1、,()cxAf 考点 4 函数及其表示考纲解读 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念. 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 了解简单的分段函数,并能简单的运用.重点难点 函数的三种表示方法,利用集合与对应的语言来刻画函数. 了解简单的分段函数,并能简单的运用.命题探究 函数是整个高中数学的重点,函数思想是最重要的数学思想方法,函数问题在历年高考中都占据相当大的比例,从近几年来看,对本部分内容的考查形势稳中求变,向着更灵活的方向发展. 在高考中主要考查映射与函数的概念,例如求象、原象以及映射的个数等，另外，在高考中常以函数作为背景，结合不等式、方
2、程、数列等知识,考查学生处理综合问题的能力. 在高考命题上仍以考查基本概念与基本计算为主,题型主要是选择和填空题,也有可能把定义一种新运算作为考查的目的. 本内容涉及的考点有：求函数的解析式；分段函数；函数的综合应用。高考赏析1.(2011北京).根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c 为常数） 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品时,(xf用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16【解析】由条件可知， 时所用时间为常数，所以组装第 4 件产品用时必然满足第一
3、个分段函数，即x， ，选 D。(4)306f0()156fA2.(2010陕西) 某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表 ，当各班人数除以10 的余数大于 6 时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=x( x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 A. B. C. D. y10x3y104y10x510【解析】法一：设 ，)9(m ，时 3,6xm，所以选 B3,96 xx时当法二：特殊取值法，若 x=56，y=5,排除 C、D，若 x=57，y=6，排除 A，所以选 B3.(2009辽宁) 若 满足 满足 则 + 12
4、5,x22log(1)5,1x2A. B.3 C. D.452 7【解析】由题意 所以1,x22l(),1121,log(5),x x即 令 代入上式得12log()x1,t2l()ttt与式比较得 于是 ， 另法：数形结合法.故选 C.5,tt2x17178 16 205810X(年 )Y(千 人 )4.(2005湖南) 设 P 是ABC 内任意一点,S ABC 表示ABC 的面积, 1 , 2 , 3ABcPCSABCP,定义 若 G 是ABC 的重心, 则 ABCPS123(,),f(),)236fQA.点 Q 在GAB 内 B.点 Q 在GBC 内 C.点 Q 在GCA 内 D.点 Q
5、 与点 G 重合【解析】A5.(2006陕西) 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文 对应密文 例如,明文 1,2,3,4,abcd,4abcd对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7【解析】当接收方收到密文 14，9，23，28 时，则 ，解得 ，解密得到的明文为 C214938bcd6417abcd基础巩固6.设集合A和B都是自然数集合 N,映射 f: 把集合A中的元素n,映射到集合B中的元 ,
6、则在n2映射 f 下,象20的原象是 A.4 B.3 C.2 D. 5【解析】A7.我校门前的磁卡电话收费标准为：前三分钟内收费0.4元，以后每分钟收费0.2元.某同学一次(或多次)通话共7分钟，最低话费应是A.0.8元 B.1元 C.1.2元 D.1.4元【解析】B8.某集镇近20年来的常住人口y(千人)与时间x(年)的函数如右图,考虑下列说法:前16年的常住人口是逐年增加的;第16年后常住人口实现零增长;前8年的人口增长率大于1；第8年到第16年的人口增长率小于1.在上述说法中,只有一种说法是错误的,这个错误的说法是A. B. C. D 【解析】C.9.如果函数 对任意实数 ,存在常数 M
7、,使得不等式 恒成立,那么就称函数()fxx|()|fxM为有界泛函,下面有 4 个函数:()f ； ； 1 2f ； xxf)cos(in) 1)(x其中有两个属于有界泛涵，它们是A.， B.， C.， D.，【解析】 ,取 ,所以符合有界泛涵定义. ,xxf2cosin)(Mxxf 34)21()(2取 ,所以符合有界泛涵定义.故选B.34M10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 （单位：太贝克）与时间 （单位：年）Mt满足函数关系： ，其中 为 时铯 137 的含量，已知 时，铯 13
8、7 的含302tMt0t 30t量的变化率是 （太贝克 /年） ，则ln106A. 5 太贝克 B. 太贝克 C. 太贝克 D. 150 太贝克752ln15【解析】因为 ，则 ，解得30/l3tt 2ln1l3030/ ，所以 ，那么 （太贝克） ，故选 D.60M26t546611定义在实数集上的函数 ，如果存在函数 ，使得对于一切实数都成立，那么称 为函数 的一个承托函数.给出如下命题：对给定的函数 ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个定义域和值域都是 R 的函数 不存在承托函数； 为函数 的一个承托函数； 为函数 的一个承托函数其中，正确的命题个数是 A0 B1 C2 D3【解析】C
9、12.设函数 (其中 ), 是 的小数点后的第 位数字, 则)fnk*Nkn.1459263,等于 .10f个【解析】 从此后均为()5,9,()3,1,().fff(1).f13.如图，一条直角走廊宽为 1.5m，一转动灵活的平板手推车其， 平板面为矩形，宽为 1m问：要想顺利通过直角走廊，平板手 推车的长度不能超过 【解析】 .23能力提高14. ,则称函数 f(x)是 R)(21)(:)( 212,1 xffxfRxxfR 都 有对 任 意满 足上 的 函 数定 义 在上的凹函数.已知二次函数 (,0.aa(1)求证：当 0a时，函数 ()f是凹函数；(2)如果 ,1x时， |,x试求实
10、数a的取值范围.【解析】(1)对任意 20R2)(2)()( 12121211 xxaaxfff )(x 22 ffxa函数 f(x)是凹函数.(2) 当 x=0时， aR；当 x(0，1)时，11)(1| 2axf由20. 综上， a的范围是 2,0.恒 成 立恒 成 立 4)2(2xxa .m.515.已知函数 （ ， ）的反函数是 ，而且函数 的图象axf3)(01)(1xfy)(xgy与函数 的图象关于点 对称1y),(（）求函数 的解析式；)(g（）若函数 在 上有意义， 的取值范围1xfxF 3,2aa求【解析】 （）由 （ ， ） ，得af301)3(log)(1xf又函数 的图
11、象与函数 的图象关于点 对称，则 ，)(y)(fy0, )(1xaf于是， （ ）log)21fga x（）由（）的结论，有 )(l)(l(1 afx a要使 有意义，必须 又 ，故 )(F.0,33由题设 在 上有意义，所以 ， x,2a21即于是， 10应用创新16.某地区上年度电价为0.8元/kWh,年用电量为akWh,本年度计划将电价降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之间，而用户期望电价为0.4元/kWh，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k） 该地区电力的成本价为0.3元/kWh()写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价 x
12、的函数关系式；()设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益=实际用电量(实际电价-成本价)）【解析】()设下调后的电价为 元 依题意知用电量增至x/,kWh ,0.4kax电力部门收益 )75.)(304.( xay()依题意有 75.0. %),201)(.8()(2.( xa整理,得213,. 解此不等式得 6 故当电价最低定为0.60元/k仍可保证电力部门的收益比上年增长Wh20%。知识清单 函数与映射的概念函数 映射两集合 设 AB、 是两个非空数集 设 AB、 是两个非空集合对应关系 :f如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 中
13、的任意一个数 x，在集合中都有唯一确定的数 ()和它对应。如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应。名称 称:fAB为从集合 到集合 B的一个函数称 :fA为从集合 到集合 的一个映射记法 ()yfx， A对应 :fAB是一个映射注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。 一个函数的构成要素:定义域、值域和对应关系 相等函数:如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相
14、等函数？（不一定。如果函数 y=x 和 y=x+1,其定义 域与值域完全相同，但不是相等函数；再如 y=sinx 与 y=cosx，其定义域为 R，值域都为-1，1，显然不是相等函数。因此凑数两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系） 函数的表示方法：解析法、图象法和列表法。 分段函数:若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。纠错笔记 易错点一:对函数的概念理解不清.函数概念的理解是建立在映射的概念上,函数是一个特殊的映射. 易错点二:分段函数的处理不当.解决分段函数的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决,或用数形结合法求解.要注意分段函数是一个函数,而不是几个函数其图象为若干段曲线,不一定连续.
