1、 1 / 29学号：S130110093课程作业名称_ 工程结构非线性分析_ _研 究 生 姓 名 任 课 教 师 学 科 专 业 学 生 导 师 课程作业提交日期 2014 年 4 月 26 日2 / 29作业二：钢筋混凝土偏压柱的非线性分析要求：1. 阐述截面和构件非线性全过程分析的理论基础；2. 编制相应程序，给出具体算例分析结果，并有试验结果验证方法及程序的适用性；3. 参数分析；4. 基于作业 1 和作业 2 的结果，讨论钢筋混凝土受压构件的第一、二类稳定计算结果。3 / 29（一）钢筋混凝土偏压柱的截面非线性分析一 截面非线性过程分析的理论基础1.线弹性分析与非线性分析的不同点截面
2、的非线性分析：一般是指全过程分析，即确定截面从开始加载到最终破坏这一全过程的受力及变形性能。线弹性受压截面的受力分析的基本假定：1) 平截面假定成立:变形前的平截面在变形后仍然保持为平截面不变，即截面上的正应变沿截面高度呈线性分布,也即给出了截面变形的几何条件或变形协调条件；2) 材料的应力应变关系符合 Hook 定律，即应力应变之间呈线性关系，也即给出了材料的物理关系。线弹性梁的受力变形特点：1) 构件的荷载（内力）与变形之间呈线性关系；2) 截面的弯矩与曲率之间呈线性关系；3) 在整个受力过程中，截面的刚度大小及其分布均保持不变；4) 叠加原理适用。钢筋混凝土梁非线性分析的不同特征：1)
3、材料的应力应变关系不同非线性；2) 截面混凝土受拉开裂；3) 在整个受力过程中，截面的弯矩曲率不呈线性关系，截面刚度不断变化；4) 构件的荷载位移关系呈出非线性；5) 随受力的增加，截面抗弯广度 EI 的减小是由于 E 和 I 均随着受力的增大而减小所致。2.材料的本构关系1）混凝土的本构关系；混凝土单轴应力应变曲线图如下所示：4 / 29a) 混凝土单轴受压时的应力-应变曲线可按下式确定：5 / 296) 表 C.2.4 混凝土单轴受压应力-应变曲线的参数取值b) 混凝土单轴受拉时的应力-应变曲线可按下式确定：为简化计算，可取混凝土受压的本构关系如下图所示，应力应变关系曲线由抛物线的上升段和
4、水平段组成，他们的数学表达式分别为6 / 290cf cu0图 1 混凝土受压应力-应变规范建议的曲线nccf00cu0式中： 6052,kcufn5,0 1 kcuf,3cu为混凝土轴心抗压强度设计值；tf为混凝土立方体抗压强度标准值；kcu,和 分别为峰值压应变和极限压应变0当 时，取 2.0；.2n当 时，取 0.002；0当 时，取 0.0033。3.cu7 / 29为计算简便混凝土受拉本构关系如下图所示，采用混凝土受拉本构关系线性式：图2 混凝土受拉应力-应变曲线cEtf0t式中：为混凝土弹性模量；cE为混凝土轴心抗拉强度设计值；tf为截面抵抗矩塑性影响系数。2）钢筋的本构关系；钢筋
5、应力-应变本构关系曲线图：8 / 29本构关系曲线由下式确定：为简化计算，钢筋承受拉压的本构关系如下采用理想弹塑性模型：0yf,maxs0s图 3 钢筋的应力应变关系曲线9 / 29sEyyf式中：对应于钢筋应变为 时的钢筋应力；为钢筋的强度设计值；yf对应于钢筋弹性阶段的弹性模量；sE3.非线性分析的基本假定1) 平截面假定成立；2) 截面开裂后忽略受拉区混凝土的抗拉作用；3) 材料的本构关系采用上面的假定。4.钢筋混凝土构件截面非线性分析数值法截面非线性分析的全量解截面的割线刚度法。数值分析方法的基本特点:1) 用数值积分代替代数积分；2) 能适应一般的截面形式和配筋情况。数值分析方法的基
6、本假定：1) 平截面假定成立；2) 材料的本构关系给定。求解的基本步骤：1) 截面网格的划分；2) 依据截面的几何条件（平截面假定）确定每一网格代表点处的应变；3) 依据物理条件（材料本构关系假定）确定每一网格代表点处的应力；4) 根据每一网格内假定的应力分布（一般假定为均匀分布） ，求每一网格的合力及合力矩；5) 求和每一网格的合力及合力矩，建立截面的平衡方程；6) 求解平衡方程得到所需解。10 / 29 截面网格划分h0asasAs sbxyo偏心压力作用点ApAs 截面几何方程yi xyo00y0Nyi xyoMyyiixyo0c11 / 290 1iiy（ ）h0as as As A
7、sb xyoyi ixyo0yi c 物理方程yiixyoyi ixyo0ch0asas AsA sbxyoyi 平衡方程0 )2(cicisisii i fy（ ）1111 3csc sNNiciksiicikskAMyyA （ ）12 / 29 截面 M N 关系的求解具体方法采用分级加变形的方法：1. 给定轴力 N;2. 给曲率 -增量 ，则 k= k-1+ ；3. 假定截面受压区高度 的迭代初值；x4. 由 k、 ，求第 i 条带的 ；xki5. 由 求 ；ii6. 根据截面的轴力平衡方程迭代求解本级荷载 k 对应的 ；kx7. 根据截面的弯矩平衡方程求解本级 k 对应的 ；M8. 判
8、断截面是否满足破坏条件， ；cu9. 若满足 ，求解结束，否则回到步骤 2 继续进行计算。cku二 编制相应的程序并给出具体的算例分析结果本算例采用的分级加曲率的方法得到 曲线Mb13 / 29截面尺寸为 350mm700mm，钢筋等级为 HRB400,as=35mm,受压钢筋面积 =308.As 流程图计算截面弯矩，改变曲率NOcur=cur+0.000001绘制弯矩-曲率图形，结构破坏结束与 N1 比较，|N-N1|h;x=h;elseif x1;dc=1-par_c/(ak_c*(parc-1)2+parc);else dc=1-par_c*c_n/(c_n-1+parcc_n);end
9、fc(i)=(1-dc)*Ec*(con_sr-delta_x*i*tan(cur);end%受拉区混凝土的拉应力 fttx=h-x;delta_tx=tx/n;for i=1:n;part=(tx-delta_tx*i)*tan(cur)/EUT;par_t=ft_r/(Ec*EUC);if part1;dt=1-par_t/(ak_t*(part-1)1.7+part);elsedt=1-par_t*(1.2-0.2*part5);endft(i)=(1-dt)*Ec*(tx-delta_tx*i)*tan(cur);end%受压区钢筋的压应力 fsscon_sr=con_sr-as*ta
10、n(cur);if scon_sreu_1;fs=0;elseif scon_sreu_2;fs=fy_r+(fst_r-fy_r)*(scon_sr-eu_2)/(eu_1-eu_2);elseif scon_sreu_3;fs=fy_r;elsefs=Es*scon_sr;end%受拉区钢筋的应力if con_srh0*tan(cur);%混凝土大截面受压，钢筋处于受压区而承受压力st_strain=con_sr-h0*tan(cur); 16 / 29if st_straineu_1;fst=0;elseif st_straineu_2;fst=-fy_r-(fst_r-fy_r)*(s
11、con_sr-eu_2)/(eu_1-eu_2);elseif st_straineu_3;fst=-fy_r;elsefst=-Es*st_strain;endelse%钢筋处于受拉区st_strain=(tx-as)*tan(cur);if st_straineu_1;fst=0;elseif st_straineu_2;fst=fy_r+(fst_r-fy_r)*(scon_sr-eu_2)/(eu_1-eu_2);elseif st_straineu_3;fst=fy_r;elsefst=Es*st_strain;endend%验证柱截面平衡N=sum(fc)*delta_x*b+fs
12、*Asy_1-sum(ft)*b*delta_tx-fst*Asy_2;%轴力if abs(N-N1)N1;max_st=con_sr;else min_sr=con_sr;endcon_sr=(max_st+min_sr)/2;%二分法迭代求解fprintf(The con_sr is %8.5fn,con_sr);end17 / 29%关系图形的绘制k=1:t-1;s=k*change_NO;plot(s,M);title(弯矩 -曲率关系);xlabel(曲率);ylabel(弯矩(N*mm 2);18 / 29三 参数分析(1) 考虑不同混凝土等级 C30、C50、C80(104)cE
13、,crf( 10-6),rc,trf( 10-6),ttC30 3 30 1640 1.36 3.0 118 2.81C50 3.45 50 1920 2.48 3.5 128 3.82C60 3.60 60 2030 3.25 4.0 137 5.00受拉钢筋面积 1695mm2,轴力 1000KNC30、C50、C60 混凝土强度的 M- 关系图19 / 29(2) 控制不同轴力 N1=1000KN，N2=2000KN ，N3=3500KN混凝土强度 C50，钢筋面积 1695mm2N1=1000KN、2000KN、3500KN 的 M- 关系图(3) 考虑受拉钢筋不同配筋率 1=0.19
14、%( As1=452mm2); 2=0.81%( As2=1884 mm2)； 3=1.7% (As3=3927mm2)混凝土强度 C50，轴力 2000KN20 / 29配筋率 =0.19%、0.81%、1.7%的 M- 关系图四 结果讨论本文利用 matlab 计算研究了混凝土强度、轴力、受拉钢筋面积对矩形截面混凝土偏压柱的变形性的影响，也即对延性系数的影响。算例利用 matlab 对矩形截面钢筋混凝土偏压柱在不同的轴力作用下的 的绘制，由于计算单元M的精确性和假设的合理性等因素的影响，计算结果存在些许误差，但是大体可以达到本算例非线性分析的目的。由于计算单元的精确性等因素的影响，具体数值
15、可能有些误差，但从中得到一些结论：1) 截面的所承受的弯矩 与截面的曲率 不是呈线性关系，而是非线性的关系，由于计算精度的限制，并不能得出其具体的函数关系，但可以得出弯矩 和曲率 是非线性关系，随着曲率 的增加，弯矩 是增MM加的；2) 在截面曲率不是很大的情况下，一般截面处于大偏心受压(N 增大，M u增大) ；3) 大偏心受压破坏时，随着轴压比（轴力 N）的增大，截面的抗弯承载能力也随着提高了，但是截面的延性却降低了。4) 随着纵向受拉钢筋配筋率 增大，截面承载能力增大，截面的延性减弱。5) 随着混凝土强度等级的提高，混凝土极限压应变 cu 增大，截面承载能力增大，延性系数增大。钢筋混凝土
16、受压构件的第一类稳定计算不考虑材料的非线性，第二类稳定计算则需要考虑材料的非线性，本构关系的非线性使得分析过程更为复杂，但也更加接近于实际情况。21 / 29（二）钢筋混凝土偏压柱的构件非线性分析一、构件非线性全过程分析的理论基础1.1 构件非线性分析的目的及内容确定构件从开始加载到最终破坏这一全过程的受力及变形性能。 确定构件的真实受力性能； 确定构件的承载力； 确定构件的延性。1.2 构件弯曲的一般理论因为对弯曲构件的截面曲率： ds对于初等梁结构 即2)(1vds这个时候任一截面 处的则有转角 ，位移 。xdx0xdv0因此当构件截面曲率的大小及分布确定以后， 则构件任一截面的转角和位移
17、即可确定。上述分析公式与材料特性无关，故对线性材料和非线性材料组成的构件均可适用。对于线弹性材料组成的构件，则有 。此时的 EI 为常量，所以EIMds呈线性关系。M1.3 共轭梁分析法对于初等梁有：。22dVqxMx22 / 29根据这个微分方程的相似性，如果将构件每一截面的曲率看做沿构件分布的虚拟“荷载” ，则每一截面相应的“剪力”和“弯矩”即为该截面的转角和位移。不过这个时候应该注意内力和位移对应的边界条件不相同。1.4 钢筋混凝土偏压柱非线性分析的解析法1.4.1 基本假定 截面的弯矩曲率关系为三折线，在前面作业中对截面非线性分析得到的 曲线也是一个三折线；M 构件的剪切变形忽略不计。
18、实际梁和共轭梁示意图23 / 291.4.2 基本思路 与三折线的弯矩曲率关系相对应，构件的荷载位移关系亦为三折线； 根据弯矩曲率关系，确定与截面混凝土开裂、纵向受拉钢筋屈服以及受压混凝土压碎等特征点对应的刚度分布； 根据弯矩曲率关系，确定与截面混凝土开裂、纵向受拉钢筋屈服以及受压混凝土压碎等特征点对应的刚度分布； 根据各特征点的弯矩分布确定相对应的外荷载大小； 注意对应不同刚度分布时的位移增量和全量。1.5 钢筋混凝土偏压柱非线性分析的数值法1.5.1 基本假定 截面的弯矩曲率轴力关系为数值型； 构件的剪切变形忽略不计。1.5.2 基本思路 将截面划分成 Nc 个混凝土条带、 Ns 个钢筋条
19、带，求出每一截面离散型的弯矩曲率轴力关系； 将梁划分为 m 段，借以刻划截面刚度沿梁长的分布； 24 / 29 根据荷载 P 作用下的截面弯矩和截面的弯矩曲率轴力关系，确定此时每一截面的曲率； 根据每一截面的曲率积分或采用共轭梁法求制定截面的转角和挠度。1.6 分析步骤采用分级加变形分级加控制截面的曲率的方法 分级施加控制截面的曲率 ；1:ii 假定与 对应的 ；iiN 求与 对应的 关系曲线；i iM 假定与 对应的 ；imif 由 、 求 ；iNifi 由 计算相应的 ；mi mi 由 求相应的 ；iif ?miifpsomiiYesNf转 下 一 步 ； 以 新 的 变 形 后 转 由
20、根据截面的 关系曲线求相应的截面弯矩 ；iiMiM 由 和 求 ；iifi ； ?iiNpsomiiYes f转 下 一 步 ； 以 新 的 变 形 后 转 满足构件的破坏条件？sN结 束 ； 增 加 继 续 计 算 。2.编制相应的程序并给出具体的算例分析结果25 / 29算例采用上例同样的偏压柱构件。本算例采用的分级加曲率的方法得到 曲线M材料信息：截面尺寸为 350mm700mm，钢筋等级为 HRB400,as=35mm,受压钢筋面积 =308.AsMatlab 计算程序计算：钢筋混凝土构件非线性计算主程序 ajhntgjfxx_main.m：%-clear all; %清除内存里的数据
21、close all; %关系打开了的文件for j=1:80 %定义网格面积A(j)=0.001;endA(81)=226e-6;A(82)=339e-6; M=zeros(1,31); %初始化弯矩angel=zeros(1,31); %初始化曲率for j=1:31 %定义曲率angel(j)=5.5*j*1e-4endfor j=1:31a=0;b=0.4; %迭代上下限x=(a+b)/2; %迭代初值stress=constitutive_relation(x,angel(j); %调用本构关系子函数计算应力N=100000; %引用轴力P=stress*A; %根据应力计算合力whi
22、le(abs(P-N)1) %迭代计算中性轴高度b26 / 29if P-N0b=x;elsea=x;endx=(a+b)/2;stress=constitutive_relation(x,angel(j);%调用本构关系子函数计算应力P=stress*A;endxm(j)=x;endfor j=1:31for k=1:82 %就算各网格距离中性轴的距离if (k=1)elseif strain(j)-0.0014stress(j)=-280e6;endendend%-Matlab 计算结果钢筋混凝土偏压柱构件非线性分析计算结果29 / 293.参数分析和结果讨论此题利用上题对截面非线性分析的
23、结果进行构件的非线性分析，求解构件的极限承载能力，与三折线的弯矩曲率关系相对应，构件的荷载位移关系亦为三折线，但是此题结果的三折线关系并不明显，原因在于程序的误差以及题一中所求得的弯矩曲率的三折线关系由于某些原因表现的不够清楚，直接导致此题求解的荷载位移的三折线关系不够明显。但是，总体来说，本程序已经达到了验证结构荷载和位移非线性关系的目的。从结果可以看出，结构的荷载位移曲线并不是线性的，而且其曲线的斜率是不断的减小的，即表明，结构的刚度在荷载增加的过程中是不断减小的。有程序计算结果看出，弯矩曲率关系图出现两个明显的转折点，呈现出三折线特点。第一个转折点出现的原因是随着曲率的增大，受拉区混凝土的应变达到其极限值，此时对应的弯矩和曲率分别为开裂弯矩和开裂曲率。当混凝土拉应变超过其限值后，混凝土开裂，相当于截面等效刚度降低，故弯矩曲率关系图的斜率变小，出现转折点。第二个转折点出现的原因是对应该状态时的受拉区钢筋开始屈服，随着应变的增加，其提供的拉力开始不变，截面抵抗外弯矩的增加主要靠增加力臂来实现，抵抗外弯矩的效率较前阶段大大降低，弯矩曲率关系图的斜率变小，出现转折点。随着曲率的增加，弯矩的值最后趋与一个最大值，此状态对应受压区混凝土被压坏。
