1、第一章 多项式1.1 一元多项式的定义和运算1设 ),(xfg和 )(xh是实数域上的多项式证明：若是(6) 222，那么 .0)()(f2求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式 )(,xgf和 .h3证明： !).(1)( !)1).(2nxnxxnn1.2 多项式的整除性1求 )(xf被 g除所得的商式和余式：( i ) ;13)(,1423xgx(ii) 25 f2证明： k)(|必要且只要 ).(|f3令 xgxf2121,都是数域 F 上的多项式，其中 01xf且.| 1fg证明： .|2fxg4实数 qpm,满足什么条件时多项式 12m能够整除多项式 .4qp5设 F 是一个数
2、域， .a证明： ax整除 .n6考虑有理数域上多项式 ,12121nknknk xxf 这里 k和 n都是非负整数证明： .| 1nk1 xfk7证明： 1dx整除 n必要且只要 d整除1.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：( i ) ;32103,4324 xxgxxf(ii) .1)2(,)()()(2 ixigiiii 2. 设 .,11dfdf 证明：若 ,(df且xf和 g不全为零，则 ;)(xg反之，若 )1x则 是与 的一个最大公因式3. 令 f与 x是 F的多项式，而 dcba,是 F中的数，并且0d证明： ).,(),( xgfxgcfxbgaf
3、4 证明：（i） hgf),(是 f和 的最大公因式；（ii） ),(), 212121 gff此处 f,等都是 xF的多项式。5 设 2,4234234 xxxf 都是有理数域Q 上的多项式。求 ,Qvu使得 ).,(gfvgf6 设 ,令 是任意正整数，证明： 由此进一步证明，1),(gfn1n对于任意正整数 ，都有 .m1),(nmf7 设 证明：),(f.1),(),(),( gfgff8 证明：对于任意正整数 n都有 .nn9 证明：若是 与 互素，并且 与 的次数都大于 0，那么)(xf )(xf定理 3.2里的 与 可以如此选取，使得 的次数低于 的次数，uvu)(xg的次数低于
4、 的次数，并且这样的 与 是唯一的。)(xv)(f )(v10 决定 k，使 24)6(2kx与 kx2)的最大公因式是一次的。11 证明：如果 那么对于任意正整数 m，1)(,gf1,mxgf12 设 , 是数域 上的多项式, 与 的最小公倍式指的是)(xfgP)(fxg中满足以下条件的一个多项式 ：xP)(a且 ；)(|mf )(|b如果 且 ，那么 .xPh)(|,|xhgf )(|xhmi证明： 中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。i设 , 都是最高次项系数是 1 的多项式，令 表示 和)(xfg )(,xgf)(f的最高次项系数是 1 的那个最小
5、公倍式,证明)(gxgfxff ,13 设 并且 , 证明：)(|)(1gn 1)(fi 1,2ni.)(|xfgn14 设 证明：)(,)(,21 xPfxfni.1, 12121 nkxffff nkkn 互素的充要条件是存在多项式)(,)(fx使得,)(21 xuun 21 xufuff n15 设 ,令)(,)(Pn .1,1 nixFgxfxgfI in比照定理 1.4.2，证明： 有最大公因式提示：如果)(,)(不全为零，取 是 I 中次数最低的一个多项式，则 就是)(,)(1xffn d )(xd的一个最大公因式1.4 多项式的分解1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的
6、乘积：i;132x .123xxi2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式 14x为不可约因式的乘积.3. 证明： 当且仅当 .)(|2xfg)(|xfg4. i 求 12345f 在 内的典型分解式；Qi求 616105xf 在 内的典型分解式R5.证明：数域 上一个次数大于零的多项式 是 中某一不可约多项式的P)(xfP幂的充分且必要条件是对于任意 ,或者 ,或者存在一个)(xg1)(,xg正整数 m使得 .)(|xgfm6设 是 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意)(pP只要 就有 或 那么 不可),(Fxgf)(|)(f )(|xfp)(|xgp)(p约.1.5 重因式1.
7、 证明下列关于多项式的导数的公式：i;xgfxgf .f2. 设 是 的导数 的 1k重因式.证明：)(pf)(i未必是 的 k重因式；xx是 的 重因式的充分且必要条件是 .)(f )(|xfp3. 证明有理系数多项式 !21nxf没有重因式.4. 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？ba,i;3x.45. 证明：数域 上的一个 n次多项式 能被它的导数整除的充分且必要P)(xf条件是 nbxaf，这里的 是 中的数,1.6 多项式函数 多项式的根 1设 1532)(345xxf ,求 )2(,f.2数环 的一个数 c说是 的一个 k重根,如果 可以被R)(Rf)(xf整除,
8、但不能被 整除.判断 5 是不是多项式kcx)(1(k 507423)35xxxf的根.如果是的话,是几重根?3设 dcbax )()()(2233求 提示:应用综合除法dcba,4将下列多项式 表成 x的多项式.)(f)(i1,5xf; 2,324a.5求一个次数小于 4 的多项式 ,使)(xf2)5(,041,)( ff6求一个 2 次多项式,使它在 处与函数 有相同的值.,2xsin7令 是两个多项式,并且 可以被 12整除.)(xgf )(33gxf证明 .0)1(f8令 c是一个复数,并且是 中一个非零多项式的根,令xQ)(|)(cffJ证明: )(i在 中存在唯一的最高次项系数是
9、1 的多项式 ,使得 中每一多项J )(xpJ式 都可以写成 的形式,这里 )(xq.xf )(xqp)(i在 中不可约 .pQ如果 32c,求上述的 )(x提示:取 )(x是 中次数最低的、最高次项系数是 1 的多项式.J9设 中多项式 且 )(|nxf, 是一个大于 1 的C0)(xf )(|nxf整数.证明: )(xf的根只能是零或单位根.提示:如果 c是 )(xf的根,那么 ,32nc都是 )(xf的根.1.7 复数和实数域上多项式1设 n次多项式 nnaxxaxf 110)( 的根是 n,21 .求)(i以 nca,2 为根的多项式,这里 c是一个数;)(i以 n1,21(假定 n,
10、21 都不等于零)为根的多项式.2设 )xf是一个多项式,用 (xf表示把 )(xf的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明: )(i若是 g )(|f,那么 )(|fg;若是 xd是 和 xf的一个最大公因式,并且 )(xd的最高次项系数是 1,那么 )(是一个实系数多项式).3给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.4在复数和实数域上,分解 2nx为不可约因式的乘积.5证明:数域 F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.1.8 有理数域上多项式1证明以下多项式在有理数域上不可约:)(i108234xx; 6245)(i3;v16x.2利用艾森斯坦判断法,证明:若是
11、 tp,21 是 个不相同的素数而 n是一个大于 1 的整数,那么 ntp21是一个无理数 .3设 )(xf是一个整系数多项式.证明:若是 )0(f和 1f都是奇数,那么)(f不能有整数根.4求以下多项式的有理根:)(i145623xx;74;)(i 3235x.1.9 多元多项式1写出一个数域 F 上三元三次多项式的一般形式.2设 ),(1nxf 是一个 r次齐次多项式. t是任意数.证明),(,1nxftt .3设 ),(1nf 是数域 F 上一个 元齐次多项式,证明: 如果),(),( 11 nnxhxgxf ,则 hg也是 元齐次多项式.4把多项式 yzy33写成两个多项式的乘积.5设
12、 F 是一个数域 . ,1nxFf是 F 上 元多项式 .如果存在,1nxh使得 gh,那么就说 g是 f的一个因式.或者说 g整除 f.)(i证明,每一多项式 f都可以被零次多项式 c和 整除, 0,c.,1nf说是不可约的 ,如果除了 )(i中那两种类型的因式外, f没有其它的因式.证明,在 ,yxF里,多项式 yxy2都不可约.)(i举一反例证明 ,当 2时,类拟于一元多项式的带余除法不成立.v,1ngf说是互素的,如果除了零次多项式外 ,它们没有次数大于零的公共因式.证明 yxF是互素的多项式.能否找到,),(,yxu使得 1),(),(yxvu?1.10 对称多项式 1写出某一数环
13、R 上三元三次对称多项式的一般形式.2令 ,21nx 是数环 上 n元多项式环, S是由一切 n元对称多项式所组成的 , 的子集.证明:存在 ,1nxR 到 的一个双射.提示：利用对称多项式的基本定理，建立 ,1nxR 到 S 的一个双射 3把下列 n元对称多项式表成初等对称多项式的多项式：)(i21x； )(i4x； )(i3214证明：如果一个三次多项式 cbxax2的一个根的平方等于其余两个根的平方和，那么这个多项式的系数满足以下关系： 2324 )()(cabba5设 n,21 是某一数域上多项式nxx1在复数域内的全部根证明： n,2 的每一个对称多项式都可以表成上关于 1的多项式
14、提示：只需证明 的初等对称多项式可以表成上关于 的多项式即可 第二章 行列式2.1 行列式定义1计算下列排列的反序数：)(i523146879； ;1,2,n)(i .,kk2假设 n 个数码的排列 nii,21 的反序数是 k,那么排列 121,iin的反序数是多少？3写出 4 个数码的一切排列2.2 n阶行列式1确定六阶行列式D= 662121612aa 中以下各乘积的符合： .; 4653216514231 aaiaai2写出下列四阶行列式 4411 中一切带有负号且含元素 23的项。3证明： n阶行列式 nnn aaa 3213231 00na214考察下列行列式： nnnaaD 21
15、2112， nninii iii aaD 212121，其中 nii,21 是 , 这 个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？5计算 n阶行列式 axaaxaa 6计算行列式2222 2222 31ddccbb7证明：行列式 2211222111 cbaacb8设在 n阶行列式nnnaaD 212112中， .0., Djiaij 是 奇 数 时 ，证 明 ： 当2.3 子式和代数余式 行列式的依行依列展开1把行列式 010dcba依第三行展开，然后加以计算2计算以下行列式: ;04321310213210;1)2(;0000 ;100010;493625194;201634;21343
16、232 nnnvi aaaaavi nbbav aaaiviiinnn阶提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。3令 .)( 1,1iiiioi axxaxf 计算行列式 )()()()()(1211 02010 nnn nxfxff fff 。2.4 克拉默规则1解以下线性方程组：.23,0)(.432,6,1543215431432xxxixxi2设 121,na 是 个不同的数, 121,nb 是任意 个数,而多项式 nxccxf10)(有以下性质: iibaf)(, ,2n .用线性方程组的理论证明, )(xf的系数nc,10是唯一确定的,并且对 的情形导出拉
17、格朗日插值公式. nnaaavi 100010132 3设 nxccxf10)(.用线性方程组的理论证明,若是 )(xf有1n个不同的根,那么 )(f是零多项式.第三章 线性方程组3.1 消元法1解以下线性方程组： .613,405,2)(;,1)(2131432xxixxi2证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。3设 n阶行列式 nnnaaD 2121120.证明：用行初等变换能把 n行 列矩阵 nnnaa 212112化为101 列 矩 阵行 n。4证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把列 矩 阵行 nnnnaa 212112化为
18、D001001 列 矩 阵行 3.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法1对第一和第二种行初等变换证明定理 4.2.12利用初等变换求下列矩阵的秩： ;.65124021654139073证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 14证明：含有 n个未知量 个方程的线性方程组 1,11, 111,nnnnbxaxa 有解的必要条件是行列式 .01,1, 11nnnba 这个条件不是充分的，试举一反例5 方 程 组取 怎 样 的 数 值 时 ， 线 性 ,123,413241xx有解？6 取怎样的数值时，线性方程组2321321,x有唯一解，没有解，有无穷多解？3.3 线性方程组的公
19、式解1考虑线性方程组：,242131,2411bxa这里 3.121 秩 是， 并 且 它 的 系 数 矩 阵 的证 明 ： 这 个 方 程 组 有 解ba 2 组 ：用 公 式 解 法 解 线 性 方 程 .52,1431xx3设线性方程组：（9） ,21 222 1121mnmnbxaxa 有解，并且添加一个方程： ,21n于方程组（9）所得的方程组与（9）同解证明：添加的方程是（9）中 m个方程的结果4设齐次线性方程组 0,2122121nnnxaxa 的系数行列式 0D，而 中某一元素 ij的代数余子式 ijA证明：这个方程组的解都可以写成iniilkAk,2的形式,此处 k 是任意数
20、.5设行列式 0212112nnnaa 令 ijA是元素 ija的代数余子式.证明:矩阵 nnnA 212121的秩 1第四章 矩 阵4.1 矩阵的运算1计算 42196342； 41250302；nba 2121,； nnbba,212； 13021302证明，两个矩阵 A 与 B 的乘积 AB 的第 i 行等于 A 的第 i 行右乘以 B，第 j 列等于 B 的第 j 列左乘以 A3可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：(i) 设 B=( ijb)是一个 np 矩阵令 j=njj bb,2,1是 B 的第 j 列，j=1,2,p又设 x,21是任意一个 p1 矩阵证明：B =pxx21(
21、ii)设 A 是一个 mn 矩阵利用(i) 及习题 2 的结果，证明：A(B)=(AB) (iii)设 C 是一个 pxq 矩阵利用(ii)，证明：A(BC)=(AB)C4设A= 01证明：当且仅当B= abcd0时，AB=BA 。5令 ijE是第 i 行第 j 列的元素是 1 而其余元素都是零的 n 阶矩阵求 ijEkl6求满足以下条件的所有 n 阶矩阵 A(i) Aijiji,j=1,2,n,(ii)AB=BA这里 B 是任意 n 阶矩阵。7举例证明，当 AB=AC 时，未必 B=C8证明，对任意 n 阶矩阵 A 和 B，都有 AB-BA I 提示，考虑 AB-BA的主对角线上的元素的和9
22、令 A 是任意 n 阶矩阵，而 I 是 n 阶单位矩阵，证明：( I)( 12m )= AI10.对任意 n 阶矩阵 A，必有 n 阶矩阵 B 和 C，使 A=B+C，并且CB,4.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式1设对 5 阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的 3 倍加到第三行，把第二列的 3 倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？2证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵3求下列矩阵的逆矩阵： .32sinco,1;siinco;352412 w4设 A 是一个 n 阶矩阵，并且存在一个正整数 m 使得 OA(i) 证明 I可逆，并且 11)(AII(ii)求矩阵 1
23、002314的逆矩阵。5设 .1,bcadcA证明， A总可以表成 )(12kT和 )(21型初等矩阵的乘积6令 是 n 阶矩阵 的伴随矩阵，证明 .)(dett1nA(区别 detA0 和 detA=0 两种情形)7设 A 和 B 都是 n 阶矩阵证明，若 AB 可逆,则 A 和 B 都可逆8设 A 和 B 都是 n 阶矩阵证明，若 AB=I,则 A 和 B 互为逆矩阵9证明，一个 n 阶矩阵 A 的秩1 必要且只要 A 可以表为一个 n1 矩阵和一个 1n 矩阵的乘积10.证明：一个秩为 r 的矩阵总可以表为 r 个秩为 1 的矩阵的和11设 A 是一个 nn 矩阵， ),(,),(221
24、 nnxb 都是 n1矩阵用记号 )( i表示以 代替 A 的第 i 列后所得到的 矩阵(i)线形方程组 可以改写成 ,)()(iIi I 是n 阶单位矩阵(ii)当 detA0 时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则4.3 矩阵的分块1求矩阵 32143902的逆矩阵2设 A，B 都是 n 阶矩阵，I 是 n 阶单位矩阵，证明 .BAOIIOA3设 srsrIKTIKS,都是 n=r+s 阶矩阵，而 4321A是一个 n 阶矩阵，并且与 S,T 有相同的分法求 SA,AS,TA 和 AT.有此能得出什么规律？4证明，2n 阶矩阵1AO总可以写成几个形如 IQIP,的矩阵的乘积5
25、设 sAOA 21是一个对角线分块矩阵证明: )(det)(tdett21s6证明，n 阶矩阵 BCOA的行列式等于(detA)(detB)7设 A,B,C,D 都是 n 阶矩阵，其中 detA0 并且 AC=CA，证明).det(det BADC第五章 二次型5.1 习题1证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同2对下列每一矩阵 A，分别求一可逆矩阵 P，使 A是对角形式：(i);31A(ii);01A(iii).1142A3写出二次型 31|ijjix的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项4令 A 是数域 F 上一个 n 阶斜对称矩阵，即满足条件 A(i
26、)A 必与如下形式的一个矩阵合同： 001001(ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数(iii) F 上两个 n 阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩5.2 复数域和实数域上的二次型1设 S 是复数域上一个 n 阶对称矩阵证明，存在复数域上一个矩阵 A，使得 AS2证明，任何一个 n 阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一： .12,1;2, vnOIvOIvv 若若3证明，任何一个 n 阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同： .22vnvvnv IOIIOI或4证明，一个实二次型 ),(1nxq 可以分解成两个实系数 n 元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者 q 的秩
27、等于 1，或者 q 的秩等于 2并且符号差等于 05令 .90614,2354BA证明 A 与 B 在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵 P，使得 BA6确定实二次型 nxx214321 的秩和符号差7确定实二次型 cybzay的秩和符号差8证明，实二次型 nij jixi1 )()(的秩和符号差与 无关5.3 正定二次型1判断下列实二次型是不是正定的:)(i 3121232 40xxx; .8521 2 取什么值时,实二次型 2413212321)( xxx是正定的.3设 A 是一个实对称矩阵.如果以 A 为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A 是正定的.证明,对于任意实对称矩阵 A,总存在足够
28、大的实数 t,使得 AI是正定的.4证明, n阶实对称矩阵 )(ija是正定的,必要且只要对于任意,12iik, 阶子式.,21,02122121 nkaakkk kiii iii 5设 )(ijA是一个 n阶正定实对称矩阵.证明 nA21det当且仅当 A 是对角形矩阵时,等号成立.提示:对 n作数学归纳法,利用定理 9.3.2 的证明及习题 4.6设 )(ija是任意 n阶实矩阵.证明j njjj aaA1222 )(det(阿达马不等式).提示:当 0t时,先证明 是正定对称矩阵,再利用习题 5.5.4 主轴问题1对于下列每一矩阵 A,求一个正交矩阵 U,使得 AU具有对角形式:)(ia
29、bA;)(i21;)(i 205A2设 A 是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵 S 使得2SA3设 A 是一个 n阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵 S 和一个正交矩阵 U,使得 US提示: 是正定对称矩阵.于是由习题 2 存在正定矩阵 S,使得 A= 2.再看一下 U 应该怎样取4设 iA是一组两两可交换的 n阶实对称矩阵.证明,存在一个 n阶正交矩阵 U,使得 Ui都是对角形矩阵.第六章 向量空间6.1 定义和例子1令 F 是一个数域，在 F3 里计算（i） 3（2， 0，-1）+（-1，-1，2）+ 21（0，1，-1） ；（ii）5（0，1，-1）-3（1， 3，2）
30、+（1，-3，1） 2证明：如果a（ 2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0） ，那么 a = b = c = 03找出不全为零的三个有理数 a， b， c（即 a， b， c 中至少有一个不是 0） ，使得a (1，2，2) + b（3 ，0，4）+ c (5，-2 ，6) = （0，0，0） 4令 1 = （ 1，0，0） ， 2 = （0，1，0） ， 3 =（0，0，1） 证明，R 3 中每一个向量 可以唯一地表示为 = a1 1 + a2 2 + a3 3形式，这里 a1，a 2，a 3 R5证明，在数域 F 上向量空间 V 里，以下算律成立：（i）a
31、( ) = a - a ；(ii) (a- b) = a - b , 这里 a， b F ， ,V6证明：数域 F 上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量 7证明，对于任意正整数 n 和任意向量 ，都有n= + 8证明，向量空间定义中条件 3，8）不能由其余条件推出9验证本节最后的等式：（ 1， n）(AB) =（ 1， n）A ）B6.2 子空间1判断 R n 中下列子集哪些是子空间：(i) （a 1， 0， ， 0， an）| a1， an R；(ii) （a 1 ， a2 ， ， an ） | i1ai =0；(iii) （a 1 ， a2 ， ， an ）| i
32、1ai =1；(iv) （a 1 ， a2 ， ， an ）| ai Z ，i = 1，n.2M n (F)表示数域 F 上一切 n 阶矩阵所组成的向量空间（参看 6.1，例 2）令S= A Mn (F) |A= A，T= AMn (F) |A= A证明，S 和 T 都是 Mn (F)的子空间，并且 Mn(F) = S + T， S T=03设 W1，W 2 是向量空间 V 的子空间，证明：如果 V 的一个子空间既包含 W1 又包含 W2 ，那么它一定包 W1 +W2 在这个意义下，W 1+W2 是 V 的既含 W1 又含 W2 的最小子空间4设 V 是一个向量空间，且 V0证明：V 不可能表
33、成它的两个真子空间的并集5设 W， W1， W2 都是向量空间 V 的 子空间，其中 W1W2 且 WW1=WW2，W + W1=W + W2 .证明：W 1=W26设 W1， W 2 是数域 F 上向量空间 V 的两个子空间， ,是 V 的两个向量，其中 W2，但 W1，又 W2， 证明：（i） 对于任意 k F, +kW2 ；（ii） 至多有一个 k F，使得 +k W1 7设 W1， W2 ， ， Wr 是向量空间 V 的子空间，且 Wi V，i=1 ，r.证明：存在一个向量 V，使得 Wi， i=1，r提示：对 r 作数学归纳法并且利用第 6 题的结果6.3 向量的线性相关性1.下列向
34、量组是否线性相关:(i)（3，1，4） ， （2，5，-1 ） ， （4，-3 ，7） ；(ii) （2，0，1） ， （0，1，-2 ） ， （1，-1 ，1） ；(iii) （2 ，-1 ， 3，2） ， （-1，2，2，3） ， （3，-1，2，2） ， （2，-1，3，2） 2证明，在一个向量组 r,1 里，如果有两个向量 i与 j成比例，即i=k j， F，那么 2 线性相关3令 i niFanii ,),(21 。证明 n,21 线性相关必要且只要行列式 nnnaa 212112= 04设 imiFaini ,),(21 ，线性无关对每一个 i任意添上 p个数，得到 pnF的 m
35、个向量 i.,1),(121 mibpini 证明 1 ， 2 ， m也线性无关5设 ,线性无关，证明 ,也线性无关6设向量组 r,21 ( )2线性无关，任取 Fkr121, 证明，向量组 rrrrr kkk, 11 线性无关7下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例：(i) 如果当 0,02121 rr aaa 时 ，那么r,21线性无关(ii) 如果 r,21 线性无关，而 1r不能由 r,21 线性表示，那么r,21， 也线性无关(iii) 如果 r 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合(iv) 如果 ,21 线性相关，那么其中每一个向量都
36、是其余向量的线性组合8设向量 可以由 r,21 表示，但不能由 121,r 线性表示证明，向量组 r,21 与向量组 21,r ， 等价9设向量组 ,21 中 0并且每一 i都不能表成它的前 i个向量21,i的线性组合证明 r,21 线性无关10设向量 r,21 线性无关，而 r,21 ， ， 线性相关，证明，或者与 中至少有一个可以由 r,21 线性表示，或者向量组 r,21 ， 与r,21， 等价6.4 基和维数1令 Fn x表示数域 F 上一切次数 n 的多项式连同零多项式所组成的向量空间这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是 F3 x的基：(i)x3+1，x+1 ，x 2+x，x 3
37、+x2+2x+2；(ii)x-1， 1-x2，x 2+2x-2，x 3.2求下列子空间的维数：（i）L ( (2，-3，1)， （ 1，4，2） ， （5，-2，4） )R3(ii) L(x-1，1-x 2，x 2-x) Fx；(iii) L(ex，e 2x，e 3x) C a， b.3把向量组（2，1，-1，3） ， （-1，0，1，2）扩充为 R4 的一个基4令 S 是数域 F 上一切满足条件 A=A 的 n 阶矩阵 A 所成的向量空间，求S 的维数5证明，复数域 C 作为实数域 R 上向量空间，维数是 2如果 C 看成它本身上的向量空间的话，维数是几？6证明定理 6.4.2 的逆定理：如
38、果向量空间 V 的每一个向量都可以唯一地表成 V 中向量 n,1的线性组合，那么 dimV = n.7设 W 是 R n 的一个非零子空间，而对于 W 的每一个向量（a 1， a2， ， an）来说，要么 a1 = a2= = an = 0，要么每一个 ai 都不等于零，证明 dimW = 18设 W 是 n 维向量空间 V 的一个子空间，且 0 dimW n证明：W 在V 中有不只一个余子空间9证明本书最后的论断6.5 坐标1设 1 ， 2 ， n是 V 的一个基求由这个基到 2 ， n ， 1的过渡矩阵2证明， x3，x 3+x，x 2+1，x +1是 F3 x（数域 F 上一切次数 3
39、的多项式及零）的一个基求下列多项式关于这个基的坐标：（i）x 2+2x+3；（ii）x 3； （iii）4；（iv）x 2-x3设 1 =(2，1，-1，1)， 2=（0，3，1， 0） ， 3=（5，3，2，1）4=（ 6，6， 1，3） 证明 1 ， 2 ， 3， 4 作成 R4 的一个基在 R4 中求一个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同4设 1 =(1，2，-1)， 2=（0，-1，3） ， 3=（1，-1，0） ； 1=（ 2，1，5） ， 2=（ -2，3，1） ， 3=（ 1， 3， 2） 证明 1 ， 2 ， 3 和 1 ， 2 ， 3都是 R3 的基求前者到
40、后者的过渡矩阵5设 1 ， 2 ， n是 F 上 n 维向量空间 V 的一个基A 是 F 上一个 ns 矩阵令(1 ， 2 ， s)=( 1 ， 2 ， n)A 证明dimL( 1 ， 2 ， s)=秩 A6.6 向量空间的同构1证明,复数域 C 作为实数域 R 上向量空间,与 V2 同构2设 WVf:是向量空间 V 到 W 的一个同构映射,V 1 是 V 的一个子空间.证明 )(1是 W 的一个子空间3证明:向量空间 xF可以与它的一个真子空间同构6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间1证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关2证明，秩（A+B ） 秩 A+秩 B3设 A
41、 是一个 m 行的矩阵，秩 A=r，从 A 中任取出 s 行，作一个 s 行的矩阵 B证明，秩 Br+s m4设 A 是一个 mn 矩阵，秩 A=r从 A 中任意划去 ms 行与 nt 列，其余元素按原来位置排成一个 s t 矩阵 C，证明，秩 Cr+s+tmn5求齐次线性方程组 x1 + x2 + x3 + x4 + x5=0，3x1 +2x2 + x3 +x4 3x5 =0，5x1 + 4 x2 + 3x3 +3x4x5 =0，x2 + 2x3 + 2x4 + x5 =0的一个基础解系6证明定理 6.7.3 的逆命题：F n 的任意一个子空间都是某一含 n 个未知量的齐次线生方程组的解空间
42、7证明，F n 的任意一个F n 的子空间都是若干 n1 维子空间的交第七章 线性变换7.1 线性映射1令 =（x 1，x 2，x 3）是 R3 的任意向量下列映射 哪些是 R3 到自身的线性映射？（1） ( ) = + ， 是 R3 的一个固定向量（2） () = (2x1x2 + x3 ，x 2 + x3 ，x 3)（3） ( ) =（x 12 ，x 22 ，x 32） （4） ( ) =（cos x1，sinx 2，0） 2设 V 是数域 F 上一个一维向量空间证明 V 到自身的一个映射 是线性映射的充要条件是：对于任意 V，都有 () = a ，这里 a 是 F 中一个定数3令 Mn
43、(F) 表示数域 F 上一切 n 阶矩阵所成的向量空间取定 AMn (F).对任意 XMn (F)，定义 (X) = AXXA(i) 证明： 是 Mn (F)是自身的线性映射。(ii) 证明：对于任意 X， YMn (F)，(XY) = (X)Y+X (Y) 4令 F4 表示数域 F 上四元列空间，取A= 79311825对于 F4，令 () = A 求线性映射 的核和像的维数5设 V 和 W 都是数域 F 上向量空间，且 dimV = n令 是 V 到 W 的一个线性映射我们如此选取 V 的一个基： 1， s， s+1， n，使得1， s，是 Ker( )的一个基证明：（i） ( s+1)， ( n)组成 Im()的一个基；（ii）dim Ker( ) + dim Im
