1、第 3 课时 充分条件和必要条件(2)教学过程一、 问题情境对于“ 命题 p 是 q 成立的充要条件”和“命题 p 成立的充要条件是 q”,充分性、必要性分别指的是什么?二、 数学建构1.充要条件如果既有 pq,又有 qp,就记作 pq.我们就说, p 和 q 互为充要条件.(1) 符号“ ”叫做等价符号,“pq”表示“pq 且 pq”,也表示“p 等价于 q”; (2) “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当” 表示“充分” ,“仅当”表示“ 必要”.2.充要条件的判断方法四种“ 命题 ”反映了命题的条件与结论之间的因果关系,所以在判断时应注意 :(1) 确定条件是什么,结论
2、是什么;(2) 尝试从条件推出结论,从结论推出条件(方法有直接证法或间接证法 );(3) 确定条件是结论的什么条件;(4) 充要性包含:充分性 pq,必要性 qp,这两个方面, 缺一不可.三、 数学运用【例 1】 若 M 是 N 的充分不必要条件,N 是 P 的充要条件,Q 是 P 的必要不充分条件,则 M 是 Q 的什么条件? (见学生用书 P5)处理建议 引导学生用推导符号先表示出它们的关系.规范板书 解 由题意可知 MNPQ,显然 M 是 Q 的充分不必要条件.题后反思 命题的充分必要性具有传递性.【例 2】 若不等式|x-a|0,所以方程 x2+px+q=0 有两个不相等的实根 ,设其
3、为 x1,x2.因为 x1x2=q0,所以方程 x2+px+q=0 有两个异号实根.必要性:因为方程 x2+px+q=0 有两个异号实根 ,设其为 x1,x2,所以 x1x20.因为 x1x2=q,所以 q0.由,原命题得证.题后反思 证明充要条件,实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明:(1)原命题和否命题都成立;( 2)逆否命题和逆命题都成立 ;(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想,就能使思路更广阔,方法更灵活,复杂问题简单化.*【例 4】 求证:对于任意的 x,yR,“xy=0”是“ x2+y2=0”的必要不充分条件 .处理建议 要证明必要不充分条件,就是要证明两
4、个方面,一个是必要条件,另一个是不充分条件.结合上题引导学生证明不充分性.规范板书 证明 必要性:对于任意的 x,yR,如果 x2+y2=0,那么 x=0,y=0,即 xy=0.故“xy=0”是“x 2+y2=0”的必要条件.不充分性:对于任意的 x,yR,如果 xy=0,如 x=0,y=1,此时 x2+y20,故“xy=0”不是“x 2+y2=0”的充分条件.综上,对于任意的 x,yR,“xy=0”是“ x2+y2=0”的必要不充分条件.题后反思 (1) 判断 p 是 q 的什么条件,常用的方法是验证由 p 能否推出 q,由 q 能否推出 p,对于否定性命题,注意利用等价命题来判断.(2)
5、证明充要条件时,既要证明充分性 ,又要证明必要性, 即证明原命题和逆命题都成立,但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立.“A 的充要条件为 B”的命题的证明:A B证明了必要性;B A 证明了充分性. “A 是 B 的充要条件”的命题的证明:A B 证明了充分性;BA 证明了必要性.四、 课堂练习1. “xy0”是“ |x+y|=|x|+|y|”的充要条件.2. “AB=A”是“A=B”的必要不充分条件.3. 已知 p:x+y-2,q:x,y 不都是-1 ,那么 p 是 q 的充分不必要条件.4.求证 :函数 f(x)=ax2+bx+c 是偶函数的充要条件是 b=0.证明 充分性:若 b=0,则 f(x)=ax2+c,所以 f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),故 f(x)为偶函数;必要性:若 f(x)为偶函数 ,则 f(x)=f(-x),即 ax2+bx+c=a(-x)2-bx+c 对任意的 xR 恒成立,所以 b=0.综上,函数 f(x)=ax2+bx+c 是偶函数的充要条件是 b=0.五、 课堂小结1.“充要条件”的判定方法 .2.理解充要条件的含义并解决有关问题.
