1、第 6 课时 两条直线的平行与垂直(1)教学过程一、 问题情境问题 1 平面内两条不重合直线的位置关系有几种 ?如何判断这种关系?问题 2 初中学习过平面内两条直线的位置关系 ,学习过两条直线的平行的判定,如同位角相等得到两条直线平行,这种方法是将一个几何问题转化为另外一个几何问题来解决它,我们能否用代数方法(代数量 )来判定两条直线的平行与垂直 (几何量)呢?二、 数学建构(一) 生成概念1. 引导学生探究两直线平行的判定条件问题 3 直线有哪些代数量?直线的倾斜角、斜率、在 x 轴、y 轴上的截距.问题 4 当 l1l2 时,它们的代数量满足什么关系?l1l2,首先想到平行线的判定方法:同
2、位角相等, 内错角相等,同旁内角互补, 三角形中位线平行于第三边.在直线的代数量中, 直线的倾斜角是同位角, 所以得到: 若 l1l2,则它们的倾斜角相等, 如果倾斜角不是直角,根据斜率与倾斜角的关系得到 ,它们的斜率相等;再来考察它们在x 轴、y 轴上的截距,如果倾斜角不是 0也不是直角, 因为 l1, l2 不重合,所以, 它们在 x 轴上的截距不等,在 y 轴上的截距也不等.于是 l1l2 时有如下表格:倾斜角 零 角 锐角或钝角 直 角l1, l2 的图象分类(l 1l2) 垂直于 y 轴不垂直于坐标轴 垂直于 x 轴倾斜角 1 与2 的关系 1=2=0 1=2 1=2=90斜率 k1
3、 与 k2的关系 k1=k2=0 k1=k2斜率都不存在在 x 轴、y轴上的截距的关系纵截距不等 横截距不等,纵截距不等 横截距不等问题 5 如何用代数量判断 l1l2;当它们斜率都存在时,若斜率 k1=k2,且纵截距不等,则倾斜角正切 tan1=tan2,又 01, 2180,所以 1=2,从而 l1l2;当它们斜率都不存在时,它们倾斜角相等 ,若横截距不等,则 l1l2;当它们斜率有一个存在,另一个不存在时 ,因为倾斜角不等 ,即同位角不等,所以 l1, l2 不平行. 12. 两直线平行的判定条件当 l1, l2 斜率都存在时,l 1l2k1=k2 且纵截距不等;当 l1, l2 斜率不
4、存在时,l 1l2横截距不等.(二) 理解概念1. 仅有 k1=k2 能推出 l1l2 吗?平面内有 A, B, C, D 四点, 若 KAB=KCD 能得到 ABCD 吗?不能,还要看两直线是否重合 ,若再加条件“纵截距不等”,即直线不重合,这时才有 l1l2.2. 对于不能确定斜率是否存在时, 就要分类讨论.3. 由此可得:k 1=k2l1l2 或 l1, l2 重合.三、 数学运用【例 1】 已知直线方程 l1: 2x-4y+7=0, l2: x-2y+5=0,证明: l1l2.2证明 设直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,纵截距分别为 b1, b2,直线 l1, l2 方程
5、可分别化为y=x+和 y=x+,因此 所以 l1l2.题后反思 注意一定要交代截距不等.(图 1)【例 2】 (教材 P89 例 1)求证:顺次连结 A(2, -3), B , C(2, 3), D(-4, 4)四点所得的四边形是梯形(如图 1).3 证明 直线 AB 的方程为 = ,即 y=-x-,直线 CD 的方程为 = ,即 y=-x+ ,因此,直线AB 与直线 CD 的斜率相等,纵截距不等,所以 ABCD.直线 BC 的斜率为 kBC= =- ,直线 AD 的斜率为 kAD= =-, kBCkAD,因此 BC 不平行于 AD.综上,四边形 ABCD 为梯形.题后反思 本题也可用向量方法
6、证明: =(3, -), =(6, -1), =(-3, ), =(-6, 7),所以 = ,即 , 平行且同向.又知 和 不平行 ,所以 ABCD 是梯形.【例 3】 (教材 P90 例 2)求过点 A(2, -3),且与直线 2x+y-5=0 平行的直线方程. 4解法一 直线 2x+y-5=0 的斜率为- 2,据题意, 所求直线的方程为 y+3=-2(x-2)即 2x+y-1=0.解法二 据题意,可设所求直线的方程为 2x+y+C=0 (C-5),把 A 的坐标代入方程得 4-3+C=0,解得 C=-1,故所求直线的方程为 2x+y-1=0.变式 求与直线 2x+y-5=0 平行,在两坐标
7、轴上的截距之和为的直线 l 的方程.解法一 直线 2x+y-5=0 的斜率为- 2,故可设所求直线的方程为 y=-2x+m.令 y=0 可得横截距为 ,由题意 +m=,解得 m=1.故所求直线的方程为 y=-2x+1.解法二 据题意可设所求直线 l 的方程为 2x+y+C=0 (C-5).在此方程中分别令 y=0 及x=0 可得横、纵截距分别为- , -C,由题意-C=, 解得 C=-1.故所求直线的方程为 2x+y-1=0.题后反思 这两种解法本质是一样的,都是待定系数法.【例 4】 (1) 两直线 2x-y+k=0 和 4x-2y+1=0 的位置关系是 . (2) 若直线 l1: ax+3
8、y+1=0 与 l2: 2x+(a+1)y+1=0 互相平行, 则 a 的值为 . (3) 若直线 x-2ay=1 和 2x-2ay=1 平行, 则实数 a 的取值为 .5 处理建议 先分析,直线平行的条件是什么?斜率存在吗?不存在怎么办?解 (1) 平行或重合 .(2)因为直线 l1 的斜率存在,所以 l2 的斜率也存在,l 1l2 的条件是解得 a=-3.(3) 当直线 x-2ay=1 的斜率不存在时, 即 a=0 时,两条直线平行;当直线 x-2ay=1 的斜率存在时,即 a0 时 ,两条直线的纵截距相等,都为- ,此时两条直线不平行.综上, a的取值为 0.题后反思 这种带参数的问题往
9、往是学生的难点,要注意对斜率是否存在的讨论,不能仅利用 k1=k2,还要检验两条直线是否重合 .讲解时一定注意条理性.四、 课堂练习1. 分别判断下列直线 AB 与 CD 是否平行:(1) A(2, 1), B(-2, 3); C(-4, 7), D(4, 3).(2) A(1, -2), B(- -1, -2); C(-1, 3), D(3, 3). 解 (1) kAB= =-,直线 AB 方程为 y-3=-(x+2),令 x=0 得直线 AB 的纵截距为 bAB=2; kCD= =-,直线 CD 方程为 y-3=-(x-4),令 x=0 得直线 CD 的纵截距为 bCD=5.所以 kAB=
10、kCD, bABbCD,所以 AB 与CD 平行.(2) kAB=0,直线 AB 的纵截距为-2; kCD=0,直线 CD 的纵截距为 3.所以 kAB=kCD, bABbCD,所以 AB与 CD 平行.2. 直线 mx+y-n=0 和 x+my+1=0 平行的条件是 或 五、 课堂小结1. 如何用直线的斜率、截距判断两直线平行?判定的程序是什么?当 l1, l2 斜率都存在时,l 1l2k1=k2 且纵截距不等;当 l1, l2 斜率不存在时,l 1l2横截距不等.判定程序:(1)分析(讨论) 斜率存在的情况 ;(2)直线斜率不存在的情况 .2. 本节课是如何研究“数” 和“ 形” 的等价性的?从问题正反两个方面去研究:平行 条件,条件 平行.
