1、1第七讲 从不定方程的整数解谈起导读：就爱阅读网友为您分享以下“第七讲 从不定方程的整数解谈起”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对 的支持!第七讲 从不定方程 1/n = 1/x + 1/y 的整数解谈起求不定方程的整数解. 这里 n 是取定的一个自然数. 对于方程显见 x=y=12 是一个整数解 . 还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。式更简明，我们不妨把 x-6 看成一个整体，即令 t=x-6，那么 x=t6.2因此必须是整数，这样我们推知：t 是 62 的因数（约数） 。个未知数 x 、y 的困难问题，转换成找简单的 62 的
2、因子t 的问题了. 一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62 有因子 6、1 和 36，2 和 18，3 和 12，4 和 9.6 称为自补的因子. 后面的 2 和 18 等都称为互补因子，这样，不妨记为：t 0=6，t 11， t 1=36；t 2=2，t 2=18；t 3=3，t 3=12；t 4=4，这里 t 和 t 是 62=36 的互补因子（当 t t 6 时自补因子也包括在内） ，所以成一种了。以上情况推广到一般情况：求不定方程的整数解，只要找出 n2 的全部成组互补因子 t 和 t ，则3就可得到全部解。例如，求不定方程：（即 n 12）的整数解，首先分解 122（223）224
3、32，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。按照互补或自补因子配对有：（1，144） ， （2，72） ，（3，48） ， （4，36） ， （6，24） ， （8，18） ， （16，9） ， （12，12） 。“单位分数”（分子为 1 分母为整数）的和，那么我们相当于求：的整数解，例如求解在这些基本训练基础上，我们很容易把整数 1 分拆为若干个单位分数之和。（1，4） ， （2，2）. 可有4并且可断言只有这三种形式. 为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原理”（称之为平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值. （注意，这里的数不局限于
4、整数）故推断正确。在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式. 其实（5）式又可以改变形式写成：它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请看习题） 。公式（5）在将整数 1 分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便. 例如可将 1 分裂为 3 个分母不等的单位分数之和。5而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1 分裂成任意多个单位分数之和，如分解。上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解 n2的因子，而只要）的所有因子由小到大排列：1
5、、2、3、4、6、12，6 个因子任取 2 个配成一个组合，共有 15 种：（1，2） ，(1，3） ， （1，4） ， （1，6） ， （1，12）（2，3） ， （2，4） ， （2，6） ， （2，12）（3，4） ， （3，6） ， （3，12）（4，6） ， （4，12）（6，12）种情况即可.子不是 1 的，例如6那么请问是否只有两种方式？答：是. 理由呢？因为由推广的抽屉原理，求整数解呢？约分后分母为 15，所以x，y为 15，215，315，以下分情况讨论。y=15）的情况应排除。析，如 y 大于 15，y 是 x 与 y 可能的最小公倍数 30，45，60，中某一个数的约数；
6、单位分数，排除 y=9.同样，也可排除 y=11，12，13，14. 只有y=10 一种可能。7从上例看出分数形式不定方程求整数解不是很容易的. 一些国际一流的数学家也致力于这类问题的研究. 如 1950 年，厄尔丢斯（Er ds ）猜想：学家柯召、孙琦等证明了 n 4105=400000 时，猜想成立.1965 年有人把 n 推进到 n107，1978 年又将 n 推进到了n 108。另有谢平斯基（Sierpinski ）猜想：来证明. 对于大多数小学生来讲，现在功力有限，只能在最简单的情况下一试身手。分情况讨论：对于方程（7） ，再用推广的抽屉原理，有又 3=xy ，这样， y=3 或 y
7、=4，代入（8）后知（8）无解.习题七81. 求不定方程的全部整数解。2. 求不定方程的整数解中，使 x+y 为最小以及最大的两组解。3. 应用公式（5） ，证明：4. 证明： 。5. 求不定方程别的角吗？6. 计算 的整数解，你能求出全部整数解并证明再没有.习题七解答2302=223252 ，为找出它的全部因子，我们这里介绍“字典法则”： 203050=1， 203051=5， 203052=25，203150=3， 203151=15， 203152=75，203250=9， 203251=45， 203252=225，213050=2， 213051=10， 213052=50，9213
8、150=6， 213151=30， 213152=150，213250=18， 213251=90， 213252=450，223050=4， 223051=20， 223052=100，223150=12， 223151=60， 223152=300，223250=36， 223251=180， 223252=900，大家都知道英语字典排序规则，先有 a 部，再看第二个字母的顺序，第二个字母相同时，看第三个字母的顺序，等等. 这里因子的幂值正好借用作顺序编号. （当然上题每个因子恰好是 2 次幂，如别的也一样，如：232251 的因子字典法排序为：回到本题，302 的 27 个因子从小到大按
9、方向“”排序为：其实只要排出 30 以下，另一头用 302 的互补因子即可，利用立即知 x+y=60+t+t.现在问题转化成求 t+t的最大最小值问题了. 这里要求小学生会联想和类比，大家知道等积问题的一种结论：面积固定的长方形中，正方形的周长最小. 或者两数乘积不变的情况下，两数相等时和最小。现在 t t=302 固定，要 t+t最小，当然是 t=t=30，所以10x+y 最小为 120。 那么 x+y 最大，也即 60+t+t最大，经前面 t ，t 排成二行的表一看就知为 60+900+1=961。因此因此5. 首先设 x y z ，因为显然不会有 x=y=z 的解. 由推广的抽屉原理：又因 x 必须是整数，所以 x 可能的值只有：2、3、4。利用前面知识 52 只有两组互补因子（1，25） ， （5，5） ，所以推知（y ，运用推广的抽屉原理。y 可能取值为：3、4、5.11y 为整数，y=3、4。x y ，y 只可能为 4。综合情况，所有解为：百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆
