1、 矩阵可对角化的判定条件及推广数学与计算机科学学院 数学与应用数学（S）学号：2011031103 姓名：方守强 指导教师：梁俊平 摘要：矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化引言：矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价
2、形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。一、矩阵可对角化的概念1 特征值、特征向量的概念 定义 1 设 是数域 上线性空间 的一个线性变换, 如果对于数域 中APVP的一个数 存在一个非零向量 使得 ,那么 称为 的一个特征值，而00A0A称为 的属于特征值 的
3、一个特征向量。0求方阵 的特征值与特征向量的步骤：(1)由特征方程 =0 求得 的 个特征值，设 是 的互异特征AEnt,21值,其重数分别为 则 。tn,21 t21(2)求解齐次线性方程组 ,其基础解系 (0Xii, siip,21)就是 所对应特征值 的线性无关的特征向量。tinsi ,1， i2 矩阵可对角化的概念定义 2 设 是矩阵 上一个 阶方阵，如果存在数域 上的一个可逆矩AFnF阵 ,使得 为对角形矩阵，那么就说矩阵 可以对角化。P1 A任意方阵 的每一个特征值 都有一个与之相对应的特征向量 满足iiP，则这个方程可以写成iiAn,2, （1）nnPP,2121 n21我们定义
4、矩阵 , 则（1）式可写成 ,若n,21diagB,21 PBA矩阵 是可逆阵，则有PnAP,引理1 设 、 都是 阶矩阵,则有秩 秩 +秩 。An引理2 设 ( )为 阶方阵 的所有互异特征值，则矩阵 的s,21 n线性无关的特征向量的最大个数为 。IArIrIr s21证明 设 ( )为 阶方阵 的所有互异特征值，因为特征值s,21相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组is,的基础解析所含向量的个数，所以特征值 相应0XIAi ns,21的线性无关的特征向量的最大个数分别为 ， ，IArniIArn2，而矩阵 的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性IrnsA无关，从而,
5、矩阵 线性无关的特征向的最大个数为。IrIrIAs21引理3 设 为 阶方阵, 是任意两两互异的数,则ns,21。 nsIArIArIIIrs 1 221 二、矩阵可对角化的充分必要条件1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明定理1 数域 上 阶方阵 可对角化的充分必要条件是 有 个线性无关Pn n的特征向量。证明（1）充分性 假设 是矩阵 的 个线性无关的特征向量，nP,21 An即有 ,令矩阵 由特征向量 组成，iiAn1,2 ,21nP,21因为 是线性无关的，因此矩阵 是非奇异矩阵，其逆矩阵记为 ，nP,21 1根据逆矩阵的定义有 = ，另一方面，由 易知,P1nP121, iiPA=
6、,给此式左乘矩阵 ，则有nAPA,21 1= ，nI1 n2 n21即充分性得证。（2）必要性 令矩阵 和对角形矩阵 相似，即存在可逆矩阵 使得ADP,则有 ,于是记 =( )， 则DAP1PnP,21 Tnd,21可以写成 =( )即有n21 dd iiA,这说明矩阵 的列向量 是矩阵 的特征向量，而已知 是可逆n,2i iA阵，故 的 个列向量 线性无关，必要性得证。n,21定理2 设 ，则 可以对角化的充分必要条件是：nPA(1) 的特征根都在数域 内,(2)对 的每个特征根 ,有，其中 是 的重数。kEn秩条件(2) 也可改述为：特征根 的重数等于齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数
7、(简称为代数重数等于几何重数)。0XA条件(2)还可改述为：令有 ，即属于 的不同特征根nAnrii1-E秩 A的线性无关的特征向量总数是 。条件(1)，(2)还可改述为: 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于 。n证明 设 是 的所有不同的特征根, 是齐次线性方程r,21 Ajtj,1组 的一个基础解系，则 的特征向量0XAEjj A一定线性无关。rr trtt ,1111如果 , 则 有 个线性无关的特征向量, 从而 可以对角nr2AA化。若 可以对角化 , 则属于 的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定A是 。若不然, 则由定理1可设 的 个线性无关的特征向量为 ,设nAn n,
8、21是属于特征根 的特征向量，则 可由 线性表出，从而可由向量jjjjtj,1组 线性表出，于是，rank rankrr trtt ,1111 n,21 = 与 线性无关矛trtr,1 ntr2 ,盾。定理3 设 是 阶复矩阵 , 则 与对角形矩阵相似的充分必要条件是 的AnAA最小多项式 无重根。m证明 充分性 因 无重根,由 | 知, 的每个不变)(nd)(id1i因子 都不能有重根，从而特征矩阵 作为复数域上的 矩阵,其初等)(idE因子全为一次式，故 必与对角阵相似。A必要性 因 与对角阵相似,特征矩阵 的初等因子必均为一次式,故A最后一个不变因子 也只能是不同的一次因式之积，这就证明
9、了最小多项式nd无重根。)(nm此定理3所给出的判别矩阵与对角矩阵相似的条件,形式上还可削弱,我有:定理4 设 是 维向量空间 的一个线性变换， 的矩阵可以对角化的充V分必要条件是 可以分解为 个在 之下不变的一维子空间 的直和。VnnW,21证明 :必要性 若 可以对角化，则存在 的一组基 使得 在n,21 这组基下的矩阵为 ， n21令 ,则 ，LWLW,21 nWV21事实上：（1） ，则 ，Vnkk21又 , ，iikn,2 即 。1（2） , ，niii WW121 n,12i且 ，i ii 1且 , ，i nii 121 jj ,又 ， ， ,jjn, jjL,2,inii LL
10、1121即 又iniii 1线性无关 =0, ,n,21 j,2即 =0。充分性:若 可分解为 个在 之下不变的一维子空间 的直和,VnnW,21即 ,设 的基分别为 则 可W21 n,21 n,21 构成 的一组基。令 ， nn,221在基 下的矩阵为 ， n,21 n1即 可以对角化。定理5 设 是数域 上的一个 阶矩阵， 的特征根全在 内，若AFnAF是 的全部不同的特征根，其重数分别为 ，则 可对角化n,21 nr,21 A的充要条件是秩 。jjiirIk,12证明 :设 可对角化，则存在可逆矩阵 ,使AT这里右边是分块对角矩阵， 为 阶单位阵，于nIIdiagAT,211 iIir是
11、有秩 jiiI=秩 TAITjii1=秩 jiiI1=秩 ji kIIdiagI,21=秩 ji kii III,21=秩 jijiIdag0,0 = 。jr反之，若秩 = ，jiiAIjrk,12则反复用本文引理 1 可得：nAIijij 2秩nkrnjii2= ，jji于是有 = 。AIiji秩 ir从而 = ，这样 可对角化。i ink,12A定理 6 设 为 阶方阵 ,则 可以对角化的充要条件为存在两两互异的使得 。s,21 021 IIAIs证明 必要性 设 阶方阵 可以对角化, ( )为 的所有互ns,21 nA异特征值,由引理 2 及定理 1，从而 有 个线性无关的特征向量 ,即
12、n故IArIrIrs s2，0121nAIr再由引理 3 得 0， IIs从而有 。021IAs充分性 设 为 阶方阵且存在两两互异的数 使得n s,21，记为 = 。21IIIsAfIAII设 为 的特征值，则 必为 的特sf21 f征值，从而 。0Af所以 ,因此矩阵 的特征值的取值021s范围为 ，显然当 可逆时， 不是 的特征值；当s,21 IiiA可逆时， 是 的特征值。因为线性方程组 的基础解IAiiA0XIAi系所含向量的个数 即为 的特征值 的重数 (当Irniis,12可逆时, 不是 的特征值,此时 )。从而矩阵 线性无Ii i Irni A关的特征向量的最大个数为 。IrI
13、rs s21再由引理 3，当 时021 AIAs， nsIrIAr 121 所以 ，即 阶方阵 有 个rIsn s1 A线性无关的特征向量,从而 可以对角化。2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 具体步骤 设 ，求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵的步nPAnPXX1骤是:(1) 求矩阵 的全部特征根；(2) 如果 的特征根都在数域 内(否则 不可对角化), 那么对每个特征根 , A求出齐次线性方程组 的一个基础解系；0XI(3) 如果对每个特征根 , 的基础解系所含解向量个数等于 的重数(否则 不可对角化 ), 那么 可对角化,以所有基础解系中的向量为列即得A阶可逆阵 , 且 是对角阵, 而对角
14、线上的元素是 的全部特征根。nX1 A参 考 文 献1 张禾瑞,郝炳新.高等代数M.北京:高等教育出版社,2007.2 苏 普罗斯库烈柯夫,周晓钟译.线性代数习题集M.北京:人民教育出版社,1981.3 张枚.高等代数习题选编M.浙江:浙江科学技术出版社,1981.4 秦松喜.高等代数新编M.厦门:厦门大学出版社,2005.5 杨子胥.高等代数习题解M.山东:山东科学技术出版社,2001.6 张贤达.矩阵分析与应用M.北京:清华大学出版社，2004.7 张建航，李宗成.方阵的伴随矩阵性质探讨J.高师理科学刊,2007，01：11-14.8 王志武.方阵可对角化的一个充要条件J.山东农业大学学报
15、,2008，04：3-5.Matrix diagonalization of decision condition and promotionFang Shou-qiang 2011031103 Advisor:Liang Jun-pingMajor in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstract】 Whether can matrix diagonalization, are the property of matrix a is very important. Suff
16、icient and necessary conditions of similarity diagonalization of understanding, has always been a difficult problem in linear algebra. The diagonalization of matrix are given in this paper can be several necessary and sufficient condition and the corresponding certificate.【Keywords】 Square; Characteristic value; Feature vector; diagonalization
