1、21.2 演绎推理学习目标1.了解演绎推理的重要性2掌握演绎推理的基本模式，并能进行一些简单的推理(重点、难点)3了解合情推理和演绎推理之间的区别与联系.学法指导 演绎推理是数学证明的主要工具，其一般模式是三段论学习中要挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程.1演绎推理含义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点 由一般到特殊的推理2.三段论一般模式 常用格式大前提 已知的一般原理 M 是 P小前提 所研究的特殊情况 S 是 M结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S 是 P注意：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，而演绎推
2、理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确1判断：(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)“三段论”就是演绎推理( )(2)演绎推理的结论一定是正确的( )(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理( )答案：(1) (2) (3) 2已知ABC 中，A30，B60，求证：ab.证明：因为A30，B 60，所以AB.所以 ab.其中，划线部分是演绎推理的( )A大前提 B小前提C结论 D三段论答案：B3自然数是整数，4 是自然数，所以 4 是整数，以上三段论推理( )A正确 B推理形
3、式正确C两个自然数概念不一致 D两个整数概念不一致答案：A4正弦函数是奇函数，f(x )sin x2 是正弦函数，所以 f(x)sin x2 是奇函数，以上“三段论”中的_是错误的答案：小前提用三段论的形式表示演绎推理将下列演绎推理写成三段论的形式(1)等腰三角形的两底角相等，A，B 是等腰三角形的底角，则 A B.(2)通项公式为 an2n3 的数列 an为等差数列解 (1)等腰三角形的两底角相等，(大前提)A，B 是等腰三角形的底角，(小前提)AB .(结论)(2)数列a n中，如果当 n2 时，a na n1 为常数，则 an为等差数列，( 大前提)通项公式为 an2n3 时，若 n2，
4、则 ana n1 2n32(n1) 32(常数) ，(小前提)通项公式为 an2n3 的数列a n为等差数列(结论)方法归纳用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提1下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？(1)因为对数函数 ylog ax 是增函数大前提而 ylog x 是对数函数，小前提13所以 ylog x 是增函数结论13(2)因为过不共线的三点有且仅有一
5、个平面，大前提而 A，B，C 为空间三点，小前提所以过 A，B ，C 三点只能确定一个平面结论解：(1)推理形式是正确的，但大前提是错误的因为对数函数 ylog ax 的单调性与底数 a 的取值有关，若 0a1，则 ylog ax 为减函数；若 a1，则 ylog ax 为增函数，所以推理的结论是错误的(2)推理形式是正确的，但小前提是错误的因为若三点共线，则可确定无数个平面，只有不共线的三点才满足题意，所以推理的结论是错误的三段论在证明几何问题中的应用如图所示，在锐角三角形 ABC 中，ADBC，BEAC，D，E 是垂足，求证：AB 的中点 M 到点 D，E 的距离相等(链接教材 P79 例
6、 5)证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在ABD 中，AD BC，即ADB 90，小前提所以ABD 是直角三角形结论同理，AEB 也是直角三角形(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提而 M 是 RtABD 斜边 AB 的中点，DM 是斜边上的中线，小前提所以 DM AB.结论12同理，EM AB.12所以 DMEM.方法归纳(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提，注意前一个推理的结论
7、会作为下一个三段论的前提2. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1B1A 1C1，D，E 分别是棱 BC，CC 1 上的点(点 D 不同于点 C)，且 AD DE，F 为 B1C1 的中点求证：(1)平面 ADE平面 BCC1B1；(2)直线 A1F平面 ADE.证明：(1)因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC又 AD平面 ABC，所以 CC1AD 又 ADDE ，CC 1，DE平面 BCC1B1，CC 1DEE，所以 AD平面 BCC1B1.又 AD平面 ADE，所以平面 ADE平面 BCC1B1.(2)因为 A1B1A 1C1，F 为 B1C1 的中点
8、，所以 A1FB 1C1.因为 CC1平面 A1B1C1，且 A1F平面 A1B1C1，所以 CC1A 1F.又 CC1，B 1C1平面 BCC1B1，CC 1B 1C1C 1，所以 A1F平面 BCC1B1.由(1)知 AD平面 BCC1B1，所以 A1FAD 又 AD平面 ADE，A 1F平面 ADE，所以 A1F平面 ADE.演绎推理在代数问题中的应用求证：函数 f(x) 是定义域上的增函数2x 12x 1(链接教材 P80 例 6)证明 函数定义域为 R.任取 x1，x 2R 且 x1x 2.则 f(x1)f(x 2) (1 22x1 1) (1 22x2 1)2 2 .(12x2 1
9、 12x1 1) 2x1 2x22x2 12x1 1x 1x 2，2x 12x 2，2x 12x 20，f(x 1)f(x 2)0.f(x 1)f(x 2)故 f(x)为 R 上的增函数方法归纳一般地，代数推理问题大部分也都是演绎推理，只不过是形式简化了的三段论，推理过程中使用的大前提一般都是省略的如本题省略大前提( 增函数的定义) 3. 如图所示的是三个拼在一起的正方形，求证 .4证明：根据题意得 0 ，0 ，2 20.又 tan ，tan ，12 13tan() 1.tan tan 1 tan tan 12 131 12130，且在(0，) 内正切值等于 1 的角只有 ，4 .4规范解答
10、演绎推理在函数中的应用(本题满分 12 分)(2014郑州高二检测)已知定义域为 0,1的函数 f(x)同时满足以下三个条件：对任意的 x0,1，总有 f(x)0；f(1)1；若 x10，x 20 且 x1x 21，则有 f(x1x 2)f (x1)f (x2)成立，则称 f(x)为“友谊函数” (1)若已知 f(x)为 “友谊函数” ，求 f(0)的值(2)函数 g(x)2 x1 在区间0,1上是否为“友谊函数”？并给出理由解 (1)取 x1x 20，得 f(0)f(0)f(0)，又由 f(0)0，得 f(0)0.4 分(2)显然 g(x)2 x1 在0,1 上满足 g( x)0；g(1)1
11、；6 分若 x10，x 20，且 x1x 21，则有 g(x1x 2) g(x1)g(x 2)2x 1x 21(2x 11)(2x 21)(2x 1 1)(2x21)0.10 分故 g(x)2 x1 满足条件，所以 g(x)2 x1 为“友谊函数”.12 分规范与警示 1.解答本题的两个关键步骤及易错点(1)明确“友谊函数”必须满足的三个条件是已知的，三个条件缺一不可，它们是判断函数为“友谊函数”的关键(2)验证 g(x1x 2)g(x 1)g(x 2)是解答本题的关键，作差后不会把差表示为(2x 11)(2x21)形式，只能得 68 分(3)解答本题的易误点：一是求 f(x)时，忽略“友谊函数”的条件；二是说明 g(x)为“友谊函数”时，不验条件.2演绎推理的主要形式是三段论，如在判断本例“友谊函数”时，必须同时验证满足3 个条件，合理使用“三段论” ，增强正确性
