1、第十一章 计数原理、随机变量及分布列第 4 课时 离散型随机变量及分布列、超几何分布(对应学生用书( 理)171173 页)考情分析 考点新知本部分重点以应用题为背景，考查离散型随机变量的分布列及某范围内的概率等. 本节内容属于理科加试必做题的内容，考查题型为解答题，是近几年高考的热点.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握概率分布列的基本性质，会求一些简单的离散型随机变量的概率分布列.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.理解随机变量的概率分布，掌握 01 分布，超几何分布的分布列，并能处理简单的实际问题.1. (选修 23P52 习题 1 改编)下列问题属于超几何分布的有_
2、( 填序号) 抛掷三枚骰子，所得向上的数是 6 的骰子的个数记为 X，求 X 的概率分布列； 有一批种子的发芽率为 70%，现任取 10 颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为 X，求 X 的概率分布列； 一盒子中有红球 3 只，黄球 4 只，蓝球 5 只，现任取 3 只球，把不是红色的球的个数记为 X，求 X 的概率分布列； 某班级有男生 25 人，女生 20 人，现选派 4 名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为 X，求 X 的概率分布列答案：解析：注意超几何分布的特征，其中涉及三个参量，、属于独立重复试验问题2. (选修 23P47 例题 3 改编)设随机变量
3、X 的分布列为 P(Xk) (k1，2，3，4，5)，k15则 P _.(12X52)答案：15解析：P P(X1)P(X2) .(12X52) 115 215 153. (选修 23P52 习题 4 改编)口袋内装有 10 个相同的球，其中 5 个球标有数字 0，5 个球标有数字 1.若从袋中摸出 5 个球，那么摸出的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是_答案：1363解析：数字之和小于 2 或大于 3 的对立事件为数字之和为 2 或者 3，发生的概率为 2，所以数字之和小于 2 或大于 3 的概率为 12 .13634. (选修 23P51 练习 2 改编)设 50 件商品
4、中有 15 件一等品，其余为二等品现从中随机选购 2 件，则所购 2 件商品中恰有一件一等品的概率为_答案：37解析：N50，M15，n2，r1，P(X1)H(1，2，15，50) .375. (选修 23P50 例 1 改编)某班级有男生 12 人、女生 10 人，现选举 4 名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委，则至少两名男生当选的概率为_答案：103133解析：把选出的 4 人中男生的人数记为 X，显然随机变量 X 满足超几何分布，所求事件的概率可以表示为 P(X2)有 P(X2)P(X2)P(X 3)P(X4) .1031331. 离散型随机变量的分布列(1) 如果随机试验
5、的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量(2) 设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1，x 2，x n，X 取每一个值 xi (i1， 2，n)的概率 P(Xx i)p i，则称表X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn为随机变量 X 的概率分布，具有性质：p i0，i1，2，n；p 1p 2p ip n1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和2. 如果随机变量 X 的分布列为X 1 0P p q其中 0p1，q1p，则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的 01 分布(或两点
6、分布)3. 超几何分布列在含有 M 件次品数的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有 X 件次品数，则事件Xr发生的概率为 P(Xr) (r0，1，2，l)，其中 lminn，M，且nN，M N，n、M、NN ，称分布列为超几何分布列记为 XH(n ，M ，N) ，并将P(Xr) 记为 H(r；n， M，N)X 0 1 lP 备课札记题型 1 离散型随机变量的概率分布例 1 随机地将编号为 1，2，3 的三个小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对球” ，否则叫做“放错球” ，设放对球的个数为 .求 的分布列解： 的分布列为 0 1
7、 2 3P 13 12 0 16变 式 训 练在 0，1，2，3，9 这十个自然数中，任取三个不同的数字将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设 为三个数字中相邻自然数的组数( 例如：若取出的三个数字为0，1，2，则相邻的组为 0，1 和 1，2，此时 的值是 2)，求随机变量 的分布列解：随机变量 的取值为 0、1、2， 的分布列为 0 1 2P 715 715 115题型 2 超几何分布例 2 已知盒中有 10 个灯泡，其中 8 个正品，2 个次品需要从中取出 2 只正品，每次取一个，取出后不放回，直到取出 2 个正品为止设 X 为取出的次数，求 X 的概率分布列解：P(X2) ，P(X3
8、) ，P(X4) 1P(X2)810 79 2845 810 29 78 210 89 78 1445P(X 3) ，115所以 X 的概率分布列如下表X 2 3 4P 2845 1445 115备 选 变 式 （教 师 专 享 ）一盒中有 9 个正品和 3 个次品零件，每次取一个零件，如果取出的是次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数 X 的概率分布，并求 P .(12 X 52)解：易知 X 的可能取值为 0、 1、2、3 这四个数字，而 Xk 表示，共取了 k1 次零件，前 k 次取得的都是次品，第 k1 次才取得正品，其中 k0、1、2、3.故 X 的分布列为X 0 1 2 3P
9、34 944 9220 1220P P(X1)P(X2) .(12 X 52) 944 9220 27110题型 3 实际问题例 3 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球(1) 求取出的 4 个球均为黑球的概率；(2) 求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；(3) 设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列解：(1) 设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A， “从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 B.由于事件 A、B 相互独立，且 P(A) ，P(B) .12 25故取出的
10、4 个球均为黑球的概率为 P(AB)P(A)P(B) .12 25 15(2) 设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1个是黑球”为事件 C， “从甲盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 D.由于事件 C、D 互斥，且 P(C) ，P(D) .415 15故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 P(CD) P(C)P(D) .415 15 715(3) 可能的取值为 0，1，2，3.由(1)，(2)得 P(0) ，P(1) ，P(3)15 715 .从而 P(2) 1P(0)P(1) P(
11、3) .130 310 的分布列为 0 1 2 3P 15 715 310 130备 选 变 式 （教 师 专 享 ）黄山旅游公司为了体现尊师重教，在每年暑假期间对来黄山旅游的全国各地教师和学生，凭教师证和学生证实行购买门票优惠某旅游公司组织有 22 名游客的旅游团到黄山旅游，其中有 14 名教师和 8 名学生但是只有 10 名教师带了教师证，6 名学生带了学生证(1) 在该旅游团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持有教师证且持有学生证者最多 1人的概率；(2) 在该团中随机采访 3 名学生，设其中持有学生证的人数为随机变量 ，求 的分布列解：(1) 记事件 A 为“采访 3 名游客中，恰
12、有 1 人持有教师证且持有学生证者最多 1人” ，则该事件分为两个事件 A1 和 A2，A 1 为“1 名教师有教师证，1 名学生有学生证” ； A2 为“1 名教师有教师证，0 名学生有学生证” P(A)P(A 1)P(A 2) ，1877 15154 51154 在随机采访 3 人，恰有 1 人持有教师证且持有学生证者最多 1 人的概率为 . 51154(2) 由于 8 名学生中有 6 名学生有学生证， 的可能取值为 1，2，3 ，则 P(1) ，P(2) ，P(3) ， 328 1528 514 的分布列为 1 2 3P 328 1528 5141. (2012广东理)从个位数与十位数之
13、和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是_答案：19解析：两位数共有 90 个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有 45 个，个位数为 0 的有 5 个，所以概率为 .545 192. (2013新课标)从 n 个正整数 1，2，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为 ，则 n_114答案：8解析：从 n 个正整数 1，2，n 中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于 5的情况有：(1，4)，(2 ，3)共 2 种情况；从 n 个正整数 1，2，n 中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为 C ，由古典概型概率计算公式，得从 n 个正整数 1，2，n
14、 中2n任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于 5 的概率为 P .所以 C 28，即2n28，解得 n8.n（n 1）23. (2013江苏)现在某类病毒记作 XmYn，其中正整数 m，n(m7，n9) 可以任意选取，则 m，n 都取到奇数的概率为 _答案：2063解析：m 可以取的值有：1， 2，3，4，5，6，7 共 7 个，n 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9 共 9 个，所以总共有 7963 种可能，符合题意的 m 可以取1，3，5，7 共 4 个，符合题意的 n 可以取 1，3，5，7，9 共 5 个，所以总共有 4520种可能符合题意，所以符合题意的概率为 .2
15、0634. 如图，从 A1(1，0，0)、A 2(2，0，0) 、B 1(0，1，0)、B 2(0，2，0)、C 1(0，0，1) 、C2(0，0，2)这 6 个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体” ，记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内，此时 “立体”的体积 V0)(1) 求 V0 的概率；(2) 求 V 的分布列及数学期望 E(V) 解：(1) 从 6 个点中随机选取 3 个点总共有 C 20 种取法，选取的 3 个点与原点在同36一个平面内的取法有 C C 12 种，因此 V0 的概率为 P(V0) .13 34
16、1220 35(2) V 的所有可能取值为 0、 、，因此 V 的分布列为16132343V 0 16 13 23 43P 35 120 320 320 120则 V 的数学期望E(V)0 .35 16 120 13 320 23 320 43 120 9401. 现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于 8 的概率是_答案：35解析： 以 1 为首项，3 为公比的等比数列的 10 个数为 1，3，9，27，其中有 5 个负数，1 个正数 1 计 6 个数小于 8， 从这 10 个数中随机抽取一个数，它小于 8的概率是
17、.610 352. 在一次面试中，每位考生从 4 道题 a、b、c、d 中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响(1) 若甲考生抽到 a、b 题，求乙考生与甲考生恰好有一题相同的概率；(2) 设某两位考生抽到的题中恰好有 X 道相同，求随机变量 X 的概率分布解：(1) P .23(2) X 的可能取值为 0、1、2， P(X0) ，16P(X2) ，P(X1)1P(X0)P(X2) ，所以随机变量 X 的概率分16 23布为X 0 1 2P 1/6 2/3 1/63. 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两17人从袋中轮
18、流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止所需要的取球次数(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量 的概率分布；(3) 求甲取到白球的概率解：(1) 设袋中原有 n 个白球，由题意知 ，n(n1)17n（n 1）2762 n（n 1）766，得 n3 或 n2(舍去)，即袋中原有 3 个白球(2) 由题意， 的可能取值为 1、2、3、4、5.P(1) ； P(2) ；37 4376 27P(3) ； P(4) ；433765 635 43237654 335P(5) .43213765
19、43 135所以 的分布列为： 1 2 3 4 5P 37 27 635 335 135(3) 因为甲先取，所以甲只有可能在第 1 次、第 3 次和第 5 次取球，记“甲取到白球”为事件 A，则 P(A)P(“ 1”，或“3” ，或“5 ”)事件“1” ，或“3” ，或“5”两两互斥，P(A)P(1)P(3)P(5) .22354. 老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背诵，规定至少要背出其中 2 篇才能及格某同学只能背诵其中的 6 篇，试求：(1) 抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2) 他能及格的概率解：(1) 设随机抽出的 3 篇课文中该同学能背诵的篇数为 X，则 X 是一个随
20、机变量，它可能的取值为 0、1、2、3，且 X 服从超几何分布，分布列如下：X 0 1 2 3P即 X 0 1 2 3P 130 310 12 16(2) 该同学能及格表示他能背出 2 或 3 篇，故他能及格的概率为 P(X2)P(X2)P(X 3) 0.667.12 16 23超几何分布中的注意问题：(1) 超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题上，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的“合格”与“不合格” ，球的“红色”与“非红色” ，学生的“男生”与“女生”等(2) 超几何分布问题涉及四个参数，学习中要多注意它们的特征和顺序如产品问题中，H(r；n，M，N) 的意义是“超几何分布( 取出产品中不合格品数；取出产品数，所有产品中不合格品数，所有产品数) ”；再如取球问题中，H(r；n，M，N)的意义是“超几何分布(取出球中红色球数；取出的球数，所有球中红色球数，所有球数) ”(3) 公式的记忆要联系组合数的意义，超几何分布问题中事件的意义，掌握公式中每个式子的意义，这样记起来就事半功倍了请 使 用 课 时 训 练 （B）第 4课 时 （见 活 页 ）.备课札记
