1、河南理工大学 20092010 学年第 2 学期高等代数试卷总得分 阅卷人 复查人 考试方式 本试卷考试分数占学 生总评成绩比例闭卷 80%一、填空：（每小题5分，共55分）1实二次型 的规范形由 所唯一确定.12(,)nfx2 满足 时，二次型 是正定二次型.t 22123131232(,)54fxxtxx3复矩阵 的全体特征值的和等于 ，全体特征值的积等于 .()ijnAa4已知 阶矩阵 的特征值为 ，则 的特征值为 ., EA7235复数集合 C 看成复数域 C 上的线性空间，它的维数是 ，复数集合 C 看成实数域 R 上的线性空间，它的维数是 。6已知 是一个正交矩阵，那么 ， .A1
2、A7已知 是数域 中的一个固定的数，而aP2(,),2,niWaxPn 是 的一个子空间，则 ，维( ) .n W8设 ，若 A 的初等因子为：8C233(1),()ii则 A 的若当标准形为 9设 是线性空间 V 的一组基，123,则由基 到基 的过渡矩阵 T ，,231,10设线性空间 的线性变换 为：3P12312(,)(,)xx则 在标准基 下的矩阵为 . 11设 ，1|,0abWR20|,aWbR得分专业班级： 姓名： 学号： 密封线专业班级：姓名：学号： 密封线 专业班级：姓名：学号：密封线则 . = .12W12W二、计算与证明：（共45分）1 （5 分）证明：如果 都是 阶正定
3、矩阵，则 也是正定矩阵.,ABnAB2 （15 分）已知二次型 ，求一个正交变换 , 把二次型2212313132, 48fxxxx XPY化为标准型.13(,)fx3 （10分）设 与 分别是齐次方程组1V2120nxx与 的解空间，证明 .12nx nPV4 （15分）设 是数域 上的2级全体方阵所成的线性空间，定义 的一个线性变换 如下：2P 2P21() XXP（1） 求 在基 下的矩阵；1212,E（2） 求 的值域.得分答案一、填空：（每小题 4 分，共 56 分）1） 的秩和正惯性指数 ; 2） ; 3） ; fp405t12,naaA4）3，-5 ，-11; 5) 1, 2;
4、6) , ; A7) ; 8) ; 9) ; 1,n11iii0110） ; 11） , ； 10100(,)1L()L二、计算与证明：（共44分）1. （5分）证明：令 ()TfXAB则 TTX因为 都是正定矩阵，所以对任意的 ，有 , 00,TTXAB所以 ， 0TTfXAB则二次型 为正定二次型， ()所以 为正定矩阵。 2 （15 分）解 二次型 的矩阵为 f124EA2(7)故 的特征值为 A1237,当 时, 解方程 ，由17()0AEx得基础解系 . 取 121323P当 时，解方程 ，由23(2)0AEx得基础解系 2310，将 正交化得12,2325410，再将 单位化得 2
5、3,232114550pp，于是正交矩阵为13524035T则正交变换为 1 12 23 3251405xy则有 22137fyy3. 证： 的解空间是 维，基为120nxx 1n1(,0,)， 2(,0,) 1(,)的解空间的基为 1nxx ,因为由 构成的矩阵 A 满足 121,n 110()01n所以 为 的基，故 121,n nP2nV又因为 12dimidimV所以 12nP4. 解 1) 11121200(,),EAE类似有121220(,),1EE211220(,),21212(,),0EE设 在基 下的矩阵为 B，则1212,101.B2) 令 其中 为 的列向量，由于秩 B=2， 1234(,)i且 为 的一个极大线性无关组 12,dim2.V则12(,)VLB其中 11221212120(,),.EB，且 为值域 的一组基. 12,V
