1、矩阵在图论中的应用 一、 无向图的邻接矩阵 定义 1： 设图 G 顶点集合为12() , , , pVG v v v= null ，边集为12() , , , qE Gee e= null ，则图G 的 邻接矩阵 () ( )ij ppAG a= 定义为 1()0()ijijijvv EGavv EG=例 1 如下图 G v1v2v3v4e2e1e3e5e4G 的邻接矩阵为 01101011()11010110AG=定理 1： 设图 G 的顶点集为12() , , , pVG v v v= null ，邻接矩阵为 A，且()()nnij p pAa= ，则()nija 为 G 中长为 n 的不
2、同ijvv 途径的条数。 证明 ：对 n 进行归纳。当 n=1 时，由邻接矩阵定义， 1ija = 当且仅当存在一条i jvv 途径，故结论成立。设1(1)()nnij p pAa= ，且(1)nija为 G 中长为 n-1 的不同ijvv 途径的条数，由1nnA AA= 得，() ( 1)1pnnij ik kjkaaa=，而(1)nik kjaa为由长为 n-1 的ikvv 途径加上kjvv边组成的长为 n 的ijvv 途径的条数，由归纳假设，()nija 为长为 n 的不同ijvv 途径的条数。 例 2 如例 1 中 20110 0110 21121011 1011 13211101 1
3、101 12310110 0110 2112A=(2)142a = 表示长为 2 的14vv 途径有 2 条，即11244vevev和12354vevev 。 322112 0110 25521321 1011 54551231 1101 55452112 0110 2552AAA= =(3)125a = 表示长为 3 的12vv 途径有 5 条，即： 1121112,vevevev1232112,vevevev1123332,vevevev1124442,vevevev1235442.vevevev 推论 ：设 G 的邻接矩阵为 A，1()kiij p piMm A=，则ijm 为长度不超过
4、 k 的i jvv 途径的条数。 二、 有向图的关联矩阵 定义 2： 设有向图 D 的顶点集为12() , , , pVG v v v= null ，弧集为12(), , , qH Dhh h= null ，则图 D 的 关联矩阵 () ()ij pqBD b= 定义为， 110 ik jij ki jvv abvvaotherwise= =例 3 如下图 D v1v2v3 v4e2e1e3e5e4e6D 的关联矩阵为 11100010 0 1 1 0()01010100 10 11BD= 定理 2： P 阶连通有向图 D 的关联矩阵 B 的秩为 p-1。 （不证） 定义 3：设 B 为 p
5、阶连通有向图 D 的关联矩阵，从 B 中去掉与顶点kv 对应的一行得一(1)pq矩阵kB ，称kB 为 D 的对应于顶点kv 的 基本关联矩阵 。 定理 3：设kB 为有向图 D 的基本关联矩阵，且12, , ,lCee e= null 是 D 中一回路，则回路 C的各边所对应的矩阵kB 的各列必线性相关。 证明 ：设 M 为kB 中12,lee enull 对应的列构成的子阵，若 C 中含有kv ，则由定理 2，秩()M 1l；若 C 中不含kv ，则 M 中非零行的个数至多为 1l ，则秩 ()M 1l。所以kB 中12,lee enull 对应的列线性相关。 推论：kB 任一 1p 阶子
6、式 M 不为零的充要条件是 M 的各列对应的边构成的子图为 D 的生成树。 引理（ Binet-Canchy） ：设有矩阵 ()ij mnAa= 和 ()ij nmBb= ，且 mn ，则 | | |iiiABAB=， 其中 |iA 是矩阵 A 中 m 阶子式， |iB 则是 B 中相应的 m 阶子式。 定理 4：设kB 为有向图 D 的任一基本关联矩阵，则图 D 的生成树的数目为 |TkkB B 。 证明 ： 2| | | | |TTkk i i iiiBB B B B= 又当iB 中列对应的边构成树时， 1iB = ，否则， 0iB = 。 |TkkB B 为 D 中生成树的数目。 例 4
7、 从例 3 中图 D 的关联矩阵 B 中取4v 的基本关联矩阵 4111000100110010101B=，计算44|16.TBB = 说明图 D 有 16 个不同的生成树，如下图 v1v3 v4e2e1e3v1v2v3 v4e2e4e6v1v2v3v4e3e5e6v1v2v3 v4e1e5e4v1v2v3 v4e1e3e5e6v1v2v3 v4e2e3e5v1v2v3v4e2e3e4v1v2v3v4e2e1e6v1v2v3 v4e3e4e6v1v3v4e1e3e4v1v2v3v4e1e3e5e4v1v2v3v4e2e5e6v1v2v3v4e1e4e6v1v2v3 v4e2e5e4v1v2v3v4e3e5e6v1v2v3 v4e2e1e5
