1、1高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练班级 姓名 座号1正弦定理: 或变形： .2sinisinabcRABC:sin:siabcABC2余弦定理： 或 .2222cosAbacb 2222ocsoacbaC3 （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5解题中利用 中 ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC的运算，如： sin(
2、)si,co()cos,ABCtan()tan,ABC.in22表一： 已知条件 定理应用一般解法 一边和两角 （如 a、B、C ）正弦定理由 A+B+C=180，求角 A，由正弦定理求出 b 与 c，在有解时有一解。两边和一边的对角(如a、b、A)正弦定理具体情况见表二两边和夹角 (如 a、b 、C)余弦定理由余弦定理求第三边 c，由正弦定理求出小边所对的角，再 由 A+B+C=180求出另一角，在有解时有一解。2三边 (如 a、 b、c)余弦定理由余弦定理求出角 A、B，再利用 A+B+C=180，求出角 C 在有解时只有一解。表二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情
3、况，具体方法可以借助于下了表格：A 为钝角 A 为直角 A 为锐角ab 一解 一解 一解a=b 无解 无解 一解absinA 两解a=bsinA 一解ab 无解 无解absinA 无解基础达标：1. 在ABC 中，a=18，b=24，A=45，此三角形解的情况为A. 一个解 B. 二个解 C. 无解 D. 无法确定2在ABC 中，若 ，则A 的度数是2,62abcA. 30 B. 45 C. 60 D. 753ABC 中，若 a2=b2+c2+bc，则A=A. 60 B. 45 C. 120 D. 304边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 A. 90 B. 120 C. 135
4、 D. 1505.在ABC 中，已知 ， ，B=45.求 A、C 及 c.3a2b36在 中，若 ， ， ，求 .ABC0452c43bA7在 中，若 ，求 .ABC22abcA能力提升：8锐角 ABC 中，若 C=2B，则 的取值范围是ACBA.(0，2) B. C. D.)2,()3,()2,(9. 已知在ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么 cosC 的值为A. .D .41 .B4110. 等腰三角形底边长为 6，一条腰长 12，则它的外接圆半径为A. B. C. D. 6538156311在 中，已知三边 、 、 满足 ，则 ABCabcabcabCA B C
5、D104012钝角 的三边长为连续自然数，则这三边长为（ ） 。A、1、2、3 B、2、3、4 C、3、4、5 D、4、5、6413在 ABC 中，BC=3，AB=2， ，则A=_.)16(52sinBC14. 在ABC 中，A=60，b=1，c=4，则 _.isniabcABC15. 在ABC 中，B=120，sinA:sinC=3:5，b=14，则 a，c 长为_.综合探究：16已知钝角 的三边为： , , ,求实数 的取值范围.ABCak2b4ckk17.在 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，证明: . 2sin()abABCc、513 周周练参考答案：基础达标：1.B 2.
6、A 3.C 4.B5.解析：解法 1：由正弦定理得： 2345sinsiinbBaAA=60或 120当A=60时， C=75 ， ；2645sin72si BCbc当A=120时， C=15 ， .i1i 6. ， sinibcBC ，2sin4532 ， 或018C601C当 时， ；当 时， ， ；675A25A所以 或 7. ， 22bca由余弦定理的推论得：221cosbaAc ， .018A60能力提升：8.C 9.A 10.C 11.D由 ，得3abcab223abc由余弦定理的推论得： ，21oscC ， .018C60612.B；只需要判定最大角的余弦值的符号即可。选项 A
7、不能构成三角形；选项 B 中最大角的余弦值为 ，故该三角形为钝角三角形；223410选项 C 中最大角的余弦值为： ，故该三角形为直角三角形；225选项 D 中最大角的余弦值为 ，故该三角形为锐角三角形.224610813.120 14. 15.6,10 39综合探究：16. 中边 , , ， ABCak2b4ck ，且边 最长，0kc 为钝角三角形 当 C 为钝角时 ，22cos0ab , 即2222c , 解得 ,()(4)kk6k又由三角形两边之和大于第三边： ,得到 ，(2)42k故实数 的取值范围： .217.证法一:由正弦定理得： 222sinicosinabABAcCC= = = .2i()i()s2si()Bsin()C证法二:由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA，则 ，22co1cosbAbc7又由正弦定理得 ，sinbBcC2isi2incos1osa BAACin()2inc.scssi()inBC证法三：也可以从右边证到左边，过程略.
