1、矩阵论在电路分析中的应用随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“ 矩阵论” 作为研究生的必修课 。对于电路与系统专业的研究生，矩阵论也显得尤为重要。本文以电路与系统专业
2、研究生的必修课电网络分析与综合为例，讲解矩阵论的重要作用。在电路分析中，对于一个有 n 个节点，b 条支路的电路图，每条支路的电压和电流均为未知，共有 2b 个未知量。根据KCL 我们可以列出（b-1 ）个独立的方程，根据 KVL 我们也可以列出（b-n+1 ）个独立的方程，根据每条支路所满足的欧姆定律，我们还可以可以列出 b 个方程；总共 2b 个方程要解出b 个支路电流变量和 b 个支路电压变量。当 b 的数值比较大时，传统的解数学方程组的方法已经不再适用了，因此我们需要引入矩阵来帮助我们求解电路。一. 电网络中最基本的三个矩阵 图 11. 关联矩阵 在电路图中，节点和支路的关联性质可以用
3、关联矩阵 来表示。 选取一个节点ijaA为参考节点后，矩阵 的元素为：A个 节 点 无 关 联条 支 路 与 第第 方 向 指 向 节 点个 节 点 相 关 联 ， 且 支 路条 支 路 与 第第 方 向 离 开 节 点个 节 点 相 关 联 ， 且 支 路条 支 路 与 第第 ij iijaij 01 图 1 中电路图的关联矩阵为 01- - 0 1 -A2. 基本回路矩阵 在电路图中，基本回路和支路的关联性质可以用基本回路矩阵 来表示。当选ijfbB定电路图中的一个树，额外再增加一个连枝的时候，就会形成一个基本回路。选取基本回路的方向与它所关联的连枝方向一致，矩阵 的元素为：fB个 回 路
4、 无 关 联条 支 路 与 第第 反方 向 和 基 本 回 路 方 向 相个 回 路 相 关 联 ， 且 支 路条 支 路 与 第第 同方 向 和 基 本 回 路 方 向 相个 回 路 相 关 联 ， 且 支 路条 支 路 与 第第 ijijbij 01 图 1 中电路图的基本回路矩阵为1 0 -1 0 -fB3. 基本割集矩阵在电路图中，基本割集和支路的关联性质可以用基本割集矩阵 来表示。当ijfqQ选定一组连枝，在额外增加一个树枝的时候，就会形成一个基本割集。选取基本割集的方向与它所关联的树枝方向一致，矩阵 的元素为fQ个 基 本 割 集 无 关 联条 支 路 与 第第 向 相 反支 路
5、方 向 与 基 本 割 集 方个 基 本 割 集 相 关 联 ， 且条 支 路 与 第第 向 相 同支 路 方 向 与 基 本 割 集 方个 基 本 割 集 相 关 联 ， 且条 支 路 与 第第 ijijqij 01 图 1 中电路图的基本割集矩阵为0 1- 0 1 fQ2. 利用三种矩阵求解电路问题1. 关联矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵之间的一般关系根据 KVL 和 KCL 定律，有 （1） 0 0TffTff QBAB由于基本割集矩阵和基本回路矩阵具有特殊的形式，可以将他们写成如下形式（2）ltfltf QB1 1 联系式子（1）中的关系可以得到 ltTt lTtlTttfABA1
6、0 故 ltf)(1同理可以得到 AQlltltf 111 2. 电路的一般支路中变量的关系 图 2电路中的一般支路可表示如图 2，其中 分别表示第 k bkiu,条支路的电压和电流， 分别表示该支路中的电压源和电流源。skiu,经过拉普拉斯变换后电路图如图 3， 分别表示支路电压、)(,sbki电流的象函数， 则为电压源和电流源的象函数。)(,sksiu根据 KCL 和 KVL 定律， 图 3（3） 0 0 bfbfb uBiQAi得到，在复频域中 （4）)()()( sUIsZIsUkkbksbk 将上式改写成欧姆定律方程，并写成矩阵形式，可得（5）)()()(sIsIsbbb式子中 为无
7、源元件的阻抗矩阵，其具有以下形式bZ（6）ppbDsLZs1 0R )(3. 利用矩阵求解实际电路对于一个不含受控源的网络，根据（3）式 可知，在复频域中有0 ,bbfAiuB，联系式子（5）得到0)( ,0)(sAIsUBbbf（7）)()(sIZsUZBbffbf 式子（7）结合 ，写成一个向量方程为0)(sAIb（8）)(0 )()( sIZBsIZBbffbf 如果 的系数矩阵为非奇异的，则)(sIb)( 0 )()(0 )()( 11 sIZBAssUBAsZsI bfbffbfb （9）在将（9）式带入（5 ）式中就可以解出 的值，此时电路的所有未知量)(sb均已解出。)( )(sUIbb和3. 结束通过对电路的分析，使用矩阵来求解复杂的电路问题，充分体现了数学的优势，实现了矩阵论在其它学科上的应用。实际证明，各个学科相互结合使用，对于学科的发展有很大的推进作用，就像矩阵论在电网络中的应用一样。
