1、.数值计算方法复习试题一、填空题：1、 410A，则 A的 LU分解为 A。答案： 15640153、 )3(,2)(,1)(fff ，则过这三点的二次插值多项式中 2x的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。答案：-1， )2(1)3(12)(2)( xxxxL4、近似值 *0.31关于真值 9.0有( 2 )位有效数字；5、设 )(xf可微,求方程 )(xf的牛顿迭代格式是 ( )；答案 )(11nnf6、对 )(3xf,差商 3,210f( 1 ), 4,320f( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x)=0在区间( a,b)内的
2、根时，二分 n次后的误差限为( 12nab)；10、已知 f(1)2， f(2)3， f(4)5.9，则二次 Newton插值多项式中 x2系数为( 0.15 )；11、 解线性方程组 Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为( A的各阶顺序主子式均不为零)。12、 为了使计算 32)1(6)(4130xxy的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 ,6(1t ，为了减少舍入误差，应将表达式.1920改写为 1920 。13、 用二分法求方程 )(3xf在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 14、 求解方程组 042.01
3、51x的高斯塞德尔迭代格式为 20/3)51()2kkx，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径 )(M= 12 。15、 设 46)2(,1)(,0)(fff ,则 xl )2()xl ， )(xf的二次牛顿插值多项式为 (7xN 。16、 求积公式 baknkfAf)d)(0的代数精度以 ( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 12n )次代数精度。21、如果用二分法求方程 43x在区间 2,1内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。22、已知 3)()()1(2 10)23 xcxbaxS是三次样条函数，则a=( 3 )， b=（ 3 ） ， c=（ 1 ） 。23、 ,(10lln 是以整数点
4、 n,0 为节点的 Lagrange插值基函数，则nkx( 1 )， kkjx0)( j )，当 2时)(3(204xlxkk( 324x )。24、25、区间 ba,上的三次样条插值函数 )(xS在 ba,上具有直到 _2_阶的连续导数。26、改变函数 fx()1 (x1)的形式，使计算结果较精确 xf。27、若用二分法求方程 0f在区间1,2内的根，要求精确到第 3位小数，则需要对分 10 次。28、写出求解方程组 24.161x的 Gauss-Seidel迭代公式 ,0,.2112kxxk，迭代矩阵为 64.01，此迭代法是否收敛 收敛 。.31、设A543,则 A 9 。32、设矩阵4
5、8257136的 ALU，则 482016U。33、若 4()fx，则差商 248163,f 3 。34、线性方程组20513x的最小二乘解为 1。36、设矩阵210435A分解为 ALU，则 32401。二、单项选择题：1、 Jacobi迭代法解方程组 bx的必要条件是（ C ） 。A A的各阶顺序主子式不为零 B 1)(A C niai ,21,0 D 2、设 753，则 )(A为( C )A 2 B 5 C 7 D 34、求解线性方程组 Ax=b的 LU分解法中， A须满足的条件是( B )。A 对称阵 B 正定矩阵 C 任意阵 D 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的
6、误差。A. 只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 6、3.141580 是 的有( B )位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 .7、用 1+ x近似表示 ex所产生的误差是( C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。A控制舍入误差 B 减小方法误差C防止计算时溢出 D 简化计算9、用 1+ 3x近似表示 31x所产生的误差是( D )误差。A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断10、-3247500 是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。A 5
7、B 6 C 7 D 811、设 f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中 x2的系数为( A )。A 05 B 05 C 2 D -212、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A 3 B 4 C 5 D 213、( D )的 3位有效数字是 0.236102。(A) 0.0023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.5410114、用简单迭代法求方程 f(x)=0的实根，把方程 f(x)=0表示成 x=(x)，则 f(x)=0的根是( B )。(A) y=(x)与 x轴交点的横坐标 (B) y=x与 y=(x)
8、交点的横坐标(C) y=x与 x轴的交点的横坐标 (D) y=x 与 y=(x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组 ，第 1次消元，选择主元为( 340921xxA ) 。(A) 4 (B) 3 (C) 4 (D)916、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) )!1()()nfxPfxRnn (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，.(D) )(!1()()xnfxPfRn 18、用牛顿切线法解方程 f(x)=
9、0，选初始值 x0满足( A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程 f(x)=0的根。 0)()D(0)()C(0)()B(0)()A( 0000 xfxfxfxf19、为求方程 x3x21=0 在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。(A) 1:,112 kkxx迭 代 公 式(B) 212:, kk迭 代 公 式(C)3/113 )(:,1kxx迭 代 公 式(D):, 2123 kk迭 代 公 式21、解方程组 bAx的简单迭代格式 gBx)()(收敛的充要条件是（ ） 。（1） 1)(, (2) B, (3)
10、 1A, (4) 1)(B23、有下列数表x 0 0.5 1 1.5 2 2.5f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25所确定的插值多项式的次数是（ ） 。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次25、取 7.计算 43()x，下列方法中哪种最好？（ ）(A) 86； (B) 2； (C) 2163)； (D) 4163()。27、由下列数表进行 Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ ）ix 1.5 2.5 3.5()f-1 0.5 2.5 5.0 8.0 11.5(A)5； (B)4； (C) 3； (D) 2。29、计算 3的 Newton迭代格式
11、为( )(A) 12kx；(B)12kx；(C) 1kx；(D) 13kx。 30、用二分法求方程 340在区间 2,内的实根，要求误差限为302，则对分次数至少为( ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。.32、设 ()ilx是以 019(,)k 为节点的 Lagrange插值基函数，则90()ikl( )(A) ； （B） ； （C） i； （D） 1。 35、已知方程 325在 2x附近有根，下列迭代格式中在 2x不收敛的是( )(A) 31kkx； (B)15kk； (C)315kkx； (D)3125kkx。36、由下列数据0 1 2 3 4()f1 2 4 3 -5
12、确定的唯一插值多项式的次数为( )(A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打 ，否则打）1、已知观察值 )210()miyxi ， ,用最小二乘法求 n次拟合多项式 )(xPn时，)(Pn的次数 n可以任意取。 ( )2、用 1-2x近似表示 cosx产生舍入误差。 ( )3、 )(210x表示在节点 x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( )4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。( ) 5、矩阵 A= 5213具有严格对角占优。 ( )四、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组 25218431x，取 T)0
13、,()0x，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式 . )2(5184)2(11(2)(1)(3 )(3)1()(2()()( kkk kk xxxxk )(1kx)(2k)(3k0 0 0 01 2.7500 3.8125 2.53752 0.20938 3.1789 3.68053 0.24043 2.5997 3.18394 0.50420 2.4820 3.70192、已知 ix1 3 4 5)(if2 6 5 4分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 )(xf的三次插值多项式 )(3xP，并求)2(f的近似值（保留四位小数） 。答案： )53(4)1(6)51(4)3(3 x
14、xxxL)()()()(5差商表为 ixiy一阶均差 二阶均差 三阶均差1 23 6 24 5 -1 -15 4 -1 0 41)(3)(41)3()1(2)(33 xxxxNP.5.)2(3Pf5、已知 ix-2 -1 0 1 2)(if4 2 1 3 5求 )(xf的二次拟合曲线 2xp，并求 )(f的近似值。答案：解： iiiy2i3ix4iiyxi20 -2 4 4 -8 16 -8 161 -1 2 1 -1 1 -2 22 0 1 0 0 0 0 03 1 3 1 1 1 3 34 2 5 4 8 16 10 200 15 10 0 34 3 41正规方程组为 4131520a,7
15、22214037)(xxpxp10)(2 3)(2f6、已知 sin区间0.4，0.8的函数表ix0.4 0.5 0.6 0.7 0.8iy0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求 63891.0sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解： 应选三个节点，使误差 |)(|!3|)(|2xMxR.尽量小，即应使 |)(|3x尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点7.0,65.最好，实际计算结果 596274.0381.sin，且 410532. )7.063891.)(096381.)(5689(!7.si
16、 7、构造求解方程 xe的根的迭代格式 ,2),(1nxn，讨论其收敛性，并将根求出来， 41|n。答案：解：令 0)(,02)(,0e)( effxf .且 )(xf ，对 ，故 x在(0,1)内有唯一实根.将方程0变形为 )e2(10xx则当 )1,(x时 )e2(10)xx，10e|)(| x故迭代格式 )e(1nxn收敛。取 5.0x，计算结果列表如下：n 0 1 2 3x0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n 4 5 6 7x0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008.且满足
17、 66710950.| x.所以 08529.*x.8利用矩阵的 LU分解法解方程组 312431x。答案：解： 245312LUA令 by得 T)7,04(， yxU得 T)3,1(.9对方程组 84102532xx（1） 试建立一种收敛的 Seidel迭代公式，说明理由；（2） 取初值 T),()0，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求3)1(| kx。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 150238413xx故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 )1523(1084)(10)()1)(3 (3)(2 ()(2)( kkk kkkxx取 T)0,()x,经 7步迭代可得： T
18、)01.,32695.,49.()*x.10、已知下列实验数据xi 1.36 1.95 2.16f(xi) 16.844 17.378 18.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。.解：当 0x1时， )(xfex，则 e)(f，且 xd10有一位整数.要求近似值有 5位有效数字，只须误差 4)(12fRn.由 )(12()3(1fnabfRn，只要 42)(1 10eenRxn即可，解得 3087.61e2n所以 68n，因此至少需将 0,1 68 等份。11、用列主元素消元法求解方程组 12412345x。解： 122345r 5821079345579130825213213
19、rr 13507924132r回代得 ,6,2xx。12、取节点 ,5.0,10x,求函数 xfe)(在区间0,1上的二次插值多项式)(2P,并估计误差。.解： )15.0(.)10(5.)( 5.002 xexexP )5.0(2)1(4)1(5.02.5.0xexex又 |ma,)(,)( ,3 fMexfexf x故截断误差 |)(5.0|!)(| 22xPRx。15、用牛顿(切线)法求 3的近似值。取 x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。解： 3是 0)(2xf的正根， f2)(，牛顿迭代公式为nn1， 即 ),210(31nxxn取 x0=1.7, 列表如下：1 2 3n1.73
20、235 1.73205 1.7320516、已知 f (-1)=2， f (1)=3， f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式 )(2xL及 f (1，5)的近似值，取五位小数。解： )1(24)1(3)21(2)( xxxxL )(330467.2)5.().(Lf18、用 Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 413321x= 85，取 x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel 迭代格式为：. )8(4113)5(1)(2)( (3)1)(2()( kkk kkxxxx系数矩阵 4130严格对角占优，故 Gauss-Seidel迭代收敛.
21、取 x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:k)(1kx)(2kx)(3kx1 1.667 0.889 -2.1952 2.398 0.867 -2.3833 2.461 0.359 -2.52620、 （8 分）用最小二乘法求形如 2bxay的经验公式拟合以下数据：ix19 25 30 38iy19.0 32.3 49.0 73.3解： ,12xspan223859TA3.7049.321Ty解方程组 yACTT其中 96014.86AT解得： 052.7所以 257.a， 0512.b 22、 （15 分）方程 3x在 1附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31x对应迭代格式 3
22、1nn；(2) x对应迭代格式 nnx11；（3）对应迭代格式 x。判断迭代格式在 5.0的收敛性，选一种收敛格式计算5.附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1）32()）x， 18.5.1）（，故收敛；（2） x12(， 7.0.）（ ，故收敛；.（3） 23)(x， 15.3.12）（，故发散。选择（1）： 5.0， 7， 309.x， 3259.1x， 3249.14x，46， 4.23、 （8 分）已知方程组 fAX，其中413A， 2430f（1） 列出 Jacobi迭代法和 Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） 求出 Jacobi迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi 迭
23、代法：,3210)4()3(1()(3(1)(2(2)(kxxkkkGauss-Seidel迭代法：,3210)4()(1()(3(3)1(2(2)(kxxkkk4)(1ULDBJ， 79056.)41(85)(或JB31、(12 分)以 100,121,144为插值节点，用插值法计算 的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783 -0.00009411361510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275552583xf0163.2
24、9615083645!2fR.33、(10 分)用 Gauss列主元消去法解方程组：276234534211xx3.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 3.6667 0.3333 12.66670.0000 5.3333 -2.3333 4.33333.0000 1.0000 5.0000 34.00000.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.6875Tx0.5,.3,0.234、(8 分)求方程组 12513x的最小二乘解。bAxTT，208463， 0.23若用 Householder变换，则： 52073.
25、36.101725., 8.442.3.1最小二乘解： (-1.33333，2.00000) T.37、（15 分）已知方程组 Axb，其中12，123b，（1）写出该方程组的 Jacobi迭代法和 Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；解：（1）Jacobi 迭代法的分量形式.123213 012()()()()()();,kkxxGauss-Seidel迭代法的分量形式1231213 02()()()()()();,kkxx（2）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为102()BDLU， 123， 1(B，Jacobi 迭代法收敛 Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为1023()GL， 1230,， 1()B，Gauss-Seidel 迭代法发散 40、(10 分)已知下列函数表：x0 1 2 3()f1 3 9 27(1)写出相应的三次 Lagrange插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次 Newton插值多项式，并计算 15(.)f的近似值。解：（1） 3230230301201123()()()()()()()()xxxxxL348（2）均差表：12937682433 12()()()Nxxx3155)f
