1、1.2集合之间的关系与运算,1.2.1集合之间的关系,1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集.2.能使用维恩(Venn)图表达集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意义.3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集.,1,2,3,1.集合之间的关系,1,2,3,1,2,3,1,2,3,名师点拨1.在子集的定义中,不能认为当集合A中的元素比B中的元素个数少时,A就是B的子集.只有当A中的任何一个元素都是B中的元素时,才能说A是B的子集,不能仅仅依据元素个数的多少判定两集合的关系.2.当A是B的子集,即AB时,不能认为A是由B中的部分元
2、素构成的集合.因为当A=时,有AB,但集合A中不含任何元素;又当A=B时,也有AB,但此时集合A中含有B中的全部元素.3.当集合A中存在不是集合B中的元素时,我们就说A不是B的子集,记作AB(或BA),读作:“A不包含于B”(或“B不包含A”).4.AB包括AB和A=B两种情况.其中AB,可形象地理解为B中元素至少比A中元素多一个;而A=B,可从A的元素与B的元素完全相同去理解.,1,2,3,【做一做1-1】 有下列关系:10,1,2;10,1,2;0,1,20,1,2;0,1,2=2,0,1.其中错误的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:正确;错误,应为10,1,2;正确,也可以写成0,
3、1,2=0,1,2;正确.故选A.答案:A【做一做1-2】 已知集合A=1,2,3,B=3,x2,2,若A=B,则x的值是()A.1B.-1C.1D.0答案:C,1,2,3,【做一做1-3】 指出下列各对集合之间的关系:(1)A=-1,2,B=1,-2;(2)A=1,2,3,B=0,1,2,3;(3)A=x|x2=1,B=x|x|=1;(4)A=四边形,B=矩形.解:(1)AB,BA;(2)AB;(3)因为A=1,-1,B=1,-1,所以A=B;(4)四边形不一定是矩形,但矩形一定是四边形.因此BA.,1,2,3,2.维恩(Venn)图我们常用平面内一条封闭曲线的内部来表示一个集合,用这种图形
4、可以形象地表示出集合之间的关系,这种图形通常叫做维恩(Venn)图.如果集合A是集合B的真子集,那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部(如图所示).名师点拨1.Venn图一定是封闭曲线,常画成椭圆、圆或矩形;2.Venn图中要把集合的元素写在封闭曲线的内部.,1,2,3,【做一做2】 如图所示,对于集合A,B,C,D的关系,描述正确的是()A.BCB.DAC.ABD.AC答案:D,1,2,3,3.集合关系与其特征性质之间的关系设A=x|p(x),B=x|q(x),则有,1,2,3,【做一做3-1】 已知集合M=x|0x2,N=x|-1x6,则M与N的关系是.解析:由于0x2-1x6,但-1
5、x6 0x2,故MN.答案:MN【做一做3-2】 若集合A=x|x=2n,nZ,B=x|x=4n,nN,则A与B的关系是.解析:集合A是由2的倍数构成的集合,集合B是由4的倍数构成的集合,4的倍数一定是2的倍数,但2的倍数不一定是4的倍数,故BA.答案:BA,一、“”与“”的区别与联系剖析:符号“”表示元素与集合之间的从属关系,也就是个体与总体的关系,是指单个对象与对象的全体的从属关系;而符号“”表示集合与集合之间的包含关系.从属关系()一般只能用在元素与集合之间;包含关系(,)只能用在集合与集合之间.在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系.例如,表示元素与集
6、合之间的关系有:1N,-1N,11,00等,但不能写成0=0或00;表示集合与集合之间的关系有:NR,1,2,31,2,3,1,2,31,2,3,4等;但需要注意的是与的写法都是正确的,前者是从两个集合间的关系来考虑的,后者则把看成集合中的元素来考虑.,二、探索集合的子集个数问题剖析:由子集的定义可知:若集合A是集合B的子集,则有AB,它包含以下两个方面:(1)AB;(2)A=B.由以上知识,可以得到:若B=a,则其子集可以是,a,即集合中若有1个元素,则其子集个数为2;若B=a,b,则其子集可以是,a,b,a,b,即集合中若有2个元素,则其子集个数为4;若B=a,b,c,则其子集可以是,a,
7、b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c,即集合中若有3个元素,则其子集的个数为8;,若B=a,b,c,d,则其子集可以是,a,b,c,d,a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d,a,b,c,a,b,d,a,c,d,b,c,d,a,b,c,d,即集合中若有4个元素,则其子集的个数为16.综上所述,集合中的元素个数每增加1,其子集的个数变为原来的2倍,其对应关系为:元素个数子集数目12=212221=223222=234223=24由此可以猜测:若集合中有n个元素,则其子集的个数应为2n,其非空子集的个数为(2n-1),其真子集的个数应为(2n-1),其非空真子集的个数为(2n-2).
8、,三、教材中的“思考与讨论”已知集合A的特征性质为p(x),集合B的特征性质为q(x).“如果p(x),那么q(x)”是正确的命题,试问集合A和B的关系如何?并举例说明.剖析:设A=x|p(x),B=x|q(x),若“如果p(x),那么q(x)”是正确的命题,则p(x)q(x),即xAxB,根据子集的定义有AB.举例说明如下:A=x|x是6的约数,B=x|x是12的约数,即集合A的特征性质p(x)是:x是6的约数;集合B的特征性质q(x)是:x是12的约数.而6的约数是1,2,3,6;12的约数是1,2,3,4,6,12.由此可知,若“如果p(x),那么q(x)”是真命题,则“如果x是6的约数
9、,那么x是12的约数”,即xAxB,故AB.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例1】 判断以下给出的各对集合之间的关系:(1)A=1,3,5,6,7,B=5,7;(2)A=2,3,B=x|x2-5x+6=0;(3)A=x|x2-x=0,B=x|x2-x+1=0;(4)A=x|0x1,B=x|0x5;(2)结合数轴分析,要使AB,应有m2.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,易错点:忽视空集致误【例5】 集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,若BA,求实数m满足的条件.错解:由题意并结合数轴(如图所示),故实数m满足的条件是2m3.错因分析:忽略了B=时的情形.,题型一
10、,题型二,题型三,题型四,题型五,正解:(1)当B=时,A,符合题意,此时m+12m-1,解得m2.(2)当B时,由题意并结合数轴(如图所示),综合(1)(2)可知,实数m满足的条件是m3.反思空集是一种特殊的集合,也是集合运算中最活跃的一个集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.当BA时,B可能为,不要忽视这一种可能,在条件不明确时,要注意分类讨论.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练5】 已知集合P=x|x2+x-6=0,Q=x|mx-1=0,若QP,则实数m的值为.,1 2 3 4 5,1若集合A=xN+|-2 015x2 016,B=xZ|0x2 015,则集
11、合A,B之间的关系为()A.A=BB.ABC.BAD.AB解析:由已知得A=1,2,3,2 015,B=0,1,2,3,2 015,故AB.答案:B,1 2 3 4 5,2已知集合A=a,C=a,b,c,若AB,且BC,则集合B的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:因为ABC,所以B可能为a,a,b,a,c,a,b,c.所以满足条件的集合B的个数是4.答案:D,1 2 3 4 5,3若集合A=2,9,集合B=m2-m,9,且A=B,则实数m等于.解析:因为A=B,所以m2-m=2,解得m=-1或2.答案:-1或2,4有下面5个命题:空集没有子集;任意集合至少有两个子集;空集是任何集合的真子
12、集;若A,则A;集合AB,就是集合A中的元素都是集合B中的元素,集合B中的元素也都是集合A中的元素.其中不正确命题的序号有.解析:错误,因为空集是任意一个集合的子集;错误,因为空集只有一个子集;错误,因为空集是任意一个非空集合的真子集,空集并不是它本身的真子集;正确;错误,因为其叙述不符合子集的定义.若AB,则只需要集合A中的元素都是集合B中的元素.答案:,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,5已知集合A中元素的特征性质p(x):x2-2x-3=0,集合B中元素的特征性质q(x):ax-1=0,aR.若q(x)p(x),试求a的值.解:因为q(x)p(x),所以BA.又因为A=-1,3,所以结合方程ax-1=0,aR的特点有B=或-1或3.当B=时,a=0;,
