1、定积分及其应用定积分是积分学中另一个重要概念，是积分学的重要内容，定积分的概念及计算在自然科学和各种实际问题中都有广泛的应用，本章通过两个典型的问题抽象出定积分的概念，然后讨论定积分的性质，揭示定积分与不定积分之间的内在联系，最后简单介绍定积分在几何与力学等方面的应用第一节 定积分的概念与性质一、定积分问题举例我们先从两个例子谈起1曲边梯形的面积设函数 在区间 上非负且连续，由直线 、 、 轴和曲线)(xfy,baaxbx及曲线 所围成的图形称为曲边梯形（图 5-1） ，其中曲线 称为曲)(f )(fy边图 5-1 图 5-2 下面我们讨论曲边梯形面积的求法 我们知道，矩形的高是不变的，它的面
2、积很容易计算而曲边梯形的高没有定义，因此它的面积我们没有现成的计算方法如果我们将 上任一点 处的函数值 看作为曲,bax)(xf边梯形在 处的高，则曲边梯形的高是变化的但因 是 区间上的连续函数，x )(fy,ba所以在一个相当小的区间上， 的值变化不大因此，如果把区间 划分为许多小区)(xf间，在每个小区间上用某一点 处的值 来定义同一个小区间上的窄曲边梯形的高，那f么每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，我们就将所有这些窄矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值（图 5-2） 直观上看，这样的区间越短，这种近似的程度就越高，若把区间 无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有
3、窄矩形面积之和,ba的极限就可定义为曲边梯形的面积，这就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：（1 ）将区间 划分为 个小区间，即在区间 内任意插入 个分点：,n,ba1n，xxan1210这 个小区间分别为n，,1210 nx其长度依次记为11201 , nnxx（2 ）过每个分点作垂直于 轴的直线段，把整个曲边梯形分成 个小曲边梯形，小曲边x梯形的面积记为 ，在每个小区间 上任取一点 ，),2(niA,1ii )(1iiix用以 为底、 为高的窄矩形近似代替第 个小曲边梯形 ，则,1iixif ,2n， 这样得到的 个小矩形面积之和显然是所求曲边梯形面iiif)(),1( n积 的近似
4、值，即Aininnii xfxfxfxf 1211 )()()()( （3 ）记 ，则当 时，每个小区间的长度也趋于零此,ma21n0时和式 的极限便是所求曲边梯形面积的精确值即inixf1)(inixfA10)(lm2变速直线运动的路程设物体作变速直线运动，已知其速度是时间 的连续函数，即 ，计算在时间间隔t )(tv内物体所经过的路程 ,bas因为物体作变速直线运动，速度 随时间 而不断变化，故不能用匀速直线运动公式：)(tvt来计算，然而物体运动的速度函数 是连续变化的，在很小的一段时间内，速vts)(tv度的变化很小，近似于等速，在这一小段时间内，速度可以看作是常数，因此求在时间间隔上
5、运动的距离也可用类似于计算曲边梯形面积的方法来处理,ba具体步骤如下：（）在时间间隔 中任意插入 个分点,ba1n，bttt n120这 个分点将区间 分成 个小区间1n,，,1210nttt它们的长度依次为，11201, nnttttt 相应地，记在各段时间内物体经过的路程依次为 ),2(is（2 ）将物体在每个小区间上的运动看作是匀速的，在时间间隔 上任取一个时刻1it，以 时刻的速度 来代替 上各个时刻的速度，得到 时)(1iitti)(iv,1it ,1it间段上路程 的近似值，即is，),2()nitvsii 那么这 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 的近似值，即n S
6、，inintvtvtvts 121 )()()()( （3 ）记 ，则当 时，每个小区间的长度也趋于零此时,max21ntt0和式 的极限便是所求路程 的精确值即initf1)(s.initv10)(lm上面的两个例子中，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在数量上，都是要求某个整体的量，而计算这种量所遇到的困难和为克服困难采用的方法都是类似的，都是先把整体问题通过“分割” 化为局部问题，在局部上通过“以直代曲” 或“以不变代变”作近似代替，由此得到整体的一个近似值，再通过取极限，便得到所求的量这个方法的过程我们可简单描述为“分割 代替求和取极限
7、”采用这种方法解决问题时，最后都归结为对某一个函数 实施相同结构的数学运算和数)(xf的极限事实上，在自然科学和工程技术中，还有许多类似问题的解决都要归inixf1)(结为计算这种特定和的极限，抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，抽象出其中的数学概念和思想，我们就得到了定积分的定义二、定积分的定义定义 设函数 在区间 上有界，在 中任意插入 个分点)(xf,ba,ba1n，xxn1210把区间 分成 个小区间,ban，,1210nxx各个小区间的长度依次为11201 , nnx在第 个小区间 上任取一点 ，作函数值 与小区间长度i,ii ),(i)(if的乘积 ，
8、并作出和式ix)2()nxfiiinixf1)(（1） 记 ，如果不论对 进行怎样的分法，也不论在小区间,max21nx ,ba上的点 怎样的取法，只要当 时，和（1 ）总趋于确定的极限 ，这时我们,1iii0I称此极限为函数 在区间 上的定积分（简称积分） ，记作 ，即)(xf,ba dxfba )(iniafIdxf 10 )(lm)(（）其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做积分变量， 叫做积分下)(xf dxf)(xa限， 叫做积分上限， 叫做积分区间，和 通常称为 的积分和b,bainif1)()(f如果函数 在区间 上的定积分存在，我们也称 在 上可积)(xf, xf,ba注
9、意 当 的极限存在时，其极限 仅与被积函数 及积分区间 有inif1I)(f,ba关，如果既不改变被积函数 也不改变积分区间 ，不论把积分变量 改成其它任何)(xf ,bax字母，如 或 ，此和的极限都不会改变，即定积分的值不变就是tuduftfdfbababa )()()(这个结果也说成是定积分的值与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关下面我们给出两个函数 在区间 上可积的充分条件)(xf,定理 设 在区间 上连续，则 在区间 上可积)(f,ba)(xf,ba定理 设 在区间 上有界，且只有有限个间断点，则 在区间 上可x )(xf,ba积利用定积分的定义，上面讨论的两个实际问题可
10、分别表示如下：曲边梯形的面积 是函数 在区间 上的定积分，即A)(xf,baaini dxfxf 10)()lm变速直线运动的路程 是速度 在时间间隔 上的定积分，即s(tv,baini dtvx 10)()l三、定积分的几何意义（1 ）当 时，定积分 表示由直线 、 、 轴和曲线0)(xf dxfba )(xbx所围成的曲边梯形的面积；)(fy（2 ）当 时，由直线 、 轴和曲线)(xf bx、所围成 的曲边梯形位于 轴的下方，按照定义，这时定积分 的值应为负，)(xfyx dxfba )(因此 表示上述曲边梯形面积的负值；dba （3 ）若在区间 上， 既取得正值又取得负值时，对应的曲边梯
11、形的某些部分,ba)(xf在 轴的上方，某些部分在 轴的下方，这时定积分 表示由直线 、 、x dxfba )(axb轴和曲线 围成的曲边梯形各部分面积的代数和，即曲边梯形位于 )(xfy轴上方的面积减去位于 轴下方的面积（图 5-3） 图 5-3例 利用定义求定积分 的值1 02dx解 为了便于计算，我们把区间 分成 等分，其分点为 ，,n)1,2(nixi这样每个小区间 的长度 ；取 为小区间的右端点，即令,1iix ),21(iii，于是有和式)2,(nixi， nnn iixxf nnininiii 1261)2(61(3 2321221当 时，有 ，对上式右端取极限，根据定积分的定义
12、，有031216limli1 01202 nxdxnni四、定积分的性质根据定积分的定义， 只有当 时才有意义，当 或 时，baxf )(baba是没有意义的，但为了运算的需要，我们对定积分作以下两点补充规定：dxfba )(（1 ）当 时， ；即 b0)( badxf 0)( adxf（2 ）当 时， b 即当上下限相同时，定积分等于零；上下限互换时，定积分改变符号以下假定各性质所列出的定积分都是存在的性质 两个函数和或差的定积分等于两个函数定积分的和或差，即bababa dxgxfdxgf )()()(证 由定积分的定义，有ni iiiba xfxf10 )(lm)( niiiniii g
13、f1010 )(l)(lbabadxxf 该性质对任意有限个函数的和与差的情形都是成立的性质 被积函数的常数因子可提到积分号外面，即（ 为常数） babadxfkdxf )()(k读者可自己证明性质（积分的可加性） 设 为任意的三个数，则函数 在区间c、 )(xf上的定积分有如下关系： ,bcabccaba dxfxfdxf )()()(证 当 时，因为函数在 上可积，所以无论对 怎样划分，和式的极限ca, ,ba总是不变的，因此在划分区间时，可以使 永远是一个分点，那么 上的积分和等于c,上的积分和加上 上的积分和，即,ca,bc, )()()(bciicaia xfxfxf 令 ，上式两端
14、取极限得0 bccaba dxfxfdxf )()()(同理，当 时，cbaacbc fff )()()(移项得 cacba dxfxdxxdxf )()(即 bcaba fff )()()(性质 如果在区间 上， ，则 ,1xxaa 读者自己证明性质 如果在区间 上， ，则 ,ba0)(xfbadxf 0)(证 因为 ，所以 ，又由于 ，0)(xf ,21nii ),21(nii因此 ，令 ，则1inif,max21nx0)(li)(10 ibafdf推论 如果在区间 上， ，则,xgfdbaba )()(性质 设 及 分别是函数 在区间 上的最大值及最小值，则Mmxf,)()()( bMb
15、ba证 因为 ，由性质 5 的推论，得xf)( bababa dxxfdm )(所以 ()()( xfabmb性质（定积分中值定理） 如果函数 在闭区间 上连续，则在积分区间)(xf,b上至少存在一点 ，使下式成立：,，)()( abfdxfba这个公式也叫做积分中值公式证 因为 在 上连续，所以它有最小值 与最大值 ，由性质 6 有)(xf, mM，)()()( abdxfabmb各项都除以 ，得 )(abxfab )(1这表明， 是介于函数 的最大值与最小值之间的数，根据闭区间上dxfab )(1连续函数的介值定理，在 上至少存在一点 ，使得,，即 dxfabf )(1)( )()( ab
16、fdxfba性质的几何意义是：如果 ，那么以 为曲边，以0为底的曲边梯形的面积等于以 上某一点 的函数值 为高，,a,b)(f以 为底的矩形的面积人们称 b为函数 在区间 上的平均值（图 5-4） 图 5-dxfa )(1)(f,a4第二节 微积分基本定理在第一节中，我们举了一个利用定义来计算定积分的例子，从中可以看出，就是对于比较简单的函数，从定义出发计算定积分也是比较麻烦的，而当被积函数比较复杂时计算更为困难，有时甚至是不可能的因此寻求一种较为简单的计算定积分的方法是非常重要和有意义的定积分与实际问题是紧密相连的，为此我们先从具体实例入手探求定积分计算的思路和方法一、变速直线运动中位置函数
17、与速度函数之间的关系从第一节的引例中我们知道，如果变速直线运动的速度函数 为已知，我们可以利用)(tv定积分来表示它在时间间隔 内所经过的路程，即 ,babads 另一方面，若已知物体运动方程 ，则它在时间间隔 内所经过的路程为)(ts,)(asb由此可见，位置函数 与速度函数 之间有如下关系)(ts)(tv，baasd )(因为 ，即位置函数 是速度函数 的原函数，所以上式表明：速度函数)(tvs )(tstv在区间 上的定积分等于 的原函数 在区间 上的增量)(tv,bav)(s,b撇开上述问题的具体意义，抽象出所得到的定积分与被积函数原函数之间的关系，我们就得到了在数学上普遍适用的定积分
18、的计算方法，这就是我们将要学习的牛顿莱布尼茨公式二、可变上限的定积分设函数 在闭区间 上连续， 为 上的一点，那么 在区间 上可)(xf,bax,ba)(xf,xa积分，且有积分 与之对应，显然这个积分值是随着 而变化的因此 是da dfa )(上限 的函数，我们称之为可变上限的定积分或积分上限的函数，记作 ，即x )(x（ ） dxfxa )()(b积分变量与积分上限用同一字母表示容易造成理解上的误会，因为积分值与积分变量的符号无关，所以我们用 代替积分变量 ，于是，上式可写成txadtf )()(可变上限积分的几何意义是：若函数 在区间 上连续且 ，则积分上限,b0)(xf函数 就是在 上曲线 下的曲边梯形的面积（图 5-5） )(x,xa)(xf可变上限积分具有如下性质：定理 若函数 在区间 上连续，则积分上限的函数 在)(f,baxadtf )()(上具有导数，且它的导数为 ,ba)()()( xfdtfxa证 设给 以增量 （ ） ，则 在 处的函数值为 x,b、 ，tfxa )()(由此得函数 的增量 )(xdtftfxxaxa )()()( dtfdtf xxxa )再应用积分中值定理，有 ，其中 在 与 之间，)(用 除上式两端，得x)(fx由于 在区间 上连续，而 时，即 ，)(xf,ba0x图 5-5
