1、两条直线的平行与垂直()【学习导航】学习要求 1掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；2理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力【课堂互动】自学评价（1）当两条直线的斜率都存在时，如果它们 互相垂直 ，那么它们的斜率的乘积等于 ，1反之，如果它们的斜率的乘积等于 ，那么它们 互相垂直 .1（2）若两条直线 中的一条斜率不存在，则另一条斜率为 时， .12,l 012l【精典范例】例 1：（1）已知四点 ，求证： (5,3)A0,6)(3,4)(6,)BCDABCD（2）已知直线 的斜率为 ，直线 经过点 ，且 ，求实
2、1l14k2l 2(,)Aa12l数 的值a【证明】 （1）由斜率公式得： ，14)5,0563ABCDk则 ， ABCDk（2） ， ，12l12k即 ，3()40a解得 或 ，3当 或 时， 12l点评:本题是两直线垂直判定的简单应用.例 2：已 知 三 角 形 的 三 个 顶 点 为 ，(2,4)A1,)B(2,3)C求 边 上BC的 高 所 在 的 直 线 方 程 D分析：由 和 垂直,求出 的斜率,利用直线的BC点斜式便可 求出高 所 在 的 直 线 方 程 【解】直线 的斜率为 ，3(2)51BCkAD， ，5AD根据点斜式，得到所求直线的方程为， 即 .34(2)5yx35140
3、xy点评：一般地，与直线 垂直的直线的方程可设为 ，其中CBA 0mAyBx待定m例 3：在路边安装路灯，路宽 23 ，灯杆长 ，且与灯柱成 角，路灯采用锥形灯罩，m2.51202AB4灯罩轴线与灯杆垂直当灯柱高 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确h到 ）0.1m【解】记灯柱顶端为 ，灯罩顶为 ，灯管为 ，灯罩轴线与道路中线交于点 以灯柱BABC底端 为原点，灯柱 为 轴，建立如图所示的直角坐标系Oy点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，B(,)hC(1.5,0) ，直线 的倾斜角为 ，120A 3则点 的坐标为（ ） ，.5cos3,2.sin即（ ） ，.3,AB ，由直线的点斜
4、式方程，得 的方程为CABktan0 CA，(1.25)(1.253)yhx灯罩轴线 过点 ，, ，解得 4.9()m答：灯柱高 约为 h12点评:读懂题意,画出示意图,建立直角坐标系,构造数学模型是关键.追踪训练一1.以 为顶点的三角形是 （ ）(),),(ABC B（ ）锐角三角形 （ ）直角三角形 （ ）钝角三角形C.（2000 京皖春，6）直线（ ）x+y=3 和直线 x+（ ）y =2 的位置关系是 2332（ ）（ ）相交不垂直 （ ）垂直 AB（ ）平行 （ ）重合CD.过原点作直线 的垂线，若垂足为 ，则直线 的方程是 l(2,3)l2310xy.已知两直线 ， ，求证： 07
5、42:1yx:50lxy1l【选修延伸】例 4：（课本第 91 页 习题 第 12 题）直线 和 的方程分别是 和1l2110AxByC，其中 不全为 0， 也不全为 0，试探究：220AxByC1,AB2,AB（1 ）当 时，直线方程中的系数应满足什么关系？1/l（2 ）当 时，直线方程中的系数应满足什么关系？分析：由于 和 的斜率可能不存在，因此分类讨论1l2【解】 （1）当两直线方程中 的系数有一个为 0 时，,xy不妨设 ，则必有 ，此时直线 垂直于 轴，其方程为 ，由 知0B10A1lx10AxC12/l也垂直于 轴，其方程可以为 ，2lx2C此时满足 ；反之也成立121当两直线方程
6、中 的系数均不为 0 时，,xy直线 和 的斜率分别为 ， ，由 得 ，1l21AB212/l12AB即 反之也成立121AB综合可知：当 时， 2/l121A（2 ） 当两直线方程中 的系数有一个为 0 时，,xy不妨设 ，则必有 ，此时直线 垂直于 轴，其方程为 ，由 知，10101lx10AxC12l直线 平行于 轴，故其方程为 ，2l 2BC满足， ；反之也成立12AB当两直线方程中 的系数均不为 0 时，,xy直线 和 的斜率分别为 ， ，1l21A2B由 知， ， 反之也成立12l12()B120综合可知：当 时， 12l12A点评：斜率是否存在的讨论是本题的难点所在另外，分类讨论
7、的数学思想也得到了充分的体现思维点拔：1求直线方程时，与 或 平行的直线可分别设为 或ykxb0AByC1ykxb（其中 为待定系数） ；与 或 垂直的直线可10AxByC1, kxb0ABC分别设为 或 （其中 为待定系数） xk1xy1,2在解有关两直线平行或垂直问题时,应注意它们的斜率是否存在,否则需分类讨论.追踪训练二1若直线 与 互相垂直，则实数03)1()2(yaxa 02)3()(yax的值为 或2由四条直线： ， ， ， 围成的21x4110xy四边形是 ( )D等腰梯形 梯形 长方形 正方形()A()B()C()3过点 的所有直线中，距离原点最远的直线方程是 2,1 250xy4分别经过点 A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相平行，当它们之间的距离达到最大时，求这两条直线的方程答案:经过 的直线分别是 及 ,AB10xy210xy学生质疑教师释疑
