1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课后提升作业 十三等比数列的性质(45 分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.(2016临汾高一检测)已知a n为等比数列,且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=9,那么 a3+a5= ( )A.3 B.9 C.12 D.18【解析】选 A.因为 a2a4= ,a4a6= ,所以 a2a4+2a3a5+a4a6= +2a3a5+=(a3+a5)2=9,又 an0,所以 a3+a5=3,故选 A.2.由正数组成的等比数列a n满足:a 4
2、a8=9,则 a5,a7的等比中项为 ( )A.3 B.3 C.9 D.9来源:gkstk.Com【解析】选 B.由等比数列的性质可知 a4a8=a5a7=9,又数列a n各项均为正,所以 a5,a7的等比中项为 3.3.由公比为 q 的等比数列 a1,a2,依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2,a2a3,a3a4,是 ( )A.等差数列B.以 q 为公比的等比数列C.以 q2为公比的等比数列D.以 2q 为公比的等比数列【解析】选 C.因为 = =q2为常数,所以该数列为以 q2为公比的等比数列.4.公比为 2 的等比数列a n各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5= ( )A.1 B
3、.2C.4 D.8【解析】选 A.由等比数列的性质得 =a3a11=16,又 an0,所以 a7=4.又 q=2,所以 a5= = =1.5.(2016郑州高二检测)已知公差不为 0 的等差数列a n满足a1,a3,a4成等比数列,S n为数列a n的前 n 项和,则 的值为 ( )A.-2 B.-3C.2 D.3【解析】选 C.a1,a3,a4成等比数列,即(a 1+2d)2=a1(a1+3d),a1=-4d,= = = =2.6.已知数列a n为等比数列,若 a4+a6=10,则 a7(a1+2a3)+a3a9的值为 ( )A.10 B.20 C.100 D.200【解析】选 C.a7(a
4、1+2a3)+a3a9=a1a7+2a3a7+a3a9= +2a4a6+ =(a4+a6)2=100.7.(2016安庆高二检测)已知各项均为正数的等比数列a n,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6= ( )A.5 B.7 C.6 D.4 来源:学优高考网【解析】选 A.由等比数列的性质知,a 1a2a3,a4a5a6,a7a8a9也成等比数列,所以(a 4a5a6)2=a1a2a3a7a8a9=50,又 an0,所以 a4a5a6=5 .8.(2016合肥高二检测)已知各项不为 0 的等差数列a n满足 a4-2+3a8=0,数列b n是等比数列,且 b7=a7,则 b2
5、b8b11等于 ( )A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选 D.因为 a4-2 +3a8=0,所以(a 4+a8)+2a8-2 =0,所以a6+a8- =0,所以 2a7- =0,所以 a7=2,所以 b7=2,所以 b2b8b11= b3b7b11= =8.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.已知a n为等比数列,a 4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=_.【解析】因为 a4a7=a5a6=-8,又 a4+a7=2,由此解得 ,或,所以 或 ,从而 a1+a10=a1(1+q9)=-7.答案:-7【补偿训练】数列a n的首项为 1,数列b n为等比数列且 bn= ,
6、若 b10b11=2,则 a21=_.【解题指南】解答本题首先要注意b1b2b3b20= = =a21,另外要注意根据 b10b11=2 用等比数列性质求 b1b2b3b20.【解析】因为 bn= ,所以 b1= ,b2= ,b3= ,b20= .以上各式相乘,得b1b2b3b20= = =a21,因为数列b n为等比数列,所以b1b20=b2b19=b3b18=b10b11=2,所以 a21=b1b2b3b20=210=1024.答案:102410.在等比数列a n中,若 a7+a8+a9+a10= ,a8a9=- ,则+ + + =_.【解析】因为 a7+a8+a9+a10= ,a8a9=
7、a7a10=- ,所以 + + += =- .答案:-【一题多解】因为 a7+a8+a9+a10= ,a8a9=- ,所以 =- ,即 + + + =- .又 a7a10=a8a9,所以 + + + =- .所以 + + + =- .来源:学优高考网答案:-三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)11.等差数列a n的前 n 项和为 Sn,已知 S3= ,且 S1,S2,S4成等比数列,求a n的通项公式.【解析】设a n的公差为 d.来源:学优高考网 gkstk由 S3= ,得 3a2= ,故 a2=0 或 a2=3.由 S1,S2,S4成等比数列,得 =S1S4.又 S1=a2-d,S
8、2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a 2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).若 a2=0,则 d2=-2d2,所以 d=0,此时 Sn=0,不符合题意;若 a2=3,则(6-d) 2=(3-d)(12+2d),解得 d=0,或 d=2.因此a n的通项公式为 an=3 或 an=2n-1.12.设a n是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求a n的通项公式.【解析】设数列a n的首项为 a1,公比为 q,因为 b1+b2+b3=3,所以 log2a1+log2a2+log2a3=3,所以 log2(a1a2a3)=3,所以 a1a
9、2a3=8,所以 a2=2.因为 b1b2b3=-3,来源:gkstk.Com所以 log2a1log2a2log2a3=-3,所以 log2a1log2a3=-3,所以 log2 log2a2q=-3,即(log 2a2-log2q)(log2a2+log2q)=-3,即(1-log 2q)(1+log2q)=-3,解得 log2q=2,当 log2q=2 时,q=4,a 1= = ,所以 an= 4n-1=22n-3.当 log2q=-2 时,q= ,a1= =8,所以 an=8 =25-2n.【能力挑战题】(2016郑州高二检测)已知数列a n的前 n 项和 Sn=3n2+5n,数列b
10、n中,b 1=8,64bn+1-bn=0,问是否存在常数 c,使得对任意的正整数n(nN *),an+logcbn恒为常数 m?若存在,求出常数 c 和 m 的值;若不存在,请说明理由.【解题指南】先求出 an与 bn,假设存在 c 与 m,利用 n 的任意性建立c,m 的方程,判断解是否存在.【解析】因为 Sn=3n2+5n,所以当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=6n+2,而 a1=S1=8 适合上式.所以 an=6n+2,由 64bn+1-bn=0 得 = ,所以b n是首项为 8,公比为 8-2的等比数列.所以 bn=8(8-2)n-1=83-2n.假设存在常数 c 和 m,使 an+logcbn=m 恒成立,则 6n+2+logc83-2n=m,即(6-2log c8)n+(2+3logc8)=m,对任意 nN *恒成立.所以 所以关闭 Word 文档返回原板块
