1、习题课 立体几何中的向量方法一、基础过关1.如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BC 綊 AD，BE 綊 FA，G 、H 分别为12 12FA、FD 的中点(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C、D 、F、E 四点是否共面？为什么？(3)设 ABBE，证明：平面 ADE平面 CDE.2.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，BAD90 ， ADBC，ABBCa，AD2a，且 PA底面 ABCD，PD 与底面成 30角(1)若 AEPD，E 为垂足，求证：BEPD ；(2)求异面直线 AE
2、与 CD 所成角的余弦值二、能力提升3如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，ACAD，AB BC，BAC45 ，PAAD2， AC1.(1)证明 PCAD；(2)求二面角 APCD 的正弦值；(3)设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30，求 AE 的长4.如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，ABC ， OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点4(1)证明直线 MN平面 OCD；(2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小5.等边ABC 中，D，E 分别是 AC，AB 的中点，沿 D
3、E 将ADE 折起，使平面 ADE平面 BCDE(如图所示)(1)求证：平面 ABC平面 ABE；(2)求直线 AC 与平面 ABE 所成角的正弦值6.如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P 为侧棱 SD 上的点2(1)求证：ACSD ；(2)若 SD平面 PAC，求二面角 PACD 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE 平面 PAC.若存 在，求 SEEC 的值；若不存在，试说明理由答案1解 由题设知，FA、AB 、AD 两两互相垂直以 A 为坐标原点，以射线 AB 为 x 轴正方向，以射线 AD 为 y 轴正方向，
4、以射线 AF 为 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系(1)证明 设 ABa，BCb，BE c，则由题设得 A(0,0,0)，B(a,0,0)，C (a，b,0)，D (0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0， b，c) 所以 (0 ， b,0)， (0 ，b,0)，于是 .GH BC GH BC 又点 G 不在直线 BC 上，所以四边形 BCHG 是平行四边形(2)解 C、D、 F、E 四点共面理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以 (a,0，c)， (a,0，c)， .EF CH EF CH 又 CEF，HFD，故 C、D 、F、E 四点共面(3)证明 由
5、ABBE，得 c a，所以 (a,0，a)， (a,0，a)CH AE 又 (0,2 b,0)，因此 0， 0，AD CH AE CH AD 即 CHAE ，CHAD.又 ADAEA，所以 CH平面 ADE.由 CH平面 CDE，得平面 ADE平面 CDE.2(1)证明 PA底面 ABCD，PAAB.又ABAD ，AB平面 PAD.ABPD.又AEPD ，PD平面 ABE.故 BEPD.(2)解 如图所示，以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线为 坐标轴，建立空间直角坐标系，则点 C、D 的坐标分别为 (a，a,0)、(0,2a,0) PA底面 ABCD，PDA 是 PD 与底面 ABCD
6、 所成的角，PDA30.于是，在 Rt AED 中，由 AD2a，得 AEa.过 E 作 EFAD，垂足为 F，在 RtAFE 中，由 AEa，EAF60，得 AF a，EF a.12 32E .(0，12a，32a)于是 ， ( a，a,0)AE (0，12a，32a) CD 设异面直线 AE 与 CD 所成的角为 ，则 cos .|AE CD |AE |CD |12a2a 2a 24AE 与 CD 所成角的余弦值为 .243方法一 (1)证明 如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，依题 意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0) ，B ，P(0,0,2) ( 12，12，
7、0)易得 (0,1，2)， (2,0,0)，PC AD 于是 0 ，所以 PCAD.PC AD (2)解 (0,1，2)，PC (2，1,0)CD 设平面 PCD 的法向量 n(x ， y，z) ，则Error!即Error!不妨令 z1，可得 n(1,2,1)可取平面 PAC 的法向量 m(1,0,0)于是 cosm，n ，mn|m|n| 16 66从而 sinm，n .306所以二面角 APCD 的正弦值为 .306(3)解 设点 E 的坐标为(0,0， h)，其中 h0,2由此得 .BE (12， 12，h)由 (2，1,0)，故CD cos ， BE CD BE CD |BE |CD
8、| ，3212 h25 310 20h2所以 cos 30 ，310 20h2 32解得 h ，即 AE .1010 1010方法二(1)证明 由 PA平面 ABCD，可得 PAAD.又由 ADAC，PA ACA，故 AD平面 PAC，又 PC平面 PAC，所以 PCAD .(2)解 如图，作 AHPC 于点 H，连接 DH.由 PCAD，PCAH，可得 PC平面 ADH，因此 DHPC，从而AHD 为二面角 APCD 的平面角在 Rt PAC 中，PA2，AC 1，由此得 AH .25由(1)知 ADAH.故在 RtDAH 中，DH .AD2 AH22305因此 sinAHD ，ADDH 3
9、06所以二面角 APCD 的正弦值为 .306(3)解 如图，因为ADC45，故过点 B 作 CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为 F，连接 BE，EF.故EBF 或其补角为异面直线 BE 与 CD 所成的角由于 BFCD，故AFBADC.在 Rt DAC 中， CD ，sinADC ，515故 sinAFB .15在AFB 中，由 ，BFsin FAB ABsin AFBAB ，sinFABsin 135 ，可得 BF .12 22 52由余弦定理，BF 2AB 2AF 22AB AFcosFAB，可得 AF .12设 AEh.在 Rt EAF 中，EF .AE2 AF2h2 14在
10、Rt BAE 中，BE .AE2 AB2h2 12在EBF 中，因为 EFBE，从而EBF30.由余弦定理得cos 30 ，解得 h .BE2 BF2 EF22BEBF 1010所以 AE .10104(1)证明 作 APCD 于点 P，连接 OP.如图，分别以 AB、AP 、AO 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系A(0,0,0)，B (1,0,0)，P ，D ，O(0,0,2) ，(0，22，0) ( 22，22，0)M(0,0,1)，N .(1 24，24，0) ， ，MN (1 24，24， 1) OP (0，22， 2) .OD ( 22，22， 2)设平面 OCD 的法向
11、量为 n(x，y，z)，则 n 0，n 0.OP OD 即Error!取 z ，得 n(0,4， )2 2 n (0,4， )0，MN (1 24，24， 1) 2MN平面 OCD.(2)解 设 AB 与 MD 所成的角为 . (1,0,0)， ，AB MD ( 22，22， 1)cos ， .|AB MD |AB |MD | 12 3AB 与 MD 所成角的大小为 .35(1)证明 取 DE 的中点 O，取 BC 的中点 G，连接 AO，OG ，则 AODE ，OGDE .平面 ADE平面 BCDE，平面 ADE平面 BCDEDE，AO平面 BCDE，AO OG.建立如图所示的空间直角坐标系
12、，设 BC4，则 DE2，AO OG .3所以 A(0,0， )，D (1,0,0)，E(1,0,0) ，B(2， ，0)，3 3C(2， ，0)3设平面 ABE 的法向量为 m (x1，y 1，z 1)， (1,0 ， )， (1 ， ，0)，EA 3 EB 3由Error!，得Error!令 y11，得 m( ，1，1) ，3设平面 ABC 的法向量为 n (x2，y 2，z 2)， (4,0,0)， (2 ， ， )，BC AC 3 3由Error! 得Error!令 y21，得 n(0,1,1)，mn( ，1 ，1)(0,1,1)0，3平面 ABC平面 ABE.(2)解 由(1)得 c
13、os ，mAC AC m|AC |m| .23 3 34 3 3 3 1 1 265直线 AC 与平面 ABE 所成角的正弦值为 .2656(1)证明 连接 BD，设 AC 交 BD 于点 O，由题意知 SO平面ABCD，以 O 点为坐标原点， 、 、 的方向分别为 x 轴、yOB OC OS 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz 如图所示设底面边长为 a，则高 SO a.62于是 S(0,0， a)，D ，62 ( 22a，0，0)C ，B ，(0，22a，0) ( 22a，0，0) ， ，OC (0，22a，0) SD ( 22a，0， 62a) 0.OC SD 故 OCSD，
14、因此 ACSD.(2)解 由题意知，平面 PAC 的一个法向量为 ，平面 DAC 的一个法向量为DS ( 22a，0，62a) ，OS (0，0，62a)设所求二面角为 ，则 cos ，OS DS |OS |DS | 32故所求二面角 PACD 的大小为 30.(3)解 在棱 SC 上存在一点 E 使 BE平面 PAC.由(2)知 是平面 PAC 的一个法向量，DS 且 ， ，DS ( 22a，0，62a) CS (0， 22a，62a) ，设 t ，BC ( 22a，22a，0) CE CS 则 tBE BC CE BC CS .由 0，得 t ，( 22a，22a1 t，62at) BE DS 13即当 SEEC21 时， .BE DS 而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE平面 PAC.
