1、数学文化课堂演讲 康 童,拓扑学趣谈,“抽象”是数学的武器，是数学的优势。 在几何学中，“抽象”的思想十分重要。,欧氏几何： 实物：太阳，地球，车轮 研究距离、角、“刚性”图形 哥尼斯堡七桥问题： 欧拉从实际出发， 问题与岛的大小，桥的长短、曲直等因素无关。,圆,实质：位置关系,拓扑学“橡皮几何学”,有人把拓扑学说成是“橡皮几何学”, 因为橡皮膜上的图形,随着橡皮膜的拉动,其长度、曲直、面积等等都将发生变化.此时谈论“有多长”、“有多大”之类的问题是毫无意义的.,这种研究相对位置关系，忽略距离、角度等的几何叫做拓扑学,但橡皮几何里也有一些图形的性质保持不变. 例如:点变化后仍然是点,线变化后仍
2、旧是线,平行的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲变得不平行，闭合曲线拉伸后仍是闭合的。 拓扑学正是研究此类不随橡皮膜拉伸弯曲而改变的性质（拓扑性质）的学科,橡皮膜的拉伸和压缩(只要不撕破，不粘连）叫做拓扑变换，这样形成的曲面是拓扑等价的。,拓扑变换可以一个带把茶杯变成救生圈,可以把一个打孔的轮胎内侧面通过小孔翻转到外面。,四色定理 莫比乌斯带与克莱因瓶 纽结 若尔当曲线定理 多面体欧拉公式,欧拉,黎曼,庞加莱,江泽涵,著名研究问题：,莫比乌斯带,克莱因瓶,纽结,四色定理,“拓扑学”（topology）一词由高斯的学生李斯廷于1847年提出，意思为“测地学”，又译为“位置解析”,若尔当曲线定理,平面上任
3、何一条简单的封闭曲线（首尾相连且不与自身相交）恰好把平面分成“内部”（图中蓝色）和“外部”（粉色）两个区域。 曲线的“内部”和“外部”是不随拉伸橡皮膜改变的。,哈里发嫁女问题,古波斯穆罕默德的继承人哈里发，有一个才貌双全的女儿。姑娘的智慧和美貌，远近闻名，求婚者络绎不绝。哈里发决定从中挑选一位才智超群的青年做女婿，于是便出了一道题目，声明谁能解出这道题，便将女儿嫁给谁！,根据若尔当曲线定理：分别在曲线内部和外部的两点连线一定会经过边界。 因此，要想把这一对相连，又与闭曲线不相交，是不可能的！这正是哈里发悲剧所在。,哈里发的题目说来也简单：请用线把右图中写有相同数字的小圆圈连接起来，但所连的线不
4、许相交。这个问题，同学们，你们怎么看？ 这道题在平面上无解！,证明：事实上，我们可以很容易用线把 、连起来。我们得到了一条简单的闭曲线，把整个平面分为内部（阴影部分）和外部两个区域。其中一个在内部区域，而另一个却在外部区域。,多面体欧拉定理,对于各种不同的多面体，虽然它们的形状、大小各不相同；顶点数V，棱数E，面数F也在变化，但以下规律是不变的：,V-E+F=2,这就是多面体的欧拉公式,相信大家已经对这个公式很熟悉了，但或许还不知道怎样证明它 下面我们证明该公式对所有简单多面体成立（以正方体为例）,1.将正方体的上表面橡皮膜撕开，即去掉一个平面，将剩余部分压至一个平面上，现只需证对于平面网络V
5、-E+F=1成立（顾老师讲到的“渔网的规律”）,此后，我们在不改变V-E+F值的前提下使这个平面网络变得简单2.对于这个平面图形，进行三角形分割，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到全部成为三角形为止，F-E+V的值没有变。 3.逐个去掉边界上的三角形，此时F-E+V的值一直没有变。 不断进行直到只剩下一个三角形为止 4.再去掉1个顶点和2条边，F-E+V仍然没有变。最后只剩一条线段，它的顶点数为2，棱数为1，区域（面）数为0，即F-E+V=1成立，欧拉公式得证。,大家知道，正三角形、正四边形、正五边形、正六边形等等正n边形都是存在的，对于正多面体是否也如此呢？是否正四面体，正五面体，正六面体，正七面体等等都存在呢？,正多面体是指各面都是全等的正多边形，每个顶点出发都有相同棱数的凸多面体。,不是，古希腊人发现正多面体只有5种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体。用欧拉公式可以很好地证明这一结论。,今天，我们讲到拓扑学“橡皮几何”的实质，了解了若尔当曲线定理，还给出多面体欧拉定理的证明。其实，拓扑学虽然高深，却是是一门奇趣无穷的学科，我们只介绍了很少一部分，还有许多形形色色的奥秘等待大家去发现破解。,Thank You！,
