1、第五章 圆的全章教学案单元要点分析教学内容1本单元数学的主要内容（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系， 圆和圆的位置关系（3）正多边形和圆（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积2本单元在教材中的地位与作用学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线圆的有关性质通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良
2、好的铺垫作用本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程教学目标1知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、 弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念， 探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用； 理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算2过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推
3、理证明等活动 了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中， 让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系， 使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力（5）探索弧长、扇形的面积、 圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义3情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑
4、战性的情景，激发学生求知、探索的欲望教学重点1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其运用2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等及其运用3在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用4半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径及其运用5不在同一直线上的三个点确定一个圆6直线 L 和O 相交 dr及其运用7圆的切线垂直于过切点的半径及其运用8 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题9从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切
5、线的夹角及其运用10两圆的位置关系：d 与 r1 和 r2 之间的关系：外离 dr1+r2；外切 d=r1+r2；相交 r 2-r1ADAD BAC E DOBAOMBACDPO(1) (2) (3)2如图 2，O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ）A4 B6 C7 D83如图 3，在O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径， 则下列结论中不正确的是（ ）AABCD BAOB=4ACD C DPO=PDAB二、填空题1如图 4，AB 为O 直径，E 是 中点，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，则ABCAC=_
6、BAC EDOBACEDOF(4) (5)2P 为O 内一点， OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_；最长弦长为_3如图 5，OE、OF 分别为O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论）三、综合提高题1如图 24-11，AB 为O 的直径，CD 为弦，过 C、D 分别作 CNCD、DM CD，分别交 AB 于 N、M，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由 BAC DON M2如图，O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦 CD长BA CEDO3（开放题）AB 是O 的直径，AC、A
7、D 是O 的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8 ， 求DAC 的度数5.1 圆(第 2 课时)教学内容1圆心角的概念2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等3定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如
8、果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题重难点、关键1重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对弦也相等及其两个推论和它们的应用2难点与关键：探索定理和推导及其应用教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题已知OAB，如图所示，作出绕 O 点旋转 30、45、60的图形 BAO老师点评：绕 O 点旋转， O 点就是固定点，旋转 30，就是旋转角BOB=30二、探索新知如图所示，AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 BAO（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的O 中，分别
9、作相等的圆心角 AOB 和A OB 将圆心角AOB绕圆心 O 旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？BBAAO= ，AB=ABA理由：半径 OA 与 OA重合，且AOB=A OB半径 OB 与 OB重合点 A 与点 A重合，点 B 与点 B重合 与 重合，弦 AB 与弦 AB 重合B = ，AB=AB因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 请同学们现在动手作一作（学生活动）老师点评：如图 1，在O 和O 中， 分别作相等的圆心角AOB和AOB得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与 O重合，固定圆心，将其中
10、的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 OA重合O(O)OOB ABBO(O)OOB AAA(1) (2)你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？我能发现： = ，AB=A /B/AB现在它的证明方法就转化为前面的说明了， 这就是又回到了我们的数学思想上去呢化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弧也相等（学生活动）请同学们现在给予说明一下请三位同学到黑板板书，老师点评三、
11、例题选讲例 1如图，在O 中，AB、CD 是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为 EF（1）如果AOB=COD ，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果 OE=OF，那么 与 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关ABCD系？ 为什么？AOB 与COD 呢？ OBA CE DF例 2如图 3 和图 4，MN 是O 的直径，弦 AB、CD 相交于 MN上的一点P， APM=CPM（1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由（2）若交点 P 在O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由BA CEDPONMFBACED
12、PNMF(3) (4)四、归纳总结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1圆心角概念2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用第二课时作业设计一、选择题1如果两个圆心角相等，那么（ ）A这两个圆心角所对的弦相等 ;B这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 ;D以上说法都不对2在同圆中，圆心角AOB=2COD ，则两条弧 AB 与 CD 关系是（ ）A =2 B C 2ACOBACO BACED(5) (6)二、填空题1交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_2一条弦长恰好为半径长，则此弦所
13、对的弧是半圆的_3如图 6，AB 和 DE 是O 的直径，弦 ACDE，若弦 BE=3，则弦CE=_三、解答题1如图，在O 中，C、D 是直径 AB 上两点，且AC=BD，MC AB，ND AB，M、N 在O 上（1）求证： = ；ABN（2）若 C、D 分别为 OA、OB 中点，则 成立吗？ANB O BA C DNM2如图，以 ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交 BC、AD 于E、F，若 D=50 ，求 的度数和 的度数BEF BACEDF3如图，AOB=90，C、D 是 AB 三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F，求证：AE=BF=CDO BA CE DF
14、5.1 圆(第 3 课时)教学内容1圆周角的概念2圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用OBACEF教学目标1了解圆周角的概念2理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径4熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确
15、性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题重难点、关键1重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题2难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理3关键：探究圆周角的定理的存在教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题1什么叫圆心角？2圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题二、
16、探索新知问题：如图所示的O，我们在射门游戏中，设 E、F 是球门，设球员们只能在所在的O 其它位置射门，如图所示的 A、B、C 点通过观察，我们可以发现像AEFEAF、EBF、ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题1一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？OBA C2同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言老师点评：1一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个2通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的3通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心
17、角的一半下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”（1）设圆周角ABC 的一边 BC 是O 的直径，如图所示AOC 是ABO 的外角AOC=ABO+BAOOA=OBABO=BAOAOC=ABOABC= AOC12（2）如图，圆周角ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的两侧，那么ABC= AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程老师点评：连结 BO 交O 于 D 同理AOD 是ABO 的外角，COD 是BOC 的外角，那么就有AOD=2ABO，DOC=2CBO，因此AOC=2ABC（3）如图，圆周角ABC 的两
18、边 AB、AC 在一条直径 OD的同侧，那么ABC= AOC 吗？请同学们独立完成证明12老师点评：连结 OA、OC，连结 BO 并延长交O 于 D，那么AOD=2ABD，COD=2CBO，而ABC=ABD-CBO= AOD-12COD= AOC12现在，我如果在画一个任意的圆周角ABC，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：OBACDOBA C DOBACDOBACD在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆
19、周角所对的弦是直径下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目三、例题选讲例 1如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？例 2如图，已知ABC 内接于O，A、B、C 的对边分别设为 a，b，c，O半径为 R，求证： = = =2RsinaAbBsincC四、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1圆周角的概念；2圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；3半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径4应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题第三课时
20、作业设计一、选择题1如图 1，A、B、C 三点在O 上，AOC=100，则ABC 等于（ ）A140 B110 C120 D130OBAC2143OBACD(1) (2) (3)2如图 2，1、2、3、4 的大小关系是（ ）A4r；点 P 在圆上 d=r；点 P 在圆内 dr；点 P 在圆上 d=r；点 P 在圆内 dr点 P 在圆上 d=r点 P 在圆内 dr 点 P 在圆外；如果 d=r 点 P 在圆上；如果 dr点 P 在圆上 d=r点 P 在圆内 dr3切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线4切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径5应用以上的内容解答题目教
21、学目标（1）了解直线和圆的位置关系的有关概念（2）理解设O 的半径为 r，直线 L 到圆心 O 的距离为 d，则有：直线 L 和O 相交 dr（3）理解切线的判定定理：理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题复习点和圆的位置关系，引入直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的 d=r直线和圆相切，讲授切线的判定定理和性质定理重难点、关键1重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目2难点与关键： 由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价教学过程一、复习引入（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d， (a)rdPO(b)rd PO(c)rd PO则有：点 P 在圆外 dr，如图（a）所示；点 P 在圆上 d=r，如图（b）所示；点 P 在圆内 dr，如图（c）所示
