1、北京航空航天大学附中 2012 届高三数学二轮复习专题训练：点、直线、平面之间的位置关系I 卷一、选择题1已知平面外一点 P 和平面内不共线三点 A、 B、 C， A、 B、 C分别在 PA、 PB、 PC 上，若延长 A B、 B C、 A C与平面分别交于 D、 E、 F 三点，则 D、 E、 F 三点( )A成钝角三角形 B成锐角三角形C成直角三角形 D在一条直线上【答案】D2直三棱柱 1中，若 90， 1，则异面直线 1BA与1A所成的角等于（ ）A30 B45 C60 D90【答案】C3设有直线 m、n 和平面 、 ，下列四个命题中，正确的是 ( ）A若 m ，n ，则 mnB若 ，
2、 ，m ，n ，则 C若 ， m，则 D 若 ， ， ，则 m【答案】D4关于直线 a、 b、 l 及平面 、 ，下列命题中正确的是（ ）A若 a ， b ，则 a b B若 a ， b a，则 bC若 a， b ，且 l a， l b，则 l D若 a ， a ，则 【答案】D5已知直线 l平面 ，直线 m平面 ，有下面四个命题： l m； l m； l m ； l m ，其中正确的命题是( )A BC D【答案】B6已知 、 是两上不同的平面，m，n 是两条不同的直线，给出下列命题：若 ,则 ；若 /n，则 /如果 ,是异面直线，那么 n 与 相交；若 ,/,mnn且 则 /n且 。其中正
3、确的命题是 ( ）A B C D【答案】D7已知 m 是平面 的一条斜线，点 A ， l 为过点 A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( )A l m， l B l m， l C l m， l D l m， l 【答案】C8 设 ,n是平面 内的两条不同直线； 12,l是平面 内的两条相交直线，则 /的一个充分而不必要条件是 ( ）A 1/l且 B 12/l且 nC /n且 D 2/nl且【答案】B9已知正四棱锥 S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点，则 AE、 SD 所成角的余弦值为( )A B13 23C D33 23【答案】C10正方体 ABCD A1B1
4、C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为( )A B23 33C D23 63【答案】D11 若直线 l 不平行于平面 ，且 l ，则( )A 内的所有直线与 l 异面B 内不存在与 l 平行的直线C 内存在唯一的直线与 l 平行D 内的直线与 l 都相交【答案】B12过空间一点的三直线两两垂直，则由它们确定的平面中互相垂直的有 ( ) A 0 对 B 1 对 C 2 对 D 3 对【答案】DII 卷二、填空题13设 m、n,是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，给出下列四个命题，若 m n,m ， ，则 /n；若 或则,；若 /,则 ； 若 则,n.其中正确命题的序号是 (把
5、所有正确命题的序号都写上)【答案】14在图中， G、 H、 M、 N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、 MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)【答案】15已知 m、 n 是两条不重合的直线， ， ， 是三个两两不重合的平面，给出下列命题：若 m ， n ， m ， n ，则 ；若 ， ， m， n ，则 m n；若 m ， ， m n，则 n ；若 n ， n ， m，那么 m n.其中正确命题的序号是_【答案】16已知 、 、 是三个互不重合的平面， l 是一条直线，给出下列四个命题：若 ， l ，则 l ；若 l ， l ，则 ；若 l 上有两个点到 的
6、距离相等，则 l ；若 ， ，则 .其中正确命题的序号是_【答案】三、解答题17已知空间四边形 ABCD的各边及对角线相等，求 AC与平面 BD所成角的余弦值 【答案】过 A作 O平面 BCD于点 ，连接 ,OBD， BC， 是正三角形 的外心，设四面体的边长为 a，则 3a， 90AO， A即为 C与平面 BD所成角， 3cosC，所以， 与平面 所成角的余弦值为 318如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 SD底面 ABCD， E、 F 分别为AB、 SC 的中点(1)证明： EF平面 SAD；(2)设 SD2 CD，求二面角 A EF D 的余弦值【答案】(1
7、)证明：作 FG DC 交 SD 于点 G，则 G 为 SD 的中点连接 AG， FG 綊 CD，12又 CD 綊 AB， E 为 AB 的中点，故 GF 綊 AE，四边形 AEFG 为平行四边形所以 EF AG.又 AG平面 SAD， EF平面 SAD.所以 EF平面 SAD.(2)不妨设 DC2，则 SD4， DG2， ADG 为等腰直角三角形，取 AG 中点 H，连接 DH，则 DH AG， DH EF，DH 2取 EF 中点 M，连接 MH，则 HM 綊 AE， HM EF.连接 DM，则 DM EF.故 DMH 为二面角 A EF D 的平面角tan DMH ，cos DMH ，DH
8、HM 21 2 33二面角 A EF D 的余弦值为 3319如图，已知三棱锥 ABPC 中，APPC， ACBC，M 为 AB 中点，D 为 PB 中点，且PMB 为正三角形。(1）求证：DM平面 APC； (2）求证：平面 ABC平面 APC；(3）若 BC=4，AB=20，求三棱锥 DBCM 的体积【答案】 （1）由已知得， MD是 ABP 的中位线 APMDAPCD面面 ,面(2） PB为正三角形，D 为 PB 的中点 B，又 A, 面 C面BAP又 B, C面 面平面 ABC平面 APC (3）由题意可知， PBMD面， D是三棱锥 DBCM 的高，7103ShVDBCM 20 在长
9、方体 ABCDA1B1C1D1中， AB AD1， AA12， M 是棱 CC1的中点，求异面直线 A1M 和C1D1所成的角的正切值【答案】因为 C1D1 B1A1，所以 MA1B1为异面直线 A1M 与 C1D1所成的角因为 A1B1平面 BCC1B1，所以 A1B1M=90 ，而 A1B1=1， B1M= = ，故 tan MA1B1=B1C21+MC21 2= ，即异面直线 A1M 和 C1D1所成的角的正切值为 B1MA1B1 2 221在四面体 ABCD 中， M、 N 分别是面 ACD、 BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是_【答案】连结 AM 并延长，交 CD
10、于 E，连结 BN 并延长交 CD 于 F，由重心性质可知， E、 F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E，由 MA= NB= 21得 MN AB，因此， MN平面 ABC 且 MN平面 ABD22 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形， AB2， BAD60.(1)求证： BD平面 PAC；(2)若 PA AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；(3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长【答案】(1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC BD.又因为 PA平面 ABCD，所以 PA BD，所以 BD平面 PAC.(2
11、)设 AC BD O.因为 BAD60， PA AB2，所以 BO1， AO CO 3如图，以 O 为坐标原点， OB、 OC 所在直线及点 O 所在且与 PA 平行的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z轴建立空间直角坐标系 O xyz，则 P(0， ，2)， A(0， ，0)， B(1,0,0)，3 3C(0， ，0)3所以(1， ，2)，(0,2 ，0)3 3设 PB 与 AC 所成角为 ，则cos 62223 64(3)由(2)知(1， ，0)3设 P(0， ， t)(t0)，3则(1， ， t)3设平面 PBC 的法向量 m( x， y， z)，则 m0， m0.所以Error!令 y ，则 x3， z ，36t所以 m (3， 3，6t)同理，可求得平面 PDC 的法向量 n ( 3， 3，6t)因为平面 PBC平面 PDC，所以 mn0，即6 0.36t2解得 t 6所以当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时， PA 6
