1、1.2.1 集合之间的关系学习目标 1.理解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集.2.能使用 Venn图表示集合间的关系.3.理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能简单应用.知识链接1.已知任意两个实数 a， b，如果满足 a b， b a，则它们的大小关系是 a b.2.若实数 x 满足 x1，如何在数轴上表示呢？ x1 时呢？3.方程 ax2( a1) x10 的根一定有两个吗？预习导引1.集合相等、子集、真子集的概念(1)集合相等：定义：如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，反过来，集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元素，那么就说集合 A 等于集合 B.符号表
2、示： A B.图形表示：(2)子集定义：如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集.符号表示： AB 或 BA.图形表示： 或(3)真子集定义：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集.符号表示： A B 或 B A.图形表示：2.集合关系与其特征性质之间的关系设 A x|p(x)， B x|q(x)，则有集合间的关系 特征性质间的关系AB p(x)q(x)AB q(x)p(x)A B p(x)q(x)3.与其它集合之间的关系(1)是任意一个集合的子集；(2)是任意一个非空集合的真子
3、集.要点一 有限集合的子集确定问题例 1 写出集合 A1,2,3的所有子集和真子集.解 由 0 个元素构成的子集：；由 1 个元素构成的子集：1，2，3；由 2 个元素构成的子集：1,2，1,3，2,3；由 3 个元素构成的子集：1,2,3.由此得集合 A 的所有子集为，1，2，3，1,2， 1,3，2,3，1,2,3.在上述子集中，除去集合 A 本身，即1,2,3，剩下的都是 A 的真子集.规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合 A 中有 n 个元素，
4、则其子集有 2n个，真子集有 2n1 个，非空真子集有2n2 个.跟踪演练 1 已知集合 M 满足2,3 M1,2,3,4,5，求集合 M 及其个数.解 当 M 中含有两个元素时， M 为2,3；当 M 中含有三个元素时， M 为2,3,1，2,3,4，2,3,5；当 M 中含有四个元素时， M 为2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5；当 M 中含有五个元素时， M 为2,3,1,4,5；所以满足条件的集合 M 为2,3，2,3,1，2,3,4，2,3,5，2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5，2,3,1,4,5，集合 M 的个数为 8.要点二 集合间关系的判定例 2 指出
5、下列各对集合之间的关系：(1)A1,1， B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；(2)A x|x 是等边三角形， B x|x 是等腰三角形；(3)A x|1 x4， B x|x50；(4)M x|x2 n1， nN ， N x|x2 n1， nN .解 (1)集合 A 的代表元素是数，集合 B 的代表元素是有序实数对，故 A 与 B 之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故 A B.(3)集合 B x|x5，用数轴表示集合 A， B 如图所示，由图可知 A B.(4)由列举法知 M1,3,5,7， N3,5,7,9，故 N M.规律方法
6、对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示.跟踪演练 2 集合 A x|x2 x60， B x|2x70，试判断集合 A 和 B 的关系.解 A3,2， B .x|x 723 ，2 ，72 723 B,2 B AB又 0 B，但 0A， A B.要点三 由集合间的关系求参数范围问题例 3 已知集合 A x|3 x4， B x|2m1 x m1，且 BA.求实数 m 的取值范围.解 BA，(1)当 B时， m12 m1，解得 m2.(2)当 B时，有Error!解得1 m2，综上得
7、 m|m1.规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.跟踪演练 3 已知集合 A x|1 x2， B x|1 x a， a1.(1)若 A B，求 a 的取值范围；(2)若 BA，求 a 的取值范围.解 (1)若 A B，由图可知 a2.(2)若 BA，由图可知 1 a2.1.集合 A x|0 x3， xN的真子集的个数为( )A.4 B.7 C.8 D.16答案 B解析 可知 A0,1,2，其真子集为：，0，
8、1，2 ，0,1，0,2，1,2.共有2317(个).2.设集合 M x|x2，则下列选项正确的是( )A.0M B.0 M C. M D.0M答案 A解析 选项 B、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项 D 中是元素与集合之间的关系，符号错误.3.已知 M1,0,1， N x|x2 x0，则能表示 M， N 之间关系的 Venn 图是( )答案 C解析 M1,0,1， N0，1， N M.4.已知集合 A2,9，集合 B1 m,9，且 A B，则实数 m_.答案 1解析 A B，1 m2， m1.5.已知 x|x2 x a0，则实数 a 的取值范围是_.答案 a|a 14解析 x|x2
9、x a0. x|x2 x a0.即 x2 x a0 有实根. (1) 24 a0，得 a .141.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 x A，能推出 x B，这是判断AB 的常用方法.(2)不能简单地把“ AB”理解成“ A 是 B 中部分元素组成的集合” ，因为若 A 时，则 A中不含任何元素；若 A B，则 A 中含有 B 中的所有元素.(3)在真子集的定义中， A、 B 首先要满足 AB，其次至少有一个 x B，但 xA.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含 n 个元素的集合有 2n个子集，有 2n1 个真子集，有2n2 个非空真子集.
