1、第十四章 一次函数一次函数与方案设计问题试题精选及解析一次函数是最基本的函数，它与一次方程、一次不等式有着密切联系，在实际生活、生产中有广泛的应用，尤其是利用一次函数的增减性及其有关的知识可以为某些经济活动中 的方案设计和选择做出最佳的决策下面以近几年来全国各地的中考题为例说明一次函数在方案设计中的重大作用 一、 生产方案的设计例 1 （镇江市）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务要求在天之内（含天）生产型和型两种型号的口罩共万只，其中型口罩不得少于 1.8 万只，该厂的生产能力是：若生产型口罩每天能生产 0.6 万只，若生产型口罩每天能生
2、产 0.8 万只，已知生产一只型口罩可获利 0.5元，生产一只型口罩可获利 0.3 元设该厂在这次任务中生产了型口罩 万只问：（）该厂生产型口罩可获利润x_万元，生产型口罩可获利润_万元；（）设该厂这次生产口罩的总利润是 万元，试写出 关于 的函数关系式，并求出yyx自变量 的取值范围；x（）如果你是该厂厂长：在完成任务的前提下，你如何安排生产型和型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产型和型口罩的只数?最短时间是多少？ 分析：（）0.5 ，0.3（5 ） ；xx（） 0.5 0.3（5 ）0.2 1.5，y首先，1.8 ，但由于生产能力的
3、限制，不可能在天之内全部生产型口罩，假设最多用 天生产型，则（ ）天生产型，依题意，得 0.6 0.8（ ）t t tt，解得 ，故 最大值只能是 0.674.2，所以 的取值范围是 1.8（万只）xx4.2（万只） ；x（） 要使 取得最大值，由于 0.2 1.5 是一次函数，且 随 增大而增大， 1 yyyx故当 取最大值 4.2 时， 取最大值 0.24.21.52.32（万元） ，即按排生产型 4.2万只，型 0.8 万只，获得的总利润最大，为 2.32 万元；若要在最短时间完成任务 ，全部生产型所用时间最短，但要求生产型 1.8 万只， 2因此，除了生产型 1.8 万只外，其余的 3
4、.2 万只应全部改为生产型所需最短时间为1.80.63.20.8（天） 二、营销方案的设计例（湖北） 一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份 0.7 元，销售价是每份元，卖不掉的报纸还可以 0.20 元的价格退回报社在一个月内（以 30 天计算） ，有 20 天每天可卖出 100 份，其余 10 天每天只能卖出 60 份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同若以报亭每天从报社订购的份数为自变量 ，每月所获得的利润为函数 xy（）写出 与 之间的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；yx（）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？ 分析：（）由已知，得 应满足
5、 60 100，因此，报亭每月向报社订购报纸 30x份，销售（20 6010）份，可得利润 0.3（20 6010）6 180（元） ；退回xx x报社 10（ 60）份，亏本 0.510（ 60）5 300（元） ，故所获利润为（6 180）（5 300） 480，即 480yxxxyx自变量 的取值范围是 60 100，且 为整数（）因为 是 的一次函数，且 随 增大而增大，故当 取最大值 100 时， 最大y y值为 100480580（元） 三、优惠方案的设计解答下列问题:（）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的倍，求，两市的距离（精确到个位） ；（）如果，两市的
6、距离为 千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损s耗为 300 元小时，那么要使果品公司支付的总 费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？ 分析：（）设，两市的距离为 千米，则三家运输公司包装与装卸及运输的费用x分别是：甲公司为（6 1500）元，乙公司为（8 1000）元，丙公司为（10 700）x x元，依题意，得（8 1000）（10 700）（6 1500） ，x解得 216 217（千米） ；32（）设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为 ， ， （单位：元） ，则三家1y23运输公司包装及运输所需的时间分别为：甲（ ）小时；乙（ ）小时；丙（6
7、0s50s）小时从而10s6 1500（ ）30011 2700，y60ss8 1000（ ）30014 1600，2s510700（ ）300131600，3y1s现在要选择费用最少的公司，关键是比较 ， ， 的大小1y23 ， 总是成立的，也就是说在乙、丙两家公司中只能选择丙公司；在s2y3甲和丙两家中，究竟应选哪一家，关键在于比较 和 的大小，而 与 的大小与1y31y3，两市的距离 的大小有关，要一一进行比较s当 时，11 270013 1600，解得 550，此时表明：当两市距离小于1y3ss550 千米时，选择丙公司较好；当 时， 550，此时表明：当两市距离等于 550 千米时，
8、选择甲或丙公司都一13s样；当 时， 550，此时表明：当两市的距离大于 550 千米时，选择甲公司较好1y3四调运方案的设计例 城有化肥 200 吨，城有化肥 300 吨，现要把化肥运往，两农村，如果从城运往，两地运费分别是 20 元吨与 25 元吨，从城运往，两地运费分别是15 元吨与 22 元吨，现已知地需要 220 吨，地需要 280 吨，如果个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最小? 分析：根据需求，库存在，两城的化肥需全部运出 ，运输的方案决定于从某城运往某地的吨数也就是说如果设从城运往地 吨，则余下的运输方案便就随之确定，x此时所需的运费 （元）也只与 （吨）的
9、值有关因此问题求解的关键在于建立 与 之yx yx间的函数关系解：设从城运往 吨到地，所需总运费为 元，则城余下的（200 ）吨应运y往地，其次，地尚欠的（220 ）吨应从城运往，即从城运往地（220 ）吨，城余下的 300（220 ）15（220 ）22（80 ） ，xxx即 10060，y因为 随 增大而增大，故当 取最小值时， 的值最小而 200，y故当 时， 最小值10060（元） xy因此，运费最小的调运方案是将城的 200 吨全部运往地，城 220 吨运往地，余下的 80 吨运往地练习题：(河北)某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A，
10、B 两种产品，共 50 件已知生产一件 A 种产品需用甲种原料 9 千克、乙种原料 3 千克，可获利润 700 元；生产一件 B 种产品，需用甲种原料 4 千克、乙种原料 10 千克，可获利润1200 元(1)要求安排 A，B 两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来；(2)生产 A，B 两种产品获总利润是 (元)，其中一种的生产件数是 ，试写出 与yxy之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获总 利润最大?最大利x润是多少? 北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地 10 台，上海厂可支援外地 4 台，现在决定给重庆 8 台，汉口 6 台如果从
11、北京运往汉口、重庆的运费分别是 4 百元/台、8 百元/台 ，从上海运往汉口、重庆的运费分别是 3 百元/台、5 百元/台求：(1)若总运费为 8400 元，上海运往汉口应是多少台?(2)若要求总运费不超过 8200 元，共有几种调运方 案?(3)求出总运费最 低的调运方案，最低总运费是多少元? 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有 190 名售货员，计划全商场日营业额(指每日卖出商品所收到的总金额)为 60 万元由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每 1 万元营业额所需售货员人数如表1，每 1 万元营业额所得利润情况如表 2表 1 表 2商
12、品每 1 万元营业额所需人数商品每 1 万元营业额所得利润百货类 5 百货类 03 万元服装类 4 服装类 05 万元家电类 2 家电类 02 万元商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为 (万元)、 (万元)、 (万元)( , , 都是整数)xyzxyz(1) 请用含 的代数式分别表示 和 z；(2) 若商场预计每日的总利润为 (万元)，且 满足 ，问这个商场应CC 19.7怎样分配日营业额给三个经营部?各部应分别安排多少名售货员? 某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待 ”乙旅行社说：
13、 “包括校长在内，全部按全票价的 6 折(即按全票价的 60%收费)优惠 ”若全票价为 240 元(1)设学生数为 ，甲旅行社收费为 甲，乙旅行社收费为 乙，分别计算两家旅行社xyy的收费(建立表达式)；(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；(3)就学生数 讨论哪家旅行社更优惠某童装厂现有甲种布料 38 米，乙种布料 26 米，现计划用这两种布料生产 L、M 两种型号的童装共 50 套，已知做一套 L 型号的童装需用甲种布料 0.5 米，乙种布料 1 米，可获利 45 元；做一套 M 型号的童装需用甲种布料 0.9 米，乙种布料 0.2 米，可获利润 30元设生产 L 型号的童装套数为
14、 ，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为 (元)x y(1)写出 (元)关于 (套)的函数解析式；并求出自变量 的取值范围；y x(2)该厂在生产这 批童装中，当 L 型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?最大利润为多少?下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只装一种蔬菜)甲 乙 丙每辆汽车能装的吨数 2 1 1.5每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4(1)若用 8 辆汽车装运乙、丙两种蔬菜 11 吨到 A 地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆?(2)公司计划用 20 辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜 36 吨到 B 地销售(每种蔬菜不少于一车)，如何安排装运，可使公司获得最大利润?最大利润是多少?4有批货物，若年初出售可获利 2000 元，然后将本利一起存入银行银行利息为10%，若年末出售，可获利 2620 元，但要支付 120 元仓库保管费，问这批货物是年初还是年末出售为好?
