立 ;假 设 k时 ,定 理 成 立 ,考 虑 k + 1的 情 形 .记 A l的 i行 j列 元 素 为 a( l)ij l 2,因 为 A l A =A l + 1 ,所
4、 以a( l+1)ij = ali1 a1j + ali2 a2j + + alin an j (1)而 从 vi到 vj长 k + 1的 道 路 无 非 是 从 vi经 k步 到 某 顶 点vl (1 l n) ,再 从 vl走 一 步 到 vj;由 归 纳 假 设 从 vi到 vl长 为 k的 道 路 共 计 akil条 ,而 从 vl到 vj长 为 1的 道 路 为 aij条 ,所 以 长为 k + 1的 从 vi经 k步 到 vl再 一 步 到 vj的 道 路 共 有 a( k)ij alj条 ,故 从 vi经 k + 1步 到 vj的 路 径 共 有 a( k +1)ij = nl
5、= 1a( k)il alj条 。2 邻 接 矩 阵 的 应 用2. 1 锁 具 装 箱 问 题某 厂 生 产 一 种 弹 子 锁 具 ,每 个 锁 具 的 钥 匙 有 5个 槽 ,每个 槽 的 高 度 从 1, 2, 3, 4, 5, 6 6个 数 (单 位 略 )中 任 取 一 数 。由 于 工 艺 及 其 他 原 因 ,制 造 锁 具 时 对 5个 槽 的 高 度 还 有 两 个限 制 :至 少 有 3个 不 同 的 数 ,相 邻 两 槽 的 高 度 之 差 不 能 为 5,满 足 以 上 条 件 制 造 出 来 的 所 有 互 不 相 同 的 锁 具 称 为 一 批 。销 售 部 门
6、在 一 批 锁 具 中 随 意 地 取 每 60个 装 一 箱 出 售 。 问 每一 批 锁 具 有 多 少 个 ,装 多 少 箱 。 ( 1994年 全 国 大 学 生 数 学 建模 竞 赛 试 题 B 题 )锁 具 装 箱 这 个 问 题 是 一 个 排 列 组 合 的 数 学 问 题 ,但 在 这里 我 们 用 图 论 中 的 邻 接 矩 阵 方 法 来 解 决 这 个 问 题 。每 把 锁 都 有 5个 槽 ,每 个 槽 有 6个 高 度 ,至 少 有 三 个 不同 高 度 的 槽 。 且 相 邻 槽 高 差 不 为 5。 我 们 先 求 出 无 相 邻 高差 为 5的 锁 具 数 量
7、 ,再 减 去 仅 有 一 个 、 两 个 槽 高 的 锁 具 数 目 。先 计 算 由 1, 2, 3, 4, 5, 6构 成 无 1, 6相 邻 的 情 况 的 数 目 。 为此 ,构 造 一 个 6节 点 的 图 :将 1, 2, 3, 4, 5, 6这 6个 数 作 为 6个 节 点 ,当 两 个 数 字 可 以 相 邻 时 ,这 两 个 节 点 之 间 加 一 条 边 ,每 个 节 点 有 自 己 到 自 己 的 一 条 边 。 我 们 得 到 了 锁 具 各 槽 之间 的 关 系 示 意 图 (见 图 1)。图 1 锁 具 各 槽 间 的 关 系 示 意 图该 图 的 邻 接 矩
8、阵 为收 稿 日 期 : 2007 - 10 - 24作 者 简 介 :刘 亚 国 (1979 - ) ,男 ,湖 北 孝 感 人 ,河 源 职 业 技 术 学 院 助 教 ,从 事 基 础 数 学 与 应 用 及 数 学 模 型 研 究 。 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/A =1 1 1 1 1 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1邻 接 矩 阵 A的 所 有 元 素 之
9、 和 表 示 两 个 槽 高 无 1, 6相 邻的 锁 具 的 个 数 ,每 个 无 1, 6相 邻 的 5位 数 与 图 1中 长 度 为 4的 一 条 链 1 - 1对 应 ,如 12345, 11111, 22335等 。 A的 k次 方Ak 中 各 元 素 之 和 就 是 长 度 为 k的 链 的 个 数 。 事 实 上 ,从 这个 具 体 问 题 可 以 看 出 , A2 中 第 i行 第 j列 的 元 素 指 从 i开 始经 过 两 条 边 到 达 j的 链 数 ,即 从 i开 始 经 过 一 条 边 到 k,再 从k经 过 一 条 边 达 到 j, i和 j就 决 定 了 中 间
10、 顶 点 k的 数 目 。 于是 ,利 用 M atlab就 很 容 易 得 到A4 =141 165 165 165 165 140165 194 194 194 194 165165 194 194 194 194 165165 194 194 194 194 165165 194 194 194 194 165140 165 165 165 165 141将 A4 中 元 素 求 和 可 得 相 邻 高 差 不 为 5的 锁 具 数 为 6306把 。 但 这 6306把 锁 具 中 包 含 了 仅 有 一 个 、 两 个 槽 高 的 锁 具 ,需 要 从 其 中 减 去 。 需 减 去
11、 的 锁 具 的 个 数 为6 + (C26 - 1) (25 - 2) = 426其 中 ,第 一 个 6仅 有 1个 槽 高 的 锁 具 ; C26 为 1, 2, 3, 4, 5,6这 6个 数 中 取 两 个 的 取 法 ,但 扣 除 1, 6这 一 种 取 法 ; ( 25 -2)是 5个 槽 高 每 个 都 有 两 种 选 择 25 ,再 减 去 都 取 相 同 数 字的 两 种 情 况 。最 后 得 到 一 批 锁 具 的 个 数 为 6306 - 426 = 5880,总 共 装98箱 。 这 样 ,就 用 图 论 的 知 识 成 功 地 解 决 了 一 批 锁 具 的 数量
12、问 题 ,这 个 方 法 比 用 别 的 方 法 简 单 ,且 容 易 推 广 。2. 2 商 人 过 河 问 题三 名 商 人 各 带 一 个 随 从 乘 船 渡 河 ,现 有 一 只 小 船 只 能 容纳 两 个 人 ,由 他 们 自 己 划 行 ,若 在 河 的 任 一 岸 的 随 从 人 数 多于 商 人 ,他 们 就 可 能 抢 劫 财 物 。 但 如 何 乘 船 渡 河 由 商 人 决定 ,试 给 出 一 个 商 人 安 全 渡 河 的 方 案 。下 面 分 析 及 求 解假 设 渡 河 是 从 南 岸 到 北 岸 , (m , n)表 示 南 岸 有 m 个 商人 , n个 随
13、从 ,全 部 的 允 许 状 态 共 有 10个v1 = (3, 3) ; v2 = (3, 2) ; v3 = (3, 1) ; v4 = (3, 0)v5 = (2, 2) ; v6 = (1, 1) ; v7 = (0, 3) ; v8 = (0, 2)v9 = (0, 1) ; v10 = (0, 0)以 V = v1 , v2 , , v10 为 顶 点 集 ,考 虑 到 奇 数 次 渡 河 及偶 数 次 渡 河 的 不 同 ,我 们 建 立 两 个 邻 接 距 阵A =A1 A20 A3B = AT其 中A1 =0 1 1 0 10 0 1 1 10 0 0 1 00 0 0 0
14、00 0 0 0 0; A2 =0 0 0 0 00 0 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 01 0 1 0 0A3 =0 0 0 1 10 0 1 1 00 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 0其 中 A表 示 从 南 岸 到 北 岸 渡 河 的 图 的 邻 接 距 阵 , B = AT表 示 从 北 岸 到 南 岸 渡 河 的 图 的 邻 接 距 阵 。由 定 理 1,我 们 应 考 虑 最 小 的 k, s t (AB ) kA 中 1行 10列 的 元 素 不 为 0,此 时 2k + 1即 为 最 少 的 渡 河 次 数 ,而 矩 阵(AB ) k 中 1行
15、10列 的 元 素 为 最 佳 的 路 径 数 目 。经 过 计 算 K = 5时 , (AB ) 5A的 第 1行 10列 元 素 为 2,所以 需 11次 渡 河 ,有 两 条 最 佳 路 径 。最 后 我 们 用 图 解 法 来 描 述 :前 面 我 们 已 求 出 问 题 的 10种 允 许 状 态 ,允 许 决 策 向 量集 合 D = ( u, v) : u + v = 1, 2 ,状 态 转 移 方 程 为 Sk + 1 = Sk +( - 1) k dk ,如 图 2,标 出 10种 允 许 状 态 ,找 出 从 s1 经 由 允 许状 态 到 原 点 的 路 径 ,该 路 径
16、 还 要 满 足 奇 数 次 向 左 ,向 下 ;偶 数次 向 右 ,向 上 。图 2 坐 标 平 面 示 意 图由 图 3可 得 这 样 的 过 河 策 略 ,共 分 11次 决 策 ,于 应 用邻 接 矩 阵 所 求 的 结 果 吻 合 。图 3 状 态 转 移 线 路 图3 结 论使 用 邻 接 矩 阵 描 述 方 便 直 观 ,使 问 题 变 的 简 单 易 懂 ,应用 邻 接 矩 阵 的 方 法 不 仅 能 够 说 明 vi 到 vj的 路 径 的 长 度 为 k时 ,是 否 可 行 ,而 且 还 能 反 映 出 可 行 的 路 径 条 数 ,从 而 能 够 寻找 出 最 合 实 际
17、 的 路 径 或 最 短 路 径 ,是 一 种 简 (下 转 第 24页 )91 第 2期 刘 亚 国 :图 论 中 邻 接 矩 阵 的 应 用 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/参 考 文 献 : 1 徐 卫 明 , 赵 成 平 .一 道 概 率 题 的 探 索 与 引 伸 J . 数 学通 讯 , 2006, (3) : 13. 2 复 旦 大 学 编 . 概 率 论 M . 北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,1979.The Sk illf
18、ul Proofs on the Con jectureL IU Zhi - gao(Anhu i U niversity of Technology, M a anshan 243011, China)Abstract: The conjecture, which if the p robability of an event is p then the expectation of the experiment times where the event exactlyoccurred the m th mp in a sequence of independent trials, is
19、respectively p roved skillfully by p robability generating function and decom2posed sum formula. Furthermore, it is p roved that the variance of the is m (1 - p)p2 .Key words: random variable; expectation; generating function(上 接 第 19页 )单 且 便 于 计 算 机 求 解 的 方 法 。(责 编 :唐 晓 燕 )参 考 文 献 : 1 阮 哓 青 ,周 义 仓
20、. 数 学 建 模 引 论 M . 北 京 :高 等 教 育出 版 社 , 2005. 2 胡 运 权 . 运 筹 学 教 程 M . 北 京 :清 华 大 学 出 版 社 ,1998. 3 王 朝 瑞 . 图 论 M . 北 京 :国 防 工 业 出 版 社 , 1985.Adjacen t M a tr ix Applica tion in Graph TheoryL IU Ya - guo(Heyuan V oca tional Technica l College, Heyuan 517000, China)Abstract: Introduced adjacent matrix s
21、definition and an important theorem, have p romulgated in the graph theory Ak p ractical signifi2cance, and crossed river two questions using adjacent matrix s method ingenious solution locking device kto p revent going in packingand the merchant, caused the comp lex question simp le easy to underst
22、and, and easy to p romote, has achieved the twice the result withhalf the effort effect, manifested the adjacent matrix in the p ractical life app lication value.Key words: chart; adjacent matrix; apex; side; way42 忻 州 师 范 学 院 学 报 第 24卷 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/
