1、矩阵在实际生活中的应用华中科技大学文华学院城市建设工程学部环境工程 1 班 刘丛2目录摘要 3实际应用举例 4论文总结 15参考文献 163摘要：随着现代科学的发展，数学在经济中广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的因素之一，马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步” 。下面通过具体的例子来说明矩阵在经济生活中、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理的应用。关键词：矩阵、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理4一：矩阵在经济生活中的应用1 “活用”行列式定义定义：用符号 表示的 n 阶行列式 D 指的是 n!项代数和，这些项是一切可能的取自 D 不同行与不同列上的 n
2、 个元素的乘积 的符号为 。由定义可以看出。n 阶行列式是由 n!项组成的，且每一项为来自于 D 中不同行不同列的 n 个元素乘积。实例 1：某市打算在第 “十一”五年规划对三座污水处理厂进行技术改造，以达到国家标准要求。该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承包，见下列表格(以 1 万元人民币为单位)在这期间每个公司只能对一座污水处理厂进行技术改造，因此该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司，为了使报价的总和最小，应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂?设这个问题的效率矩阵为 ，根据题目要求，相当于从效率矩阵中选取来自不同行不同列的三个元素“和”中的最小者!从行列式定义知道，这
3、样的三个元素之共有 31=6(项)，如下：5由上面分析可见报价数的范围是从最小值 54 万元到最大值 58 万元。由得到最小报价总数 54 万元，因此，该城市应选定即2 “借用”特征值和特征向量定义：“设 A 是 F 中的一个数如果存在 V 中的零向量 ，使得，那么 A 就叫做的特征值，而叫做的属于本征值 A 的一个特征向量。实例 2：发展与环境问题已成为 21 世纪各国政府关注和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位) ， 是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位) 若干年6后(
4、例如 5 年后) 的污染水平和工业发展水平分别为和它们之间的关系为试分析若干年后的污染水平和工业发展水平。对于这个问题，将(1)写成矩阵形式，就是由此可预测若干年后的污染水平与工业发展水平为原来的 4 倍。二：人口流动问题（矩阵高次幂的应用）设某中小城市及郊区乡镇共有 30 万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：在这 30 万就业人员中，目前约有 15 万人从事农业，9 万人从事工业，6 万人经商；7在务农人员中，每年约有 20%改为务工，10%改为经商；在务工人员中，每年约有 20%改为务农，10%改为经商；在经商人员中，每年约有 10%改为务农，10%改
5、为务工。现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。现做如下解答：若用三维向量(x i,yi,zi)T 表示第 i 年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x 0,y0,z0)T=(15,9,6)T。而欲求(x 1,y1,z1)T，(x 2,y2,z2)T 并考察在 n时(x n,yn,zn)T的发展趋势。依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为X1=0.7x0+0.2y0+0.1z0Y1=0.2x0+0.7y0+0.1z0Z1=0.1x0+0.1y0+0.8z0即X1 0.7 0.2 0.1 x0 x0Y1 = 0.2 0.7 0.1 y0 = A
6、y0Z1 0.1 0.1 0.8 z0 z0以(x 0,y0,z0)T=(15,9,6)T代入上式，即得X1 12.9Y1 = 9.9Z1 7.2即一年后从事各业人员的人数分别为 12.9 万、9.9 万、7.2万人。以及X2 x1 x0 11.73Y2 = A y1 = A2 y0 = 10.238Z2 z1 z0 8.04即两年后从事各业人员的人数分别为 11.73 万、10.23 万、8.04 万人。进而推得xn xn-1 x0yn =A yn-1 = An y0zn zn-1 z0即 n 年之后从事各业人员的人数完全由 An决定。三：电阻电路的计算如图所示的电路中，已知R1=2，R 2
7、=4，R 3=12，R 4=4，R 5=12，R 6=4，R 7=2，设电压源 us=10V，求 i3,u4,u7.现求解如下：设各个网孔的回路电流分别为 ia,ib和 ic，由物理学定律，任何回路中诸元件上电压之和等于 0.据图可列出各回路的电压方程为(R1+R2+R3)ia-R3ib=us-R3ia+(R3+R4+R5)ib-R5ic=09-R5ib+(R5+R6+R7)ic=0可写成矩阵形式为：R1+R2+R3 -R3 0 ia 1-R3 R3+R4+R5 -R5 ib = 0 us0 -R5 R5+R6+R7 ic 0把参数代入，列方程如下：18 -12 0 ia 1-12 28 -1
8、2 ib = 0 us0 -12 18 ic 0简写成 AI=bus其中 I=( ia,ib,ic)T。已知 us=10，解矩阵方程得1 0 0 0.9259U= 0 1 0 0.5556 这就是问题的解0 0 1 0.3704意味着ia 0.9259I= ib = 0.5556 ic 0.3704任何稳态电路问题都可以用线性代数方程描述。直流电路构成的是实系数方程，它的解为实数；而交流电路构成的是复系数方程，它的解为负数。所以用矩阵方程和计算机软件就显得更为重要。由此题我们看出矩阵在表示数方面有简洁直观、表现力强的特点，是理论与实际结合的一个很好的触点。四：矩阵在密码学中的应用10在密码学中
9、，原来的消息为明文，经过伪装的明文则变成了密文。有明文变成密文的过程称为加密。由密文变成明文的过程称为译密。改变明文的方法称为密码。密码在军事上和商业上是一种保密通信技术。矩阵在保密通信中发挥了重要作用。例如，如图所示，当矩阵 A 可逆时，对 Rn中的所有 X，等式 A-1AX=X 说明，A -1把向量 AX 变回到 X，A -1确定的线性变换称为由 A 确定的线性变换的逆变换。这使一些有心人想到可用可逆矩阵及其逆矩阵对需发送的秘密消息加密和译密。假设我们要送出的消息“ACCOMPLISH THE TASK.”。首先把每个字母 A,B,C,Z 映射到数 1,2,3，26.例如，数 1 表示 A
10、，数 11 表示 K；另外，用 0 表示空格，27 表示句号等。于是数集111,3,3,15,13,16,12,9,19,8,5,0,20,19,11,27表示消息“ACCOMPLISH THE TASK”，这个消息（按列）写成 45 矩阵1 13 19 8 1M = 3 16 8 5 193 12 0 0 1115 9 20 20 27密码的发送者和接收者都知道的密码矩阵是1 -1 -1 1 A = 3 0 -3 43 -2 2 -1-1 1 2 -2其逆矩阵（译码矩阵）是9 1 -1 7A-1 = 1/2 5 1 -1 5-19 -1 3 -13-21 -1 3 -1512加密后的消息通过
11、通信渠道，以乘积 AM 的形式输出，接收者收到的矩阵1 -1 -1 1 1 13 19 8 1C = AM = 3 0 -3 4 13 16 8 5 193 -2 2 -1 3 12 0 0 11-1 1 2 -2 15 9 20 20 2710 -6 31 23 -2= 54 39 137 104 78-12 22 21 -6 -40-22 9 -51 -43 -14之后接收者通过计算乘积 A-1C 来译出消息，即相继变换矩阵 C 的第 1 列，第 2 列，的元素就会变回到原来的信息。上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将高等代数与密码学紧密结合起来。运用数学知识破译密码，进而运用到军事等方面
12、。可见矩阵的作用是何其强大。五：矩阵在文献管理中的应用假如数据库中包括了 n 个文件，而搜索所用的关键词有m 个，如果关键词按字母顺序排列，我们就可以把数据库表示为 mn 的矩阵 A。其中每个关键词占矩阵的一行，每个文件用矩阵的列表示。A 的第 j 列的第一个元素是一个数，它表示第一个关键词出现的相对频率；第二个元素表示第二个关键词出现的相对频率；，依次类推。用于搜索的13关键词清单用 Rm空间的列向量 x 表示。如果关键词清单中第 i 个关键词在搜索列中出现，则 x 的第 i 个元素就赋值1，否则就赋值 0。为了进行搜索，只要把 AT乘以 x。下面我们来看一个例子:假如，数据库包含有一下书名
13、：B1-应用线性代数，B2-初等线性代数，B3-初等线性代数及其应用，B4-线性代数及其应用，B5-线性代数及应用，B6-矩阵代数及应用，B7-矩阵理论。而搜索的 6 个关键词组成的集按以下的拼音字母次序排列；初等，代数，矩阵，理论，线性，应用因为这些关键词在书名中做多出现 1 次，所以其相对频率数不是 0 就是 1。当第 i 个关键词出现在第 j 本书名上时，元素 A（i，j）就等于 1，否则就等于 0。这样我们的数据库矩阵就可用下表表示：书关键词 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7初等 0 1 1 0 0 0 0代数 1 1 1 1 1 1 0矩阵 0 0 0 0 0 1 1理论 0
14、 0 0 0 0 0 1线性 1 1 1 1 1 0 0应用 1 0 1 1 1 1 014假如读者输入的关键词是“应用，线性，代数” ，则数据库矩阵和搜索向量为0 1 1 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 0 1A= 0 0 0 0 0 1 1 ，x= 00 0 0 0 0 0 1 01 1 1 1 1 0 0 11 0 1 1 1 1 0 1搜索结果可以表示为两者的乘积：y=A Tx，于是可得0 1 0 0 1 1 0 31 1 0 0 1 0 1 21 1 0 0 1 1 0 3y=ATx= 0 1 0 0 1 1 0 = 30 1 0 0 1 1 1 30 1 1 0 0 1
15、1 20 0 1 1 0 0 0y 的各个分量就表示各书与搜索向量匹配程度。因为y1=y3=y4=y5=3，说明四本书 B1,B3,B4,B5 必然包含所有三个关键词。这四本书就被认为具有最高的匹配度，因而在搜索的结果中会把这几本书排在最前面。本例把线性变换的概念进一步扩展，它不一定是在具体的几何空间内进行的变量变换，在本例中是从“关键词”到“文献目录”的变换。现代搜索中往往包括几百万个文件和成千的关键词，但由于矩阵和向量的稀疏性，节省计算机的存储空间和搜索时间。15【论文总结】经过不断努力，一篇小论文终于新鲜出炉。这段时间，我去图书馆查阅资料，仔细观摩范文，研究参考文献。这次论文的编写不仅加
16、深了我们对矩阵的了解，明确了它的重要性，还使我认识到生活中有很多应用都涉及到了矩阵知识。感谢李创举老师一个学期以来辛勤的工作，你认真的工作态度，仔细的讲解，让我们对自动控制原理这门非常难的课有了最基本的了解。也许这篇论文显得有些浅显，用语也并不专业，但它锻炼了我的思维方式，开阔了我的视野，也使得我们对矩阵学习有了更新的了解。总之，感谢李老师的教导，我一定会更加努力，不仅仅是在自动控制原理的学习上，也在整个大学生活中努力做到更好，使自己成为一个能对社会有贡献的人。16【参考文献】【1 】 线性代数及其应用 （第二版） 天津大学数学系代数教研组编著【2 】 线性代数及其应用 中国财政经济出版社 张杰 邹杰涛主编【3 】 线性代数及其应用 （第二版） 华东理工大学出版社 刘剑平主编【4 线性代数及其应用 （第二版） 高等教育出版社 河北农业大学理学院【5 】 工程线性代数 电子工业出版社 陈怀琛 杨威主编【6 】 高等代数 （第三版） 高等教育出版社 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编【7 】 高等代数 高等教育出版社 张禾瑞 郝钢新【8 】 高等代数 福建教育出版社 陈昭木 陈清华 林亚南
