1、1计算方法期中复习试题一、填空题：1、已知 3.1)(,2.)(,0.1)( fff ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得3_dx,用三点式求得 )(f 。答案：2.367，0.252、 1)3(,2)(,1)(fff ，则过这三点的二次插值多项式中 2x的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。答案：-1 ， )2(1)3(2)(2)( xxxxL3、近似值 *0.31关于真值 9.0有( 2 )位有效数字；4、设 )(xf可微,求方程 )(xf的牛顿迭代格式是 ( )；答案 )(11nnf5、对 )(3xf,差商 3,210f( 1 ), 4,320f( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误
2、差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x)=0 在区间(a,b )内的根时，二分 n 次后的误差限为( 12nab)；8、已知 f(1) 2，f (2)3， f(4)5.9，则二次 Newton 插值多项式中 x2 系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式 10d)(xf( 10 )321()3(2)ffxf)，代数精度为( 5 )；12、 为了使计算 32)1(6)(413xxy的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 ,6(10t ，为了减少舍入误差，应将表达式21920改写为 1920 。13、 用二分法求方程 )(3xf在区间0,1内的根,进行一步后根的所在
3、区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 14、 计算积分 5.0dx,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。15、 设 46)2(,1)(,0)(fff ,则 )(1xl )2()1xl ， )(xf的二次牛顿插值多项式为 7xN 。16、 求积公式 baknkfAf)(d)(0的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12n )次代数精度。17、 已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求
4、51d(xf( 12 )。18、 设 f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0 ，用三点式求 )f( 2.5 )。19、如果用二分法求方程 043x在区间 2,内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。20、已知 31)()1()(210)23 xcbaxS是三次样条函数，则a=( 3 )， b=（ 3 ） ， =（ 1 ） 。21、 ,(10xllxn 是以整数点 nx,10 为节点的 Lagrange 插值基函数，则nkl)( 1 )， kkj0)( j )，当 2时)(3(204xlxkk( 324x )。22、区间 ba,上的三次样条插值函数 (S在 ba,上具有直到_2_阶的
5、连续导数。23、改变函数 fxx()1 ( x1)的形式，使计算结果较精确 xf1。24、若用二分法求方程 0f在区间1,2 内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。325、设21,0,23xcbaxxS是 3 次样条函数，则a= 3 , b= -3 , c= 1 。26、若用复化梯形公式计算 0dex，要求误差不超过 610，利用余项公式估计，至少用 477 个求积节点。27、若 42()fx，则差商 2483,f 3 。28、数值积分公式119()()()fxdf 的代数精度为 2 。选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。A 2 B5 C 3 D 42、舍入误
6、差是( A )产生的误差。A. 只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 3、3.141580 是 的有( B )位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 4、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是 ( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 5、用 1+ 3近似表示 31x所产生的误差是( D )误差。A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断6、-324 7500 是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。A 5 B 6 C 7 D 87、设 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中 x
7、2 的系数为( A )。A 05 B 05 C 2 D -28、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A 3 B 4 C 5 D 29、( D )的 3 位有效数字是 0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.5410110、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x)，则 f(x)=0 的根4是( B )。(A) y=(x)与 x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与 y=(x)交点的横坐标(C) y=x 与 x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与 y=(x)的交点1
8、1、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) )!1()()nfxPfxRnn (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(xx1)(xx2)(x xn1)(xxn)，(D) )(!()()1)xfxfnnn 12、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值 x0 满足 ( A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程 f(x)=0 的根。 0)()D(0)()C(0)()B(0)()A( 0000 xfxfxfxf13、为求方程 x3x21=0 在区
9、间1.3,1.6 内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。(A) 1:,112 kkxx迭 代 公 式(B) 212:, kk迭 代 公 式(C)3/113 )(:,1kxx迭 代 公 式(D):, 2123 kk迭 代 公 式14、在牛顿-柯特斯求积公式： baniiixfCadxf0)()中，当系数 )(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1） 8n， （2） 7n， （3） 1n， （4） 6n，23、有下列数表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5f(x) -2 -1.75 -1 0
10、.25 2 4.25所确定的插值多项式的次数是（ ） 。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次15、取 37.计算 41()x，下列方法中哪种最好？（ ）5(A) 28163； (B) 243()； (C) 21643)； (D) 4163()。26、已知3021()xxSab是三次样条函数，则 ,ab的值为( )(A)6，6； (B)6，8 ； (C)8，6； (D)8，8。16、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ ）ix 1.5 2.5 3.5()f-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5(A)5； (B) 4； (C) 3； (D)
11、2。17、形如 123()()()bafdxAffxAf的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（ ）(A)9； (B) 7； (C) 5； (D) 。18、计算 3的 Newton 迭代格式为( )(A) 12kx；(B) 132kx；(C) 12kx；(D) 13kx。 19、用二分法求方程 340在区间 ,内的实根，要求误差限为302，则对分次数至少为( ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。20、设 ()ilx是以 019(,)k 为节点的 Lagrange 插值基函数，则90()ikl( )(A) ； （B） ； （C ） i； （D ） 1。 33、5 个节点的牛
12、顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度(A)5； (B)4； (C)6； (D)3。21、已知3022124)()()xxSab是三次样条函数，则 ,ab的值为( )(A)6，6； (B)6，8 ； (C)8，6； (D)8，8。35、已知方程 35在 附近有根，下列迭代格式中在 02x不收敛的是( )(A) 312kkx； (B)152kkx； (C) 315kkx； (D)3125kk。22、由下列数据0 1 2 3 4()f1 2 4 3 -5确定的唯一插值多项式的次数为( )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。23、5 个节点的 Gauss 型求积公式的最高代数精度为
13、( )(A)8； (B)9； (C)10； (D)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打 ，否则打）1、已知观察值 )210()miyxi ， ,用最小二乘法求 n 次拟合多项式 )(xPn时，6)(xPn的次数 n 可以任意取。 ( )2、用 1-2近似表示 cosx 产生舍入误差。 ( )3、 )(210x表示在节点 x1 的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。( ) 5、矩阵 A= 5213具有严格对角占优。 ( )四、计算题：1、求 A、B 使求积公式 1 )21()1()( ffBffAdxf的代数精
14、度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求 21dxI(保留四位小数)。答案： 2,1)(xf是精确成立，即 321BA得 98,1BA求积公式为 )2(98)(9)(1 ffffdxf 当 3)(xf时，公式显然精确成立；当 4)(xf时，左= 5，右= 31。所以代数精度为 3。6928.0147 321/98313121 dtdxt2、已知7ix1 3 4 5)(if2 6 5 4分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 )(xf的三次插值多项式 )(3xP，并求)2(f的近似值（保留四位小数） 。答案： )53(4)1(6)51(4)3(3 xxxxL)()()()(5差商表为 ixiy一阶均差
15、 二阶均差 三阶均差1 23 6 24 5 -1 -15 4 -1 0 41)(3)(41)3()1(2)(33 xxxxNP.2f5、已知 ix-2 -1 0 1 2)(if4 2 1 3 5求 )(xf的二次拟合曲线 2xp，并求 )(f的近似值。答案：解： iiiy2i3ix4iiyxi20 -2 4 4 -8 16 -8 161 -1 2 1 -1 1 -2 22 0 1 0 0 0 0 03 1 3 1 1 1 3 34 2 5 4 8 16 10 2080 15 10 0 34 3 41正规方程组为 41310552a,0,722214037)(xxpxp1)(2 3)(2f6、已
16、知 sin区间0.4，0.8的函数表ix0.4 0.5 0.6 0.7 0.8iy0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求 63891.0sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差 |)(|!3|)(|2xMxR尽量小，即应使 |)(|3x尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点7.0,65.最好，实际计算结果 596274.0381.sin，且 410532. )7.063891.)(096381.)(5689(!7.si 7、构造求解方程 xe的根的迭代格式 ,2),(1nxn，
17、讨论其收敛性，并将根求出来， 41|n。答案：解：令 0)(,02)(,0e)( effxf .9且 01e)(xf )(，对 x，故 0)(xf在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为 )e2(10xx则当 )1,0(x时 )e2(10)xx，10e|)(| x故迭代格式 )e(1nxn收敛。取 5.0x，计算结果列表如下：n 0 1 2 30.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325n 4 5 6 7x0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008且满足 6671090.| .所以
18、08529.*x.10、已知下列实验数据xi 1.36 1.95 2.16f(xi) 16.844 17.378 18.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当 0x1 时， )(xfex，则 e)(f，且 xd10有一位整数.要求近似值有 5 位有效数字，只须误差 4)(12fRn.由 )(12()3(1fnabfRn，只要 42)(1 10eenRxn10即可，解得 3087.61e2n所以 68n，因此至少需将 0,1 68 等份。12、取节点 ,5.0,210xx,求函数 xfe)(在区间0,1上的二次插值多项式)(2P,并估计误差。解： )15.0(.)10(5.5.0
19、0 xexex )5.0(2)1(4)1(5.02.5.0xexex又 |ma,)(,)( ,3 fMexfexf x故截断误差 |)(5.0|!)(| 22xPRx。14、给定方程 01e)(xxf1) 分析该方程存在几个根；2) 用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字；3) 说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程 01e)(x （1）改写为 x （2）作函数 1)(1xf， fe)(2的图形（略）知（2）有唯一根 )2,1(*x。2) 将方程（ 2）改写为 x1构造迭代格式 5.e0xkk),210(计算结果列表如下：k 1 2 3 4 5 6 7 8 911xk 1.22313
20、1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.278463) xe1)(， xe)(当 2,x时， 2,1)(,，且 1e|)(|x所以迭代格式 ,0()1kxk 对任意 2,0均收敛。15、用牛顿(切线) 法求 3的近似值。取 x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。解： 3是 )(2xf的正根， f2)(，牛顿迭代公式为nn1， 即 ),210(31nxxn取 x0=1.7, 列表如下：1 2 3n1.73235 1.73205 1.7320516、已知 f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值
21、多项式 )(2xL及 f (1，5)的近似值，取五位小数。解： )1(4)21(3)21(2)( xxxxL )(330467.2)5.().(Lf17、n=3, 用复合梯形公式求 xde10的近似值（取四位小数）,并求误差估计。解： 734.1e)(23de3210 Txxffe),)(， 0时， e|)(|xf05.2.10832| TR至少有两位有效数字。20、 （8 分）用最小二乘法求形如 bxay的经验公式拟合以下数据：12ix19 25 30 38iy19.0 32.3 49.0 73.3解： ,12xspan223859TA3.7049.321Ty解方程组 ACTT其中 9601
22、4.86AT解得： 052.7所以 9257.a， 0512.b 21、 （15 分）用 8n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算 dxe0时，试用余项估计其误差。用 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。解：132.076812)(12 0efhabfRT)()8(71kbxh 367894.0)41682.047235.0536.88916 24.022、 （15 分）方程 13x在 .附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1） 3x对应迭代格式 31nnx；(2) x1对应迭代格式 nnx11；（3） 对应迭代格式 。判断迭代格式在 5.0的
23、收敛性，选一种收敛格式计算 5.1附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1）32()）x， 18.05.1）（，故收敛；（2） xx12(， 7）（ ，故收敛；（3） 3)(， 153.2）（ ，故发散。选择（1）： 50， 1， 309.x， 3259.1x， 3249.14x，2476.x， 4.25、数值积分公式形如13 10 )1(0()10()( fDfCBfAfxSdxf试确定参数 DCBA,使公式代数精度尽量高；（2）设 ,4，推导余项公式 10)()(xSdxfR，并估计误差。解：将 32,1)(xxf分布代入公式得： 201,3,27,3BA构造 Hermite 插值多项式
24、)(3H满足 ,0)(3ixfii其中 ,10x则有： 103)(xSdx， 24)1!xfdxfR2103)4()1!)(6!)1!4)()4(023 ffdxf 27、 （10 分）已知数值积分公式为：)(0)(2)(20 hffhfhxfh ，试确定积分公式中的参数 ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解： 1显然精确成立；xf)(时， 10220hdh ；2)(xf时， 123302 hh；3时， 012423hhdx；4)(xf时， 64055340h ；所以，其代数精确度为 3。28、 （8 分）已知求 )(a的迭代公式为：2,10210 kxxkk证明：对一切 a,
25、 ，且序列 kx是单调递减的，从而迭代过程收敛。证明：2,1021)(21 axxxkkk故对一切 k, 。14又1)(2)1(kkxax所以 kx1，即序列 kx是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、 （9 分）数值求积公式 30 )2()(fdxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为 )(xf在基点 1、2 处的插值多项式为 )2(1)(21)( fxfxp30 )(fdp。其代数精度为 1。30、(6 分)写出求方程 cos4x在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6 分) nnnxs11，n=0,1,2,4si x 对任意的初值 1,0x,迭代
26、公式都收敛。31、(12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 5的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783 -0.00009411361510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275552583xf0163.29615083645!2fR32、(10 分)用复化 Simpson 公式计算积分10sindxI的近似值，要求误差限为 510.。150.946158214061fffS 0.9468332 fff
27、ff 5-122 093.5SSI.2SI或利用余项： !97!sin8642xxxf!492751)4(xf51)4(f4)4( 0.580180nfnabR， 2n， 2SI33、(10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组：27623453211xx3.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.6875Tx0.5,.3
28、,0.236、(6 分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：12010 fAfdxf取 f(x)=1,x，令公式准确成立，得：10A， 310 0， 61Af(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x 3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代数精度=240、(10 分) 已知下列函数表：x0 1 2 316()fx1 3 9 27(1)写出相应的三次 Lagrange 插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次 Newton 插值多项式，并计算 15(.)f的近似值。解：（1） 32302303012011213()()()()()()()()xxxxxL348（2）均差表：12937682433 1()()()Nxxx3155)f42、(10 分) 取 5 个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分2201dx的近似值（保留 4 位小数）。解：5 个点对应的函数值 21()fxxi 0 0.5 1 1.5 2f(xi) 1 0.666667 0.333333 0.181818 0.111111-（2 分）(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：405167031801.(.).T8(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：2 236()S01953.
