特征向量和瑞利里兹法.pdf

1、软件提供两种特征值计算方法由用户选择，常用的为WYD-RITZ法。 WYD-RITZ法 为地震计算传统的、常用的算法。Ritz向量法是由Wilson，Yuan（袁明武）和Dickens在1982年提出, 并称为WYD- Ritz向量法，它最初用来求解地震的动力响应问题。由于它的基向量是由地震作用生成的，这一方法又广泛地被称为“载 荷相关的Ritz向量法（load dependent Ritz vector approach）”。后来，袁明武等将这一方法用于大型特征值问题 的计算，使Ritz向量法成为一种极为有效的特征值算法。在2002年我们将迭代引入Ritz向量法来改善其特征值与特征向 量的精

2、度，使其成为一种高效的精确特征值算法。 RITZ向量法 在使用传统算法即WYD-RITZ法计算大规模多塔、大跨、竖向地震等时，有时计算的振型数很多（几十个甚至一百几十 个）但仍达不到需要的质量参与系数时，用户可以考虑选择Ritz向量法计算地震作用。Ritz向量法在Etabs等著名软件中 也有提供，它可以通过计算不多的振型个数（一般50个以内已经足够）达到要求的质量参与系数。 RITZ向量法考虑了荷载的空间分布，并且可以忽略不参与动态响应的振型，从而原系统方程的部分近似特征解。与精确 特征值算法相比，该方法可以用更少的计算量达到更精确的结果，使用计算不多的振型个数就可达到要求的质量参与系 数。但

3、是其结果在一些情况下会偏于保守，虽然这种方法计算的质量参与系数并不是精确结果，但如果采用2次不同振型 个数计算出的参与质量达到值相近即可已达到足够的精度。 一、YJK软件提供Ritz向量法进行地震分析的背景 根据建筑抗震设计规范GB-50011-2010第5.1.2条及高层混凝土结构技术规程JGJ 3-2010第4.3.4条，建筑 结构地震作用的基本分析方法是振型分解反应谱法。 计算采用的振型数目决定了地震作用计算的精度，所以为确保计算的地震力不会过小，高层混凝土结构技术规程JGJ 3-2010第5.1.13规定：计算振型数应使各振型参与质量之和不小于总质量的90。 而建筑结构的阵型和周期求解

4、也普遍采用子空间迭代法、Lanczos法、WYD-Ritz法等精确特征向量（阵型）方法求解。 但是对于某些整体振动性较差工程，如一些多塔结构、空间结构特别是需要进行竖向地震作用计算的结构，精确特征值 方法会得到大量的局部振动阵型。采用规范推荐的阵型数目如：915个，多塔塔楼数的9倍，计算的地震作用远小于实 际值（全部阵型结果）。如果要达到“各振型参与质量之和不小于总质量的90”的要求，甚至需要计算数百个振型， 此时软件计算量和计算时间会大大增加，甚至超过软件的计算能力。 此时，可以采用YJK软件提供的荷载相关的Ritz向量法简称Ritz向量法进行地震作用分析。 二、Ritz向量法进行地震作用分

5、析的基本原理 针对以上问题，YJK、ETABS、Midas Gen等结构设计软件都提供了Ritz向量法作为专门解决精确特征向量方法不能完 成的工程的地震作用分析。 根据Wilson和Itoh 的1983论文1的有如下观点： 1）大型结构系统，求解自由振动振型和频率的特征值问题可能需要大量的计算工作。 2）在自由振动振型的计算中，完全忽视荷载的空间分布。因此，计算的许多振型对荷载是正交的并且不参与动态响应。 3）如果在无质量自由度状态下施加动力荷载，那么在振型叠加分析中即使使用精确的振型，也不会收敛到精确解。另 外，在施加荷载处附近的位移和应力也会有明显误差。因此如果把精确特征向量用于这样的问题

6、，就没有必要应用本应 需要的“静态校正法”。 4）有可能用最少的计算工作量来计算一组刚度和质量正交的Ritz向量。对荷载的任何空间分布而言，这都会收敛到精确 解。 可以证明，基于唯一一组荷载相关向量的动力分析，比使用相同数量的精确振型法，可产生更精确的结果。此技术的效 率已经通过解决许多结构响应和波的传播类型中的问题得到了表现。 关于Ritz向量法的算法及进一步资料可以参阅文献2。 三、 YJK的ritz向量法特点 3.1 YJK的初始荷载 正如名称荷载相关的Ritz向量法，该方法的计算结果与所选初始荷载向量有直接关系。 通常可以采用质量相关的X、Y、Z向加速度工况，或者恒活风等基本工况作为初

7、始荷载向量。而采用只在质量自由度状 态下才施加荷载的工况（如质量相关加速度工况），则该方法的振型结果总是精确特征向量的线性组合。 YJK当前版本是自动采用X、Y向加速度工况，如果是考虑竖向地震的振型反应谱方法，则自动增加Z向加速度工况。 3.2 YJK的ritz向量法与精确特征值方法比较 文献2中给出了部分简单算例，说明了ritz向量法的高效收敛的特点。 本文重点实际工程算例进行分析，以精确特征值结果为标准，分别计算不同振型数目的Ritz法结果，比较质量参与系数和 基底剪力两个指标的变化规律。 页码，1/8 特征值分析类型 2014/8/8 mk:MSITStore:D:softwareyjk

8、ANZHUANGyjks.chm:/前处理参数帮助/地震信息.其中，质量参与系数可以直接通过计算结果看到；而基底剪力将通过与精确解法的计算结果间的相对误差来分析。 3.2.1算例_多塔1 工程模型见下图： 精确特征值方法： 在计算了257个振型后达标，X、Y方向质量参与系数分别达到99.84%和99.14%。 Ritz向量法： 见下表： 基底剪力相对误差趋势图见下图： 3.2.2算例_多塔2 页码，2/8 特征值分析类型 2014/8/8 mk:MSITStore:D:softwareyjkANZHUANGyjks.chm:/前处理参数帮助/地震信息.精确特征值方法： 精确解法求解了82个振型

9、，X方向质量参与系数达到96.28%，Y方向质量参与系数达到97.04% 。 Ritz向量法： 基底剪力相对误差趋势图见下图： 3.2.3算例_体育馆1 页码，3/8 特征值分析类型 2014/8/8 mk:MSITStore:D:softwareyjkANZHUANGyjks.chm:/前处理参数帮助/地震信息.精确特征值方法： 精确解法按质量参与系数90%达标进行计算，得到的结果为126个振型达标。其中X方向质量参与系数为94.98%，Y方 向质量参与系数为97.77%。 Ritz向量法： 该算例中增加了与Etabs软件的Ritz法的对比结果。利用YJK软件提供的接口软件，自动得到Etab

10、s软件的计算模型。 基底剪力相对误差趋势图见下图： 页码，4/8 特征值分析类型 2014/8/8 mk:MSITStore:D:softwareyjkANZHUANGyjks.chm:/前处理参数帮助/地震信息.3.3 YJK的ritz向量法的主要结论 盈建科软件公司通过数十个算例的数据分析，得到YJK的ritz向量法的主要如下结论： 1）与理论一致，YJK的提供的Ritz向量法只计算较少阵型数目就能达到要求的质量参与系数。 2）YJK的Ritz向量法计算得到的基底剪力呈现先上升、后下降并震荡收敛于精确解法求得的基底剪力值的总体趋势。且 在平动质量参与系数达到90%前，基底剪力几乎总是呈现上

11、升趋势。验证了该方法都会收敛到精确解的结论1。 3）基底剪力的收敛下降段几乎总是在精确解上方，即Ritz向量法的结果是偏于保守的。而且大部分算例中，如果计算30 个以上振型后，其结果与精确解的误差一般在10%以内。 四、YJK的ritz向量法在实际工程中的应用 4.1 ritz向量法的质量参与系数的快速达标性 4.1.1 某12塔工程 12塔，计算主自由度110万自由度。 精确特征值方法： YJK软件目前的32位版本使用精确特征值算法，因为32位系统内存使用限制，最多算60振型，而有效质量系数只有 50%左右。无法达到规范要求，计算的地震作用也会过小。 Ritz向量法： 39振型，有效质量系数

12、就能达到90%。 4.1.2 某3塔工程 页码，5/8 特征值分析类型 2014/8/8 mk:MSITStore:D:softwareyjkANZHUANGyjks.chm:/前处理参数帮助/地震信息.3塔，计算主自由度70万自由度。 精确特征值方法： YJK软件目前的32位版本使用精确特征值算法，因为32位系统内存使用限制，最多算100振型，而有效质量系数只有 70%左右。无法达到规范要求，计算的地震作用也会过小。 Ritz向量法： 30振型，有效质量系数就能达到90%。 4.1.3 某大体量体育馆工程 计算主自由度20万自由度。 精确特征值方法： 该工程局部振动很多，使用精确特征值方法计

13、算了150个振型，而有效质量系数只有67%左右。无法达到规范要求，计 算的地震作用也会过小。 Ritz向量法： 30个振型：X向平动振型参与质量系数总计: 93.63%；Y向平动振型参与质量系数总计: 94.71%。 36个振型：X向平动振型参与质量系数总计: 96.40%；Y向平动振型参与质量系数总计: 98.34%。 4.1.4 某大量3m悬挑梁工程需要考虑竖向地震作用 页码，6/8 特征值分析类型 2014/8/8 mk:MSITStore:D:softwareyjkANZHUANGyjks.chm:/前处理参数帮助/地震信息.精确特征值方法： 由于竖向振动有大量的局部振动，计算了300

14、个振型后，质量参与系数仍然很低。X向平动振型参与质量系数总 计:63.21%；Y向平动振型参与质量系数总计:67.21%；Z向平动振型参与质量系数总计:42.63%。 Ritz向量法： 计算了45个振型后，质量参与系数就满足要求。X向平动振型参与质量系数总计:99.77%；Y向平动振型参与质量系数 总计:99.91%；Z向平动振型参与质量系数总计:97.37%；Z向扭转振型参与质量系数总计:46.46%。 4.2 ritz向量法在实际工程中的收敛性 4.2.1 某6塔工程 自由度：833145(主) + 272629(从) 计算了36、44、52、60和68个振型，下表给出了质量参与系数和基地

15、剪力值： 页码，7/8 特征值分析类型 2014/8/8 mk:MSITStore:D:softwareyjkANZHUANGyjks.chm:/前处理参数帮助/地震信息.可以看出，从基底剪力指标来说，到52个振型后，不同振型数目结果之间的误差在7%以内，能满足工程设计要求。 即使采用了36或者44振型的计算结果，地震作用计算值是也偏于保守和安全的，误差约在6%18%之间。 五、结论与建议 根据大量实例的计算，得到以下经验性结论： 1）选择的振型数应该是初始荷载向量的倍数，如只计算水平地震作用时，取2的倍数；同时计算水平和竖向地震作用 时，取3的倍数。 2）尽量选取大的振型数。由于Ritz向量

16、法的收敛特点，在时间以及计算能力允许的范围内，尽量选取较大的振型数来计 算，以提高计算精确度。一般地，对于中等大小算例，选取30个振型数是比较可靠的；对于百万自由度以上的大型结 构，推荐以60个振型数进行试算。 3）如何确定结果的可靠性。通过选取多个振型数，观察各项计算结果的变化趋势。推荐连续计算至少三次（即选取三个 连续的初始向量个数的倍数，如30，36，42），从而得到两个相对误差，当这两个相对误差均在5%以内时，求得的基 底剪力更精确，有更大的参考价值。 参考文献 1 Wilson,E.L and Itoh,T.1983, An eigensolution Strategy for Large Syestems Computers and Structures 16(1-4),259-265. 2 爱德华.L.威尔逊 著.结构静力和动力分析强调地震工程学的物理方法（第四版）M.北京：中国建筑工业出版社, P133-140, 2006. 页码，8/8 特征值分析类型 2014/8/8 mk:MSITStore:D:softwareyjkANZHUANGyjks.chm:/前处理参数帮助/地震信息.