1、22 直接证明与间接证明22.1 综合法和分析法学习目标1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法2了解分析法和综合法的思维过程和特点3会用分析法、综合法证明实际问题.学法指导 通过本节课的学习，比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高思维能力.综合法和分析法综合法 分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义 、公理等)为止，这种证
2、明方法叫做分析法框图表示 PQ1 Q1Q2Q2Q3 QnQ(P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论 )QP1P1P2P2P3 得 到 一 个 明 显 成 立 的 条 件(Q 表示要证明的结论)特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法注意：综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已知的知识中进一步获得新的认识分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然，在探求问题的证明时，它可帮助我们构建思路1判断：(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)分析法必须是从结论推向已知( )(2)分析法的推理过程要比综合法优越( )(3)综合法的过程是演绎
3、推理( )答案：(1) (2) (3) 2以下命题中正确的是( )A综合法是执果索因的逆推法B综合法是由因导果的顺推法C综合法是因果互推的两头凑法D综合法就是举反例答案：B3欲证 ，只需证明( )2 3 6 7A( )2( )2 B( )2( )22 3 6 7 2 6 3 7C( )2( )2 D( )2( )22 7 6 3 2 3 6 7答案：C4函数 f(x)axb 在( ，) 上是增函数，则 a 的取值范围是_答案：(0，)综合法的应用在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成等差数列，a，b，c 成等比数列，求证：ABC 为等边三角形(链接教材
4、 P85 例 1)证明 由 A， B，C 成等差数列，有 2BAC，由于 A，B ，C 为ABC 的三个内角，所以 ABC .由，得 B ，3由 a，b，c 成等比数列，有 b2ac，由余弦定理及，可得 b2a 2c 22ac cos Ba 2c 2ac ，再由，得 a2c 2ac ac ，即 (ac )20，从而 ac，所以 AC 由，得 ABC ，3所以ABC 为等边三角形方法归纳综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程1(
5、1)设 a0，b0，ab1，求证： 8.1a 1b 1ab(2) 如图所示，设四面体 PABC 中，ABC90，PAPBPC，D 是 AC 的中点求证：PD 垂直于ABC 所在的平面证明：(1)a0，b0，ab1，1ab2 .ab ， 4.ab12 1ab (ab)( ) 2 248.1a 1b 1ab 1a 1b 1ab baab 8.1a 1b 1ab(2)连接 BDBD 是 RtABC 斜边上的中线，DADB DC 又 PAPBPC ，而 PD 为PAD，PBD，PCD 的公共边，PADPBDPCD 于是PDAPDB PDC，而PDAPDC90，PDB90.可见 PDAC，PDBD AC
6、BDD，PD平面 ABC分析法的应用已知 ，k (kZ )，且2sin cos 2sin ，sin cos sin 2.求证： .1 tan21 tan2 1 tan221 tan2(链接教材 P88 例 3)证明 因为(sin cos ) 22sin cos 1，所以将代入，可得4sin22sin 21.另一方面，要证 ，1 tan21 tan2 1 tan221 tan2即证 ，1 sin2cos21 sin2cos21 sin2cos221 sin2cos2即证 cos2sin 2 (cos2sin 2)，12即证 12sin 2 (12sin 2)，12即证 4sin22sin 21.
7、由于上式与相同，于是问题得证方法归纳分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可(2)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立2若 a，b，c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg alg blg a b2 b c2 c a2C证明：要证 lg lg lg lg alg blg c 成立，a b2 b c2 c a2即证 lg( )lg( abc)成立，a b2 b c2 c a2只需证 abc 成立a b2 b c2 c a2 0， 0， 0，a b2 ab
8、b c2 bc c a2 ca abC a b2 b c2 c a2又a，b，c 是不全相等的正数，上式等号不成立，原不等式成立综合法和分析法的综合应用ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，其对边分别为 a，b，C 求证：(ab) 1 ( bc) 1 3(abc )1 .证明 法一：要证( ab) 1 (bc) 13(abc) 1 ，即证 ，1a b 1b c 3a b c即证 3，a b ca b a b cb c也即证 1.ca b ab c只需证 c(bc)a( ab)(ab)( bc )，只需证 c2a 2ac b 2.ABC 三个内角 A，B ，C 成等差数列，B60.由余弦定
9、理，有 b2c 2a 22cacos 60，即 b2c 2a 2ac ，c 2a 2 acb 2，此式即分析中欲证之等式，即原式得证法二：ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列，B60.由余弦定理，有 b2c 2a 22accos 60，得 c2a 2acb 2，两边加 abbc 得c(bc)a(a b)(ab)( bc )，两边除以(ab)( bc )得 1，ca b ab c 3，(ca b 1) ( ab c 1) ，1a b 1b c 3a b c(ab) 1 (bc) 1 3( a bc )1 .方法归纳综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时
10、，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析、综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P；若由 P 可推出 Q，即可得证3设 a，b(0，)，且 ab，求证：a 3b 3a 2bab 2.证明：法一：(分析法)要证 a3b 3a 2bab 2 成立，即需证(ab)(a 2abb 2)ab(ab) 成立又因 ab0，故只需证 a2abb 2ab 成立，即需证 a22abb 20 成立，即需证(ab) 20 成立而依题设 ab，则(ab) 20 显然成立由此命题得证法二：(综合法)abab0 (ab) 20a 22abb 20
11、a 2abb 2ab.a0，b0，ab0，(ab)(a 2ab b2)ab(ab )a 3b 3a 2bab 2.名师解题 多法破解不等式证明已知 a，b 是正实数，求证 .ab ba a b证明 法一：( 作差法)因为 a，b 是正实数，所以 ab ba a b b aa a bb a ba bab 0，a b2a bab所以 .ab ba a b法二：(分析法)已知 a，b 是正实数，要证 ，ab ba a b只需证 a b ( )，a b ab a b即证(ab )( ) ( )，ab a b ab a b即证 ab ，ab ab就是要证 ab2 .ab显然 ab2 恒成立，ab所以 .
12、ab ba a b法三：(综合法)因为 a，b 是正实数，所以 2 2ab b ba a ab b ba a2 2 ，a b当且仅当 ab 时取等号，所以 .ab ba a b法四：(综合法)因为 a，b 是正实数，所以( )( )ab ab ba a b aab bbaab2 ab2 ( )2，aabbbaab a b当且仅当 ab 时取等号，所以 .ab ba a b名师点评 本题的四种方法都是直接证明，直接证明包括综合法和分析法，其思考点是从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、换元法、放缩法、构造函数法等，这些方法是综合法和分析法的延续与补充.规范解答 综合法在数列证
13、明中的应用(本题满分 12 分)(2014日照高二检测)已知数列a n的首项a15，S n1 2S nn5(n N*)(1)证明数列a n1是等比数列(2)求 an.解 (1)证明：由条件得 Sn2S n1 (n1) 5(n2)()2 分又 Sn1 2S nn5，()()( )得 an1 2a n1(n2)，4 分所以 6 分an 1 1an 1 2an 1 1an 12an 1an 12.又 n1 时，S 22S 115，且 a15，所以 a211，所以 2，a2 1a1 1 11 15 1所以数列a n1是以 2 为公比的等比数列.8 分(2)因为 a116，9 分所以 an162 n1 32 n，所以 an32 n1.12 分规范与警示 (1)解答本题的两个关键步骤由() ()得 an1 2a n1(n2)是本题的关键，也是一得分点；把 an1 2a n1 代入商式中是本题的难点，利用了“消参”的观点(2)解答本题的易误点：一是指出 2 时，忽视了验证 n1 时关系式成立，这an 1 1an 1样实际会被扣去 3 分二是不理解a n1的含义，把首项看成 1，求得到 an2 n1 1 的错误结论(3)在数列解题中 anError!是常用解题方法，只要条件中含有 Sn，一定会用到它
