1、23.2 平面向量的坐标运算(一)学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示 .2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来知识链接1点的坐标与向量的坐标有何区别？答 (1)向量 a(x ，y)中间用等号连接，而点的坐标 A(x，y)中间没有等号(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同(3)在平面直角坐标系中，符号( x，y) 可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)2相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？答 由向量坐标的定义知：相
2、等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同3求向量 的坐标需要知道哪些条件？AB 答 求向量 的坐标，需要知道点 A 和点 B 的坐标AB 预习导引1平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底，对于平面上的向量 a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y 使得 ax iy j，则有序实数对(x，y)称为向量 a 的( 直角)坐标，记作 a( x，y)(2)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，则 (x，y)，若 A(x1，y 1)，OA B(x2，y 2)，则 (x
3、2x 1，y 2y 1)AB 2平面向量的坐标运算(1)若 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 ab(x 1x 2，y 1y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和(2)若 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 ab(x 1x 2，y 1y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差(3)若 a(x，y)， R，则 a( x，y )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.要点一 平面向量的坐标表示例 1 已知 a(2,1)，b( 3,4)，求 ab，ab,3a4b 的坐标解 ab(2,1)(3,4)( 1,5)，ab(2,1)(3,
4、4)(5， 3)，3a4b3(2,1)4(3,4)(6,3)( 12,16)(6,19) 规律方法 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标； (2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算跟踪演练 1 已知 a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3) a b.12 13解 (1)2a3b2(1,2)3(2,1)(2,4)(6,3)(4,7) (2)a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1)(3) a b ( 1,2) (2,1)12 13 12 13 ( 12，1) (23，13) .( 76，23)例 2 已知 O 是坐标原点，点
5、A 在第一象限，| |4 ，xOA 60，求向量 的坐标OA 3 OA 解 设点 A(x，y) ，则x| |cos 604 cos 602 ，OA 3 3y| |sin 604 sin 60 6，OA 3即 A(2 ，6) ， (2 ， 6)3 OA 3规律方法 求点和向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标跟踪演练 2 在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方向和长度如图所示，|a|2， |b|3， |c|4，分别求它们的坐标解 设
6、 a(a 1，a 2)，b( b1，b 2)，c ( c1，c 2)，则a1|a|cos 452 ，22 2a2|a|sin 45 2 ；22 2b1|b|cos 1203 ，( 12) 32b2|b|sin 1203 ；32 332c1|c |cos(30)4 2 ，32 3c2|c |sin(30)4 2.( 12)因此 a( ， )，b ，c(2 ，2) 2 2 ( 32，332) 3要点二 平面向量的坐标运算例 3 已知 a(1,2)，b(1，1) ，c (3 ，2)，且有 cpaqb.试求实数 p，q 的值解 a(1,2)，b(1 ，1) ，c (3 ，2)，paqbp(1,2)q(
7、1 ，1) (pq,2pq)cpaqb，Error!解得Error!故所求实数 p，q 的值分别为 1,4.规律方法 (1)根据平面向量基本定理，任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来(2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程( 组)跟踪演练 3 已知 A(2，4)，B(1,3)，C(3,4)，若 2 3 ，求点 M 的坐标CM CA CB 解 由 A(2， 4)，B(1,3)， C(3,4)，得(23，44)( 1， 8)，CA (13,34)( 4， 1)，CB 2 3 2(1，8) 3(4，1)CM CA CB (
8、2，16)( 12，3) (14，19)设点 M 的坐标为(x ，y )，则 (x3，y4)CM 由向量相等坐标相同可得Error!解得Error!点 M 的坐标为(11，15)要点三 平面向量坐标的应用例 4 已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且 t ，试问：OP OA AB (1)t 为何值时，P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形 OABP 可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的 t 值；若不可能，请说明理由解 由题可知 (1,2) ， (3,3) ， (1,2)t(3,3)(13t,23t)OA AB OP (1)若 P 在 x 轴上，则有
9、23t 0，t ；23若 P 在 y 轴上，则有 13t0，t ；13若 P 在第二象限，则有Error!解得 t .23 13(2) ( 13t，23t )(4,5)(33t, 33t )若四边形 OABP 是平行四边形，PB PO OB 则有 ，即有Error!方程组显然无解，因此，四边形 OABP 不可能是平行四边形OA PB 规律方法 已知含参的向量等式，依据某点位置探求参数的问题，本质是运用坐标运算，用已知点的坐标和参数表示出该点坐标，利用该点的位置确定横坐标、纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组) 跟踪演练 4 已知 M(1,5)，N(5,17)，点 P 在直线
10、MN 上，有| |3| |，求点 P 的坐标MP PN 解 设点 P 的坐标为(x，y) ，(x1，y 5)， (5x,17y )MP PN (1)当 3 时MP PN 有(x1 ，y5)3(5 x, 17 y)，由此解得 x4，y 14.所以点 P 的坐标为(4,14)(2)当 3 时，有(x 1，y 5) 3(5x,17y)，MP PN 由此解得 x7，y 23.所以点 P 的坐标为(7,23)由(1)(2)可知点 P 的坐标为(4,14)或(7,23). 1已知向量 a(1,2)，b(3,1)，则 ba_.答案 (2，1)解析 ba(3,1)(1,2) (2，1)2已知向量 (3，2)
11、， (5，1)，则向量 的坐标是_OA OB 12AB 答案 ( 4，12)解析 (8,1)，AB OB OA .12AB ( 4，12)3已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2) ，C(3,1)，且 2 ，则顶点 D 的BC AD 坐标为_答案 (2，72)解析 设 D 点坐标为(x ，y )，则 (4,3) ， (x，y2)，BC AD 由 2 ，得Error!BC AD Error!D(2， )724已知向量 a(2，3)，b(1,2)，p(9,4)，若 pm anb，则 mn_.答案 7解析 由题意可得(9,4)m(2，3) n(1,2)(2mn，3m2n) ，由E
12、rror!解得Error!故mn7.1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系关系图如图所示：2向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个向量终点的坐标相同3向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误一、基础达标1已知平面向量 a(1,1)，b(1 ，1)，则向量 a b_.12 32答案 (1,2)2已知向量 a(2,4)，b( 1,1)，则 2ab_.答案 (5,7)解析 2ab(4,8)(1,1)(5,7)3已知 M(3，2) ，N (5，1) ，且 ，则点 P 的坐标为_MP 12
13、MN 答案 ( 1， 32)解析 设 P(x，y) ，由(x 3， y2) (8,1)，12x1，y .324已知向量 a(1,2)，b(2,3)，c(3,4) ，且 c 1a 2b，则 1， 2 的值分别为1_， 2_.答案 1 2解析 由Error!解得Error!5已知平面上三点 A(2， 4)，B(0,6)，C (8,10)，则 的坐标是_12AC 14BC 答案 (3,6)6已知 A(1 ，2) ，B(2,3)，C (2,0)，D (x，y)，且 2 ，则 xy_.AC BD 答案 112解析 (2,0)( 1， 2)(1,2) ，AC (x，y)(2,3)(x2，y3)，BD 又
14、2 ，即(2x4,2y6)( 1,2)，BD AC Error! 解得Error! xy .1127已知ABC 中，A(7,8) ，B(3,5) ，C (4,3)，M、N 是 AB、AC 的中点，D 是 BC 的中点，MN 与 AD 交于点 F，求 .DF 解 因为 A(7,8)，B(3,5) ，C(4,3)所以 (4，3)， (3，5) AB AC 又因为 D 是 BC 的中点，有 ( )( 3.5，4)，而 M、N 分别为 AB、AC 的中AD 12AB AC 点，所以 F 为 AD 的中点，故有 (1.75,2)DF 12DA 12AD 二、能力提升8在平行四边形 ABCD 中，AC 为
15、一条对角线若 (2,4)， (1,3)，则 _.AB AC BD 答案 (3，5)解析 ，AC AB AD (1，1)AD AC AB (3，5)BD AD AB 9向量 (7，5)，将 按向量 a(3,6) 平移后得向量 ，则 的坐标形式为AB AB A B A B _答案 (7，5)解析 与 方向相同且长度相等，A B AB 故 (7，5)A B AB 10已知点 A(1,3)，B(4，1) ，则与向量 同方向的单位向量为_AB 答案 (35， 45)解析 (3 ，4)，所以| |5，所以同方向的单位向量是 .AB AB 15AB (35， 45)11向量 a，b，c 在正方形网格中的位置
16、如图所示若 cab( ，R)，则_.答案 4解析 以向量 a、b 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得 a(1,1)，b(6,2)，c(1 ，3)，因为 ca b(，R)，所以Error!解得 2 且 ，12因此， 4. 2 1212如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，O 为对角线 AC，BD 的交点， (3,7)，AD ( 2,1)求 的坐标AB OB 解 (2,1) (3,7)(5，6)，DB AB AD (5，6) .OB 12DB 12 ( 52， 3)三、探究与创新13已知点 A(2,3)，B(5,4) ，C(7,10)若 (R )AP AB AC (1)试求 为何值时，点 P 在第一、三象限的角平分线上？(2)试求 为何值时，点 P 在第三象限内？解 ，AP AB AC OP OA AP OA AB AC OB AC (5,4)(5,7)(55 ，4 7)(1)由 5547，解得 ，当 时，点 P 在第一、三象限的角平分线上12 12(2)由Error!解得Error! 1.当 1 时，点 P 在第三象限内.
