1、1复习试题一、填空题：1、 410A，则 A 的 LU 分解为 A。答案： 15640152、已知 3.)(,2.)(,0.1)( fff ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得3_dx,用三点式求得 )1(f 。答案：2.367，0.253、 1)3(,2)(,1)(fff ，则过这三点的二次插值多项式中 2x的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。答案：-1 ， )2(1)3(12)3(2)( xxxxL4、近似值 *0.31关于真值 9.0有( 2 )位有效数字；5、设 )(xf可微,求方程 )(xf的牛顿迭代格式是( )；答案 )(11nnf6、对 )(3xf,差商 3,210f( 1 ),
2、4,320f( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n 次后的误差限为( 12nab)；9、求解一阶常微分方程初值问题 y= f (x,y)，y(x0)=y0 的改进的欧拉公式为( 2),(),(211 nnnyxfyxfhy )；10、已知 f(1)2，f(2)3， f(4)5.9， 则二次 Newton 插值多项式中 x2 系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式 10d)(xf(10 )31)3(2)ffxf)，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组 Ax=b 的高斯顺序
3、消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。13、 为了使计算 32)1(6)(4130xxy的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 ,6(1t ，为了减少舍入误差，应将表达式9201改写为 1920 。14、 用二分法求方程 )(3xf在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分 5.0dx,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度 为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。16、 求解方程组 042.0151
4、x的高斯塞德尔 迭代格式为 20/3)5(1)21kkx，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径 )(M= 12 。17、 设 46)2(,1)(,0)(fff ,则 xl )2()xl ， )(xf的二次牛顿插值多项式为 )(7xN 。318、 求积公式 baknkxfAxf)(d)(0的代数精度以 ( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12n )次代数精度。19、已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求 51dxf( 12 )。20、设 f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求 )(f( 2.5 )。21、如果用二分法求方程 043x在区间 2,内
5、的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。22、已知 31)()1()(210)23 xcxbaxS是三次样条函数，则a=( 3 )， b=（ 3 ） ， c=（ 1 ） 。23、 )(,(,10lln 是以整数点 n,0 为节点的 Lagrange 插值基函数，则nkx)( 1 )， kkjx0( j )，当 2时)(3(204xlxkk( 324x )。24、解初值问题 0,()yfx的改进欧拉法 ),(),(0111nnn yfyxfhy是 2 阶方法。25、区间 ba,上的三次样条插值函数 )(xS在 ba,上具有直到 _2_阶的连续导数。26、改变函数 f()1 ( x1)的形式，使
6、计算结果较精确 xxf。27、若用二分法求方程 0f在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。28、设21,23xcbaxxS是 3 次样条函数，则a= 3 , b= -3 , c= 1 。29、若用复化梯形公式计算 0dex，要求误差不超过 610，利用余项公式估计，至少用 477个求积节点。30、写出求解方程组 24.61x的 Gauss-Seidel 迭代公式 ,0,.2112kxxk，迭代矩阵为 64.01，此迭代法是否收敛 收敛 。31、设A543,则 9 。432、设矩阵48257136A的 ALU，则 482016U。33、若 4()fx，则差商 248
7、163,f 3 。34、数值积分公式1 09()()()fxdf 的代数精度为 2 。35、 线性方程组20513的最小二乘解为 1。36、设矩阵321045A分解为 ALU，则 32401。二、单项选择题：1、 Jacobi 迭代法解方程组 bx的必要条件是（ C ）。AA 的各阶顺序主子式不为零 B 1)(A C niai ,21,0 D 2、设 753A，则 )(A为( C )A 2 B 5 C 7 D 33、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。A 2 B5 C 3 D 44、求解线性方程组 Ax=b 的 LU 分解法中，A 须满足的条件是( B )。A 对 称阵 B 正定矩阵 C
8、 任意阵 D 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。5A. 只取有限位数 B模型准确 值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 6、3.141580 是 的有( B )位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。A控制舍入误差 B 减小方法误差C防止计算时溢出 D 简化计算9、用 1+ 3x近似表示 31x所产生的误差是( D )误差。A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断10、
9、-3247500 是舍入得到的近似 值，它有( C )位有效数字。A 5 B 6 C 7 D 811、设 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中 x2 的系数为( A )。A 05 B 05 C 2 D -212、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A 3 B 4 C 5 D 213、( D )的 3 位有效数字是 0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.5410114、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x)，则 f(x)=0 的
10、根是( B )。(A) y=(x)与 x 轴交点的横坐 标 (B) y=x 与 y=(x)交点的横坐标(C) y=x 与 x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与 y=(x)的交点615、用列主元消去法解线性方程组 ，第 1 次消元， 选择主元为( A ) 340921xx。(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D)916、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) )!1()()nfxPfxRnn (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(xx1)(xx2)(
11、x xn1)(xxn)，(D) )(!()()1)xfxfnnn 17、等距二点求导公式 f(x1) ( A )。 01101001 )()D()(C)B()A( xffxffxfxff 18、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值 x0 满足( A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收 敛到方程 f(x)=0 的根。 0)()D(0)()C(0)()B(0)()A( 0000 xfxfxfxf19、为求方程 x3x21=0 在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。(A) 1:,112 kkxx迭 代 公 式(B) 21
12、2:, kk迭 代 公 式(C)3/113 )(:,1kxx迭 代 公 式(D):, 2123 kk迭 代 公 式720、求解初值问题 欧拉法的局部截断误 差是(); 改进欧拉法的局部截断误差yxf)(,是();四阶龙格 库塔法的局部截断 误差是( A )(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)21、解方程组 bAx的简单迭代格式 gBxkk)()1( 收敛的充要条件是（ ） 。（1） 1)(, (2) B, (3) , (4) 1)(B22、在牛顿-柯特斯求积公式： baniiixfCadf0)()中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用
13、中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1） 8n， （2） 7n， （3） 1， （4） 6，23、有下列数表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25所确定的插值多项式的次数是（ ） 。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次24、若用二阶中点公式),(,2(1 nnnn yxfhyxhfy求解初值问题 1)0(,2y，试问为保证该公式绝对稳定，步长 的取值范围为（ ） 。(1) 0h, (2) 0, (3) 10, (4) 1025、取 372.计算 4x，下列方法中哪种最好？（ ）(A) 816； (B) 2()；
14、(C) 263)； (D) 4631()。26、已知30214() xSxaxb是三次样条函数，则 ,ab的值为( )(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。27、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ ）i 1.5 2.5 3.5()fx-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5(A) 5； (B) 4； (C) 3； (D) 2。28、形如 123()()badAfxfAfx的高斯（ Gauss）型求积公式的代数精度为（ ）(A) 9； (B) 7； (C) 5； (D) 。29、计算 3的 Newton 迭代格式为( )(A) 12
15、kx；(B)132kx；(C) 12kx；(D) 13kx。 30、用二分法求方程 340在区间 2,内的实根，要求误差限为302，则对分次数至少为( ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。831、经典的四阶龙格库塔公式的局部截断误差为 ( )(A) 4()Oh； (B) 2()Oh； (C) 5Oh； (D) 3()Oh。32、设 ilx是以 019,k 为节点的 Lagrange 插值基函数，则90ikl( )(A) ； （B） ； （C） i； （D） 1。 33、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有 ( )次代数精度(A)5； (B)4； (C)6； (D)3。3
16、4、已知3022124()()xxSab是三次样条函数，则 ,ab的值为( )(A)6，6； (B)6，8； (C)8，6； (D)8，8。35、已知方程 350在 附近有根，下列迭代格式中在 02x不收敛的是( )(A) 312kkx； (B)152kkx； (C)315kkx； (D)3125kkx。36、由下列数据0 1 2 3 4()f1 2 4 3 -5确定的唯一插值多项式的次数为( )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。37、5 个节点的 Gauss 型求积公式的最高代数精度为( )(A)8； (B)9； (C)10； (D)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打
17、 ，否 则打）1、 已知观察值 )210()miyxi ， ,用最小二乘法求 n 次拟合多项式 )(xPn时，)(Pn的次数 n 可以任意取。 ( )2、 用 1-2x近似表示 cosx 产生舍入误差。 ( )3、 )(210x表示在节点 x1 的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一 级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( ) 5、矩阵 A= 5213具有严格对角占优。 ( )四、计算题：91、 用高斯-塞德尔方法解方程组 25218431x，取 T)0,()0，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式 )2(5184)2(11(2)(1)
18、(3 )(3)1()(2()()( kkk kk xxxxk )(1kx)(2k)(3k0 0 0 01 2.7500 3.8125 2.53752 0.20938 3.1789 3.68053 0.24043 2.5997 3.18394 0.50420 2.4820 3.70192、 求 A、B 使求积公式 1 )21()1()( ffBffAdxf的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求 21dxI(保留四位小数)。答案： 2,1)(xf是精确成立，即 321BA得 98,1BA求积公式为 )2(98)(9)(1 ffffdxf 当 3)(xf时，公式 显然精确成立；当 4)(xf
19、时，左= 5，右 = 31。所以代数精度为 3。106928.0147 321/98313121 dtdxt3、 已知 ix1 3 4 5)(if2 6 5 4分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 )(xf的三次插值多项式 )(3xP，并求)2(f的近似值（保留四位小数）。答案： )53(4)1(6)51(4)3(3 xxxxL)()()()(5差商表为 ixiy一阶均差 二阶均差 三阶均差1 23 6 24 5 -1 -15 4 -1 0 41)(3)(41)3()1(2)(33 xxxxNP.2f4、取步长 .0h，用预估-校正法解常微分方程初值问题 1)(32yx)10(x答案：解： )3
20、2()32(.00(11)0( nnn yxyxy即 4.78.15.111n 0 1 2 3 4 5x0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ny1 1.82 5.8796 10.7137 19.4224 35.02795、已知 ix-2 -1 0 1 2)(if4 2 1 3 5求 )(xf的二次拟合曲线 2xp，并求 )(f的近似值。答案：解： iiiy2i3ix4iiyxi20 -2 4 4 -8 16 -8 161 -1 2 1 -1 1 -2 22 0 1 0 0 0 0 03 1 3 1 1 1 3 34 2 5 4 8 16 10 200 15 10 0 34 3 41正规方
21、程组为 4131052a,0,722214037)(xxpxp1)(2 3)(2f6、已知 xsin区间0.4 ，0.8的函数表i0.4 0.5 0.6 0.7 0.8iy0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求 63891.0sin的近似值，如何选择节 点才能使误差最小？并求该近似值。12答案：解： 应选三个节点，使误差 |)(|!3|)(|2xMxR尽量小，即应使 |)(|3x尽量小，最靠近插 值点的三个节点满足上述要求。即取节点7.0,65.最好，实际计 算结果 596274.0381.sin，且 410532. )7.063891.)
22、(096381.)(5689(!7.sin 7、构造求解方程 xe的根的迭代格式 ,2),(1nxn，讨论其收敛性，并将根求出来， 41|n。答案：解：令 0)(,02)(,0e)( effxf .且 xf ，对 ，故 x在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(变形为 )e2(10xx则当 )1,(x时 )e2(10)xx，10e|(| x故迭代格式 )e(1nxn收敛。取 5.0x，计算结果列表如下：n 0 1 2 30.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325n 4 5 6 713nx0.090 595 993 0.090 517 340 0.0
23、90 525 950 0.090 525 008且满足 66710950.| .所以 08529.*x.8利用矩阵的 LU 分解法解方程组 312431x。答案：解： 245312LUA令 by得 T)7,04(， yxU得 T)3,1(.9对方程组 84102532xx、1、 试建立一种收敛的 Seidel 迭代公式， 说明理由；、2、 取初值 T),()0，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求3)1(| kx。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 150238413xx故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 )1523(1084)(10)()1)(3 (3)(2 ()(2)( k
24、kk kkkxxxx取 T)0,()x,经 7 步迭代可得： T)01.,32695.,49.()*x.10、已知下列实验数据14xi 1.36 1.95 2.16f(xi) 16.844 17.378 18.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当 0x1 时， )(xfex，则 e)(f，且 xd10有一位整数.要求近似值有 5 位有效数字，只须误差 4)(102fRn.由 )(12()3(1fnabfRn，只要 42)(1 10eenRxn即可，解得 3087.61e2n所以 68n，因此至少需将 0,1 68 等份。11、用列主元素消元法求解方程组 12412345x。解
25、： 122345r 5821079345579130825213213 rr 13507924132r回代得 ,6,2xx。1512、取节点 1,5.0,210xx,求函数 xfe)(在区间0,1上的二次插值多项式)(2P,并估计误差。解： )15.0(.)10(5.5.00 xexex )5.0(2)1(4)1(5.02.5.0xexex又 |ma,)(,)( ,3 fMexfexf x故截断误差 |)(5.0|!)(| 22xPRx。13、用欧拉方法求 xty0de)(2在点 0.2,51.,0x处的近似值。解： tyde)(2等价于 0)(e2yx( 0)记2e),(xyf,取 5.0h
26、, 0.2,5.1,.,5., 4321 x.则由欧拉公式 0),(1yyxhfnn, 3,210可得 894.).(,5.).0( 21, 6,734yy14、给定方程 0e)(xxf1) 分析 该方程存在几个根；2) 用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字；163) 说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程 01e)(x （1）改写为 xe （2）作函数 1)(1xf， f)(2的图形（略）知（2）有唯一根 ),1(*x。2) 将方程（ 2）改写为 xe1构造迭代格式 5.0xkk),210(计算结果列表如下：k 1 2 3 4 5 6 7 8 9xk 1.22313 1.29431
27、 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.278463) xe)(， xe)(当 2,1x时， 2,1)(,，且 1e|)(|x所以迭代格式 ,0()1kxk 对任意 2,0均收敛。15、用牛顿(切线)法求 3的近似值。取 x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。解： 3是 02xf的正根， f2)(，牛顿迭代公式为nn21， 即 ),210(231nxxn取 x0=1.7, 列表如下：1 2 3n1.73235 1.73205 1.7320516、已知 f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式 )(2
28、xL及 f (1，5)的近似值，取五位小数。17解： )12(4)21(3)21(2)( xxxxL 330467.2)5.().(Lf17、n=3,用复合梯形公式求 xde10的近似值（取四位小数）,并求误差估计。解： 734.1e)(23de3210 Txxffe),)(，0时， |)(|xf 05.2.108e32| TR至少有两位有效数字。18、用 Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 41321x= 8，取 x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel 迭代格式 为： )8(4113)5(1)(2)( (3)1)(2()( kkk k
29、kxxxx系数矩阵 4130严格对角占优，故 Gauss-Seidel 迭代收敛.取 x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:k)(1kx)(2kx)(3kx1 1.667 0.889 -2.1952 2.398 0.867 -2.383183 2.461 0.359 -2.52619、用预估校正法求解 1)0(yx(0x1)，h=0。2，取两位小数。解：预估校正公式为 ),()(21211kyhxfkynn,20其中 yxf),(， 0，h=0.2， 4,3，代入上式得：n1 2 3 4 5x0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ny1.24 1.58 2.04 2.64 3.4220、
30、（8 分）用最小二乘法求形如 2bxay的经验公式拟合以下数据：ix19 25 30 38iy19.0 32.3 49.0 73.3解： ,12xspan223859TA3.7049.321Ty解方程组 yACTT其中 96014.86AT解得： 052.7所以 257.a， 0512.b 21、 （15 分）用 8n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算 dxe时，试用余项估计其误差。用 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。解：0132.76812)(12 0efhbfRT)()8(7kbxah19367894.0)41682.047235.053
31、61.889(216 4.022、 （15 分）方程 3x在 .附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31x对应迭代格式 31nn；(2) x对应迭代格式 nnx11；（3）对应迭代格式 x。判断迭代格式在 5.0的收敛性，选一种收敛格式计算5.附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1）32()）x， 18.5.1）（，故收敛；（2） x12(， 7.0.）（ ，故收敛；（3） 3)(x， 153.2）（，故发散。选择（1）： 5.0， 1， 39.x， 3259.1x， 3249.14x，2476， 4.23、 （8 分）已知方程组 fAX，其中413A， 2430f（1） 列出 Ja
32、cobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。（2） 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi 迭代法：,3210)4()3(1()(3(1)(2(2)(kxxkkkGauss-Seidel 迭代法：,3210)4()(1()(3(3)1(2(2)(kxxkkk4)(1ULDBJ， 79056.)41(85)(或JB2024、1、 （15 分）取步长 1.0h，求解初值问题 1)0(ydx用改进的欧拉法求 )1.0(y的值；用经典的四阶龙格库塔法求 )(y的值。解：改进的欧拉法： 095),(),(290(11)0(1 nnnn yyxfyxfh所以 ).0(y
33、；经典的四阶龙格库塔法：),(2),(63431214321hkyxfkfyxkkhynnnn 04321k，所以 1).(y。25、数值积分公式形如 10 )(0()0()( fDfCBfAfSdxf试确定参数 DCBA,使公式代数精度尽量高；（2）设 1,4f，推导余项公式 10)(xSdxR，并估计误差。解：将 32,)(xxf分布代入公式得： 201,3,27,3A构造 Hermite 插值多项式 )(3H满足 1,0)(3ixfii其中 ,10x则有： 103)(xSdx， 24)(!xfdxfR2103)4()1!)(6!)1!4)()4(023 ffdxf 26、用二步法),()
34、1,( 111 nnnn yxfyfhyy 求解常微分方程的初值问题 0)x时，如何选择参数 ,10使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的解：21)(!3)(!2)()(1() )(!3)(!2)()()( 401, nnnnn nnnnnhn xyhxyxyhxyh xyhxyxyhyxR)()16()(2(1 43110 Oxynn 所以 01202301主项：)(53nxyh该方法是二阶的。27、 （ 10 分）已知数值积分公式为：)(0)(02)( 20 hffhfdxfh ，试确定积分公式中的参数 ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解： 1f显然
35、精确成立；x)(时，10220hdh；2xf时， 123302 hh；3)(时，012423hhdx；4xf时， 64055340h；所以，其代数精确度为 3。28、 （ 8 分）已知求 )(a的迭代公式为：2,10210 kxxkk证明：对一切 a, ，且序列 k是单调递减的，从而迭代过程收敛。证明：2,1021)(21 axxxkkk故对一切 k, 。22又1)(2)1(kkxax所以 kx1，即序列 kx是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。29、 （ 9 分）数值求积公式 30 )2()(fdxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为 )(xf在基点 1、2 处的插
36、值多项式为)2(1)(21)( fxfxp30 )(fdp。其代数精度为 1。30、(6 分)写出求方程 cos4x在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6 分)nnnx11，n=0,1,2,4si 对任意的初值 1,0x,迭代公式都收敛。31、(12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 5的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783 -0.00009411361510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=1
37、0.72275552583xf0163.29615083645!2fR32、(10 分)用复化 Simpson 公式计算积分10sindxI的近似值，要求误差限为510.。230.946158214061fffS 0.9468332 fffff 5-122 093.5SSI.2SI或利用余项： !97!sin8642xxxf!492751)4(f51)4(f4)4( 0.580180nfnabR， 2n， 2SI33、(10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组：27623453211xx3.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12
38、.66670.0000 5.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.6875Tx0.5,.3,0.234、(8 分)求方程组 12513x的最小二乘解。bAxTT，208463， 0.23若用 Householder 变换，则： 52073.36.101725.,2481650.02434.1.3725.最小二乘解： (-1.33333，2.00000) T.35、(8 分)已知常微分方程的初值问题：21(2.1,yxydx用改进的 Euler 方法
39、计算 (.)的近似值，取步长 2.0h。5.0,01yxfk， .538091.,012 kyxfk74.5238921h36、(6 分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：1010 fAfdxf取 f(x)=1,x，令公式准确成立，得：210A， 31010， 6Af(x)=x2时，公式左右=1/4; f(x)=x 3时，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代数精度=237、（15 分）已知方程组 Axb，其中21，123b，（1）写出该方程组的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式；（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明
40、哪一种方法收敛更快；解：（1）Jacobi 迭代法的分量形式232113 012()()()()()();,kkxxGauss-Seidel 迭代法的分量形式1231213 02()()()()()();,kkxx（2）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为102()BDLU， 251230， 1()B，Jacobi 迭代法收敛 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为1230()GDLU， 1230,， 1()B，Gauss-Seidel 迭代法发散 38、（10 分）对于一阶微分方程初值问题201()dyx，取步长 02.h，分别用 Euler 预报校正法和经典的四阶龙格库塔法求 .y的近似
41、值。解：Euler 预报校正法01 01 12486028() ().()nnnnnyxxyyxy 08经典的四阶龙格库塔法 112342 13 24 360.().).()nnnnykkkxyk1856.)y( 12340715893;.;.;.k)39、（10 分）用二步法 1 12(,)(,)nnnhyfxyfxy 求解一阶常微分方程初值问题 0(,)yfx，问：如何选择参数 ,的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。解：局部截断误差为 11 12()(,)(,)nnnnnhTyxfxyfxy 34 12)()()! nnhOyx 262343
42、22()()()()()()! nnnnnnhhyxyxyOyxyhh 2 4114()()()()!nnnyxyxyxh 因此有023局部截断误差主项为351()nhyx，该方法是 2 阶的。 40、(10 分) 已知下列函数表：x0 1 2 3()f1 3 9 27(1)写出相应的三次 Lagrange 插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次 Newton 插值多项式，并计算 15(.)f的近似值。解：（1） 3230230301201123()()()()()()()()xxxxxL348（2）均差表：12937682433 12()()()Nxxx3155)f41、(10 分) 取步长 02.h，求解初值问题83002()()dyx，分别用欧拉预报校正法和经典四阶龙格库
