1、1第 5 节 探究弹性势能的表达式核心素养关键词 知识体系1.弹力对物体做正功，弹簧的弹性势能减少，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加弹力做了多少功，弹性势能就变化多少2弹簧的弹性势能的大小跟劲度系数和形变量有关，其表达式为 Ep kl2，其中 l 表12示弹簧的形变量而不是长度3弹簧的弹性势能也具有相对性，一般取弹簧处于原长时弹性势能为零.弹性势能1定义发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫弹性势能2对弹性势能的理解(1)弹性势能是发生弹性形变物体上的所有质点，因相对位置改变而具有的能量，因而也是对系统而言的(2)弹性势能也是相对的，其大小在选定了零势
2、能点后才有意义对弹簧，一般选弹簧自由长度时为零势能点(3)弹性势能的决定因素：形变量的大小和材料的构成特点(长短、粗细等)(4)用力拉或压弹簧时，外力克服弹力做功，弹簧的弹性势能增加2一、合作探究找规律考点一 弹性势能1运动员将箭射出，弓恢复原状，此过程中弓的弹性势能怎么变化？2弹弓是一种儿童玩具，由两根橡皮条和木叉制成为使石子以较大的速度飞出，就应该把橡皮条拉长些，从能量角度分析这是为什么呢？答：1.弓的形变量逐渐减小，弹性势能减小2橡皮条拉得越长，储存的弹性势能越大，射出石子时石子的动能就越大，射得就越远考点二 探究弹性势能的表达式如图所示，将固定于竖直弹簧下端的小球由平衡位置 O(小球原
3、来静止位置)向下拉至位置 M 由静止释放，则从释放点 M 到最高点 N(此时小球加速度小于 g)的过程中：1重力做什么功？重力势能怎么变化？2弹力做什么功？弹性势能怎么变化？答：1.重力做负功，重力势能增加2弹力做正功，弹性势能减小3二、理解概念做判断1发生弹性形变的物体具有弹性势能()2在弹性限度内同一弹簧无论拉伸还是压缩，只要形变量相同，则弹性势能相同()3弹簧的长度越大，则弹性势能一定越大()4弹性势能也具有相对性()5弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势能增加()要点 1|探究弹性势能的表达式1提出猜想：弹性势能与哪几个量有关猜想 1：压缩的弹簧能将物体弹出，同一根弹簧压缩量越大，物体被弹得越
4、远，说明弹性势能与弹簧的形变量有关猜想 2：将劲度系数不同的弹簧压缩相同的长度，劲度系数大的弹簧可以将物体弹得更远，说明弹性势能与弹簧的劲度系数有关可见弹簧的弹性势能由弹簧本身的材料及形变量决定2思考：弹簧的弹性势能与拉力做的功有何关系如果缓慢地提起质量为 m 的砝码，使它升高 h，则拉力做的功 W Fh mgh，即拉力做功等于重力势能的增加量把劲度系数为 k 的弹簧的一端固定，另一端用拉力 F 缓慢地拉伸弹簧，则拉力 F 大小的变化规律与弹簧弹力大小的变化规律相同，即 F F 弹 kl，两力方向相反，且都是变力拉力做的功等于弹簧弹性势能的增加量，以弹簧在原长时的弹性势能为零势能点，即W 外
5、Ep.3推导弹簧弹性势能的表达式4如图所示，弹簧弹力 F 弹 与弹簧形变量 l 呈线性关系若将形变量 l 分成很多段，则每一段上弹簧的弹力就可以当成恒力处理，由 W F 弹 l 知，这些矩形面积的数值之和与弹力做功的大小相等综合起来考虑，图线与 l 轴所围面积的数值就是弹力做功的大小，则 W kll kl2.弹簧弹力始终与位移方向相反，故弹簧弹力做负功，即 W 弹 kl2.12 12 12外力克服弹力做的功等于弹簧弹性势能的增加量，所以这一过程中弹性势能增加了 Ep kl2.12结论：如果选弹簧的长度为原长时的端点为零势能点，则弹簧弹性势能的表达式为Ep kl2.124对弹性势能表达式的说明
6、Ep kl2中 l 为相对于自由长度的形变量，可见对同一弹簧压缩或拉伸相同长度弹12性势能相等该式在教材中没有出现，也不要求定量计算，但了解这一形式对定性分析还是很有帮助的弹性势能的求解，通常由能量转化的方式利用能量守恒求解弹性势能表达式推导中，求弹力做功时用了极限思想，即 l 很小时，弹力可视为恒力；数形结合思想，作 Fl 图象图象的面积值表示弹力做的功，用转化思想把求弹性势能 Ep转化为求弹力做的功5弹性势能与重力势能对比物理量比较内容 弹性势能 重力势能表达式 Ep kl212 Ep mgh单位 焦耳：J 焦耳：J标矢性 标量 标量5相对性弹性势能与零势能位置选取有关，通常选自然长度时势
7、能为零，表达式最为简洁重力势能大小与零势能面的选取有关，但变化量与零势能面的选取无关系统性 弹性势能是弹簧本身具有的能量重力势能是物体与地球这一系统所共有的联系两种势能分别以弹力、重力的存在为前提，又由物体的相对位置来决定同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化典例 1 劲度系数分别为 kA2 000 N/m 和 kB3 000 N/m 的弹簧 A 和 B 连接在一起，拉长后将两端固定，如图所示，弹性势能 EpA、 EpB的关系为( )A EpA EpB B EpAEpB2C EpA D EpA3EpB2 2EpB3【思路点拨】 两个弹簧对拉时，两个弹簧上的拉力一定大小相等，因为劲度系数不同所
8、以两个弹簧的形变量不同，根据胡克定律可以得出两个弹簧的形变量之比，再根据弹性势能的公式可以求得两个弹簧弹性势能之比【解析】 两端的拉力大小相等，故由胡克定律知弹簧的形变量之比为 32，由弹簧的弹性势能的表达式 Ep kx2，代入得答案 C12【答案】 C(多选)(2018玉山期中)如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力 F 作用下缓慢拉伸了 x.关于拉力 F、弹性势能 Ep随伸长量 x 的变化图象正确的是( )6解析：根据胡克定律可知，在弹性限度内，弹簧的弹力与形变量成正比，即 F kx，故 Fx 图象是正比例图象，A 选项正确，B 选项错误；根据弹性势能的表达式 Ep kx2可12知
9、，图象为开口向上的二次函数图象，C 选项错误，D 选项正确答案：AD名师方法总结(1)发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而产生了弹性势能(2)由 Ep kl2可知，影响弹性势能的因素有两个方面，分别是弹簧的劲度系数 k 和12弹簧的形变量 l.名师点易错弹簧长度不同时，其弹性势能可能相同.要点 2|弹性势能与弹力做功的关系如图所示， O 为弹簧的原长处(1)弹力做负功时：如物体由 O 向 A 运动(压缩)或者由 O 向 A运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能(2)弹力做正功时：如物体由 A 向 O 运动，或者由 A向 O 运动时，弹性势能减小，弹性势能转化
10、为其他形式的能(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为 W 弹 Ep.典例 2 7一根弹簧的弹力位移图线如图所示，那么弹簧由伸长量 8 cm 到伸长量 4 cm 的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为( )A 3.6 J，3.6 JB 3.6 J，3.6 JC 1.8 J，1.8 JD 1.8 J，1.8 J【思路点拨】 变力做功可以用力的平均值来求，对于 FL 图象来说图象的面积可以表示某一过程中力对物体做功多少，再根据弹力做功就等于弹性势能变化的数值，且弹力做正功弹性势能减小，弹力做负功弹性势能增加可以求出【解析】 弹力做的功 W 0.04 J1.8 J0，故弹性势能减少 1.8 J，即60
11、302 Ep Ep2 Ep11.8 J，故选项C 正确【答案】 C如图所示，轻弹簧下端系一重物， O 点为其平衡位置，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到 A 点，弹力做功 W1，第二次把它拉到 B 点后再让其回到 A 点，弹力做功 W2，则这两次弹力做功的关系为( )8A W1 W2 B W12 W2C W22 W1 D W1 W2解析：弹力做功的特点与重力做功一样，不用考虑路径，只看起始位置和终止位置弹性势能与重力势能也一样，只看起始位置和终止位置答案：D名师方法总结分析弹簧弹力做功时，一定要注意弹簧弹力随形变量的变化而变化弹力不是恒力，不可用 W Fl 直接计算弹力做功多少，若要计算弹簧
12、弹力做功可用求平均力法或图象法名师点易错弹力做功与弹性势能变化的关系和重力做功与重力势能变化的关系相似弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加.对点训练一 探究弹性势能表达式1(多选)(2018保定期中)关于轻弹簧(劲度系数相同，在弹性限度内)的弹性势能，下列说法正确的是( )A 弹簧越长，弹性势能越大B 弹簧处于原长时，弹性势能为零C 弹簧的压缩量和伸长量相等时，弹性势能相等D 用一水平力缓慢拉一水平固定的弹簧，外力做功越多，弹性势能越小解析：弹簧发生弹性形变时，产生弹性势能，弹性势能与弹簧的形变量大小、劲度系数有关，与其他因素无关，故弹簧越长，弹性势能不一定越大，A 选项错误；弹
13、簧处于原长时，弹性势能为零，B 选项正确；对于同一弹簧，在弹性限度内，弹簧的压缩量和伸长量相等时，弹性势能相等，C 选项正确；用一水平力缓慢拉一水平固定的弹簧，外力做功越多，则克服弹簧的弹力做功越多，弹性势能越大，D 选项错误9答案：BC2在探究弹簧的弹性势能的表达式时，下面猜想有一定道理的是( )A 重力势能与物体被举起的高度 h 有关，所以弹性势能很可能与弹簧的长度有关B 重力势能与物体被举起的高度 h 有关，所以弹性势能很可能与弹簧的位置有关C 重力势能与物体所受的重力 mg 大小有关，所以弹性势能很可能与弹簧的弹力大小有关D 重力势能与物体的质量有关，所以弹性势能很可能与弹簧的质量大小
14、有关解析：根据重力势能的表达式 Ep mgh 可知，重力势能与物体被举起的高度有关，同理，弹簧的弹性势能与弹簧的形变量有关；重力势能与物体的重力有关，弹簧的弹性势能与弹簧的弹力大小或劲度系数有关，与长度、位置以及弹簧的质量无关，C 选项正确答案：C对点训练二 弹性势能与弹力做力的关系3如图所示，在光滑的水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力 F 作用下物体处于静止状态，当撤去 F 后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( )A 弹簧的弹性势能逐渐减小B 弹簧的弹性势能逐渐增大C 弹簧的弹性势能先增大后减小D 弹簧的弹性势能先减小后增大解析：撤去
15、F 后物体向右运动的过程中，弹簧的弹力先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大答案：D4弹簧原长 l015 cm，受拉力作用后弹簧逐渐被拉长，当弹簧伸长到 l120 cm 时，作用在弹簧上的力为 400 N，问：10(1)弹簧的劲度系数 k 为多少？(2)在该过程中弹力做了多少功？(3)弹簧的弹性势能变化了多少？解析：由于 F kl.作出 Fl 图象如图所示，求出图中阴影面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹力 F 方向与位移 l 方向相反，故弹力 F 在此过程中做负功所以弹性势能增加答案：(1)8 000 N/m (2)10 J (3)增加 10 J【强化基础】1讨论弹性势能，
16、要从下述问题的分析入手的是( )A 重力做功 B弹力做功C 弹簧的劲度系数 D弹簧的形变量解析：一个物体能对外做功，我们即说它具有能量；因此在研究能量时我们均是从做功开始研究的；故研究弹性势能应选从弹力做功入手分析故选 B答案：B2(多选)某缓冲装置可抽象成如图所示的简单模型图中 k1、 k2为原长相等、劲度系数不同的轻质弹簧下列表述正确的是( )A 缓冲效果与弹簧的劲度系数无关11B 垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等C 垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等D 垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变解析：弹簧的缓冲效果与弹簧的劲度系数有关，选项 A 错误；在垫片向右运动的过程中，由于
17、两个弹簧相连，故它们之间的作用力等大，选项 B 正确；由于两弹簧的劲度系数不同，由胡克定律 F kx 可知，两弹簧形变量不同、长度不相等两弹簧的弹力做功，则弹性势能将发生变化，选项 D 正确，选项 C 错误答案：BD3如图所示，将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是( )A 弹力变大，弹性势能变小B 弹力变小，弹性势能变大C 弹力和弹性势能都变大D 弹力和弹性势能都变小解析：将弹簧拉力器拉开的过程中，弹簧形变量变大，弹力变大，弹性势能变大，C选项正确答案：C4(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )A 任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能B 任何具有弹性势能的物
18、体，一定发生了弹性形变C 物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D 弹性势能具有势能的共性12解析：任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变，A、B 正确；物体发生形变，若非弹性形变，则物体不具有弹性势能，C 错误；弹性势能跟弹力有关，是由位置决定的能量，所以具有势能的共性，选项 D 正确答案：ABD5(2018福建学业测试)如图所示，四幅摄影作品中所描述的体育运动，利用到器械弹性势能的是( )A 滑雪B 掷标枪C 射箭D 推铅球解析：滑雪时，运动员的重力势能减小，动能增加，A 选项错误；掷标枪时，标枪在空中飞行，动能和重力势能相互转化，B 选项错误；射箭时
19、，弓的弹性势能转化为箭的动能，C 选项正确；推铅球时，人给球一定的初速度，使球飞出，D 选项错误答案：C【巩固易错】6.如图所示，轻质弹簧的劲度系数为 k，小球所受重力为 G，平衡时小球在 A 处今用力F 竖直向下压小球使弹簧缩短 x，让小球静止在 B 处，则( )A 小球在 A 处时弹簧的弹力为零B 小球在 B 处时弹簧的弹力为 kxC 小球在 A 处时弹簧的弹性势能较大13D 小球在 B 处时弹簧的弹性势能较大解析：小球处于 A 位置时，保持静止状态，受重力和弹力，二力平衡，故弹力等于重力，即 mg kx1 ，故 A 错误；小球处于 B 位置时，保持静止状态，受重力、压力 F 和弹簧弹力，
20、根据共点力平衡条件 F G F 弹 ，根据胡克定律，有 F 弹 k(x1 x)，联立解得： F弹 G kx，故 B 错误；弹簧压缩量越大，弹性势能越大，故 C 错误，D 正确故选 D答案：D7在一次演示实验中，一压紧的弹簧沿一粗糙水平面射出一小球，测得弹簧压缩的距离 d 跟小球在粗糙水平面滚动的距离 s 如下表所示由此表可以归纳出小球滚动的距离 s跟弹簧压缩的距离 d 之间的关系，并猜测弹簧的弹性势能 Ep跟弹簧压缩的距离 d 之间的关系分别是(选项中 k1、 k2是常量)( )实验次数 1 2 3 4d/cm 0.50 1.00 2.00 4.00s/cm 4.98 20.02 80.10
21、319.5A s k1d， Ep k2d B s k1d， Ep k2d2C s k1d2， Ep k2d D s k1d2， Ep k2d2解析：从数据比较可得出 s/d2是一常量，所以说 s d2，因此也猜想弹簧的弹性势能也与 d2成正比答案：D【能力提升】8(2018邵阳月考)一根弹簧的弹力位移图线如图所示，那么弹簧由伸长量 4 cm到伸长量 8 cm 的过程中，弹力的功和弹性势能的变化量为( )14A 1.8 J，1.8 J B1.8 J，1.8 JC 3.6 J，3.6 J D3.6 J，3.6 J解析：弹力做功等于弹性势能的减小量， Fx 图象与 x 轴包围的面积表示弹力做功的大小
22、，弹簧由伸长量 4 cm 到伸长量 8 cm 的过程中，弹力的功 W (3060)120.04 J1.8 J，根据功能关系可知，弹性势能增加了 1.8 J，B 选项正确答案：B9如图所示，光滑水平轨道与光滑圆弧轨道相切，轻弹簧的一端固定在轨道的左端，OP 是可绕 O 转动的轻杆，且摆到某处即能停在该处，另有一小钢球现要利用这些器材测定弹簧被压缩时的弹性势能(1)还需要的器材是_(2)以上测量，实际上是把对弹性势能的测量转化为对_能的测量，进而转化为对_和_的直接测量解析：(1)分析题意可知，用小球压缩弹簧，将弹簧释放，由于水平轨道与圆弧轨道均是光滑的，只有弹簧的弹力和重力做功，最终弹簧的弹性势能转化为小球的重力势能，因此需要用天平测量小球的质量 m，用刻度尺测量小球在光滑圆弧轨道上上升的高度 h.(2)以上测量，实际上是把对弹性势能的测量转化为对重力势能的测量，根据重力势能的计算公式 Ep mgh，可知需要直接测量的物理量是质量、上升高度答案：(1)天平、刻度尺 (2)重力势 质量 上升高度
