1、第二章 平面向量（ B）(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1已知向量 a(4,2)，b(x,3) ，且 ab，则 x 的值是( )A6 B6 C9 D122下列命题正确的是( )A单位向量都相等B若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线C若|ab|ab| ，则 ab 0D若 a 与 b 都是单位向量，则 ab13设向量 a(m2，m3)，b(2m 1，m2) ，若 a 与 b 的夹角大于 90，则实数m 的取值范围是( )A( ，2) B(， )(2， )43 43C(2， ) D(，2) ( ，)43
2、434平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 (2,4)， (1,3)，则 等于AB AC AD BD ( )A8 B6 C8 D65已知|a| 1， |b|6，a(ba)2，则向量 a 与向量 b 的夹角是( )A B C D6 4 3 26关于平面向量 a，b，c，有下列四个命题：若 ab，a0，则存在 R ，使得 ba；若 ab0，则 a0 或 b 0；存在不全为零的实数 ， 使得 c a b；若 aba c，则 a(bc )其中正确的命题是( )A B C D7已知|a| 5， |b|3，且 ab12，则向量 a 在向量 b 上的射影等于( )A4 B4 C D125 125
3、8设 O，A，M，B 为平面上四点， (1 ) ，且 (1,2)，则( )OM OB OA A点 M 在线段 AB 上B点 B 在线段 AM 上C点 A 在线段 BM 上DO，A，B ，M 四点共线9P 是ABC 内的一点， ( )，则ABC 的面积与ABP 的面积之比为( )AP 13AB AC A B2 C3 D63210在ABC 中， 2 ， 2 ，若 m n ，则 mn 等于( )AR RB CP PR AP AB AC A B C D123 79 8911已知 3a4b5c0，且| a|b| |c|1，则 a(bc)等于( )A B C0 D45 35 3512定义平面向量之间的一种
4、运算“”如下：对任意的 a(m ，n)，b(p，q)，令abmqnp下面说法错误的是 ( )A若 a 与 b 共线，则 ab 0BabbaC对任意的 R，有( a)b(ab)D(ab) 2(a b)2|a| 2|b|2二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13设向量 a(1,2)，b(2,3)，若向量 ab 与向量 c(4，7) 共线，则_14a，b 的夹角为 120，| a|1，|b| 3，则|5ab|_15已知向量 a(6,2)，b( 4， )，直线 l 过点 A(3，1)，且与向量 a2b 垂直，12则直线 l 的方程为_16已知向量 (2,1) ， (1,7)，
5、 (5,1)，设 M 是直线 OP 上任意一点(O 为坐OP OA OB 标原点) ，则 的最小值为 _MA MB 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分) 如图所示，以向量 a， b 为边作AOBD ，又OA OB ， ，用 a，b 表示 、 、 BM 13BC CN 13CD OM ON MN 18(12 分) 已知 a，b 的夹角为 120，且|a|4，| b|2，求：(1)( a2b)(ab) ；(2)|ab| ；(3)|3a4b| 19(12 分) 已知 a( ，1)，b ，且存在实数 k 和 t，使得 xa( t23)3 (12，32)b，ykatb，且 x
6、y，试求 的最小值k t2t20(12 分) 设 (2,5) ， (3,1)， (6,3)在线段 OC 上是否存在点 M，使OA OB OC MAMB？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由21(12 分) 设两个向量 e1、e 2满足|e 1|2，|e 2|1，e 1、e 2的夹角为 60，若向量2te17e 2 与 e1 te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围22(12 分) 已知线段 PQ 过OAB 的重心 G，且 P、Q 分别在 OA、OB 上，设a， b， ma， nbOA OB OP OQ 求证： 31m 1n第二章 平面向量(B) 答案1B ab，432x0，x6
7、2C |a b|2a 2b 22 ab|a b|2 a2b 22a b|a b| |ab|ab03A a 与 b 的夹角大于 90，ab0，(m2)(2m 1)(m3)(m 2)0，即 3m22m80， m2434A (1，1) ，AD BC AC AB (1，1)(2,4) (3，5)，BD AD AB ( 1，1)(3，5) 8AD BD 5C a(ba)a b| a|22，ab3，cosa，b ，ab|a|b| 316 12a，b 36B 由向量共线定理知正确；若 ab0，则 a0 或 b0 或 ab，所以错误；在 a，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数 ， 使得 cab，所
8、以错误；若 abac ，则 a(bc )0，所以 a(bc) ，所以正确，即正确命题序号是7A 向量 a 在向量 b 上的射影为|a|cosa，b| a| 4ab|a|b| ab|b| 1238B (1)OM OB OA ( )OA OB OA ， (1,2) ，AM AB 点 B 在线段 AM 上，故选 B9C 设ABC 边 BC 的中点为 D，则 SABCSABP 2SABDSABP 2ADAP ( ) ，AP 13AB AC 23AD ，| | | |AD 32AP AD 32AP 3SABCSABP10B AP AC CP AC 23CR ( ) AC 2323AB AC 49AB 1
9、3AC 故有 mn 49 13 7911B 由已知得 4b3a5c，将等式两边平方得(4b )2(3a5c) 2，化简得ac 同理由 5c3a4b 两边平方得 ab0，a( bc) abac 35 3512B 若 a(m，n)与 b( p，q)共线，则 mqnp0，依运算“”知 ab0，故A 正确由于 abmqnp，又 banpmq，因此 abba，故 B 不正确对于C，由于 a( m，n)，因此 (a)bmqnp ，又 (ab) (mqnp) mqnp，故C 正确对于 D，(ab) 2( ab)2m 2q22mnpqn 2p2( mpnq) 2m 2(p2q 2)n 2(p2q 2)(m 2
10、 n2)(p2 q2)|a| 2|b|2，故 D 正确132解析 a(1,2)，b(2,3) ，ab( ，2)(2,3)( 2,23)向量 ab 与向量 c(4，7)共线，7(2)4(23)02147解析 |5a b|2(5 ab) 225a 2b 210a b251 23 21013( )4912|5 a b|7152x3y90解析 设 P(x，y) 是直线上任意一点，根据题意，有 (a2b) (x3，y1)(2,3)AP 0，整理化简得 2x3y 9 0168解析 设 t (2t，t)，故有 (12t,7t )(52t,1t)OM OP MA MB 5t 220t125(t2) 28，故当
11、 t2 时， 取得最小值8MA MB 17解 a bBA OA OB OM OB BM OB 13BC a bOB 16BA 16 56又 abOD ON OC CN 12OD 16OD a b，23OD 23 23 MN ON OM a b a b23 23 16 56 a b12 1618解 ab|a|b|cos 12042 4( 12)(1)(a2 b)(a b)a 22abab2b 24 22(4)( 4)22 212(2)|ab| 2(ab) 2a 22 abb 2162(4)412|a b |2 3(3)|3a4b| 29a 224ab16b 294 224(4)162 21619
12、，|3 a 4b|4 1919解 由题意有|a| 2， 32 12|b| 1(12)2 ( 32)2ab 1 0，a b312 32xy0，a(t 23)b( katb)0化简得 k t3 3t4 (t2 4t3) (t2) 2 k t2t 14 14 74即 t2 时， 有最小值为 k t2t 7420解 设 t ，t0,1，则 (6t, 3t)，OM OC OM 即 M(6t,3t) (26t,53t )，MA OA OM (36t,13t)MB OB OM 若 MAMB，则 (2 6t)(36t)(53t)(13t)0MA MB 即 45t248t110，t 或 t 13 1115存在点
13、 M，M 点的坐标为(2,1)或 (225，115)21解 由向量 2te17e 2 与 e1t e2 的夹角为钝角，得 0，2te1 7e2e1 te2|2te1 7e2|e1 te2|即(2te 1 7e2)(e1te 2)0整理得：2te (2t27)e 1e27te 0(*)21 2|e 1|2，|e 2|1， e 1，e 260 e 1e221cos 601(*)式化简得：2t 215t70 解得：7t 12当向量 2te17 e2 与 e1te 2 夹角为 180时，设 2te17e 2 (e1te 2) (0)对比系数得Error!，Error!所求实数 t 的取值范围是 ( 7
14、， 142) ( 142， 12)22证明 如右图所示， ( ) (ab)，OD 12OA OB 12 (ab) OG 23OD 13 PG OG OP (ab) ma ( m)a b13 13 13 nbm aPQ OQ OP 又 P、G、Q 三点共线，所以存在一个实数 ，使得 PG PQ ( m) a bnbma，13 13( mm )a( n)b013 13a 与 b 不共线，Error!由消去 得： 31m 1n第三章 三角恒等变换(A) 答案1D (cos sin )(cos sin )12 12 12 12cos 2 sin 2 cos 12 12 6 322C ysin sin2
15、x 3 x 6 (2 x)cos x，当 x 时，y13B sin(45)(sin cos ) ，22 55sin cos 105两边平方，1sin 2 ，sin 2 25 354B ysin sin 2x(2x 3)sin 2x cos cos 2xsin sin 2x3 3 sin 2x cos 2x12 32sin (2x 3)当 x 时，y min1；当 x 时，y max1，12 712且 T故 B 项合适5A 0 ， ，2 4 (4，34)又 sin cos sin ，2 ( 4)所以 sin 1，22 ( 4)1sin cos 26B sin 163sin 223sin 253s
16、in 313sin(90 73)sin(27047)sin(18073)sin(36047)cos 73(cos 47)sin 73( sin 47)(cos 73cos 47sin 73sin 47)cos(7347)cos 120 127B 22， ，2则 tan 0，tan 2 2 ，2tan 1 tan2 2化简得 tan2tan 0，2 2解得 tan 或 tan (舍去)，22 2tan 228C ysin xcos x sin2 (x 4)ysin xcos x sin2 (x 4) sin 2 (x 2) 49A asin 62，bcos 26sin 64 ，csin 60ys
17、in x，x 为递增函数， c ab(0，2)10A A 、B 均为钝角 sin A ，sin B ，55 1010cos A ，1 sin2A1 552 255cos B ，1 10102 31010cos(AB )cos A cos Bsin Asin B( )( ) 255 31010 55 1010 65250 5250 22 A， B，2 2AB 2，AB 7411Atan tan( 1)tan 12，tan 12，tan 2 43tanPOQ 2，tan 1 tan 21 tan 1tan 2 POQ 2cosPOQ 5512C m n(2 ， )(x，y)( ，0)(2 x ，
18、y)，则OQ OP 12 3 3 12xQ2x ，y Q y，所以 x xQ ，y 2y Q，所以 yf (x) sin( x )所以最大值 A3 12 12 6 12 12 6，最小正周期 T412131解析 3 tan 153tan 15 1 tan 60 tan 151 tan 60tan 15tan 451， 13tan 15 13 tan 151433解析 sin cos 212sin 22sin 2sin 10，sin 或112 ，sin ，2 12 ，tan 56 3315 12解析 y2sin 2x2sin x cos x1cos 2xsin 2x sin(2x )1，24y max 12161解析 cos()sin( )cos cos sin sin sin cos cos sin cos (sin cos )sin (cos sin )、 均为锐角，sin cos 0，cos sin ，tan 117解 tan 、tan 为方程 6x25x10 的两根，tan tan ，tan tan ，56 16
