1、3.3 圆周角和圆心角的关系（第 2 课时）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。在上一课时中，了解了同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析本节共分 2 个课时，这是第 2 课时，主要研究圆周角定理的几个推论，并利用这些解决一些简单问题。
2、具体地说，本节课的教学目标为：知识与技能1掌握圆周角定理几个推论的内容。2会熟练运用推论解决问题。过程与方法1培养学生观察、分析及理解问题的能力。2在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式。情感态度与价值观培养学生的探索精神和解决问题的能力教学重点：圆周角定理的几个推论的应用。教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论” 。三、教学过程分析本节课分为五个教学环节：复习引入新课、新知学习、练习、课时小结、布置作业BAECDO第一环节 复习引入新课活动内容：（一）复习1如图，BOC 是 角， BAC 是 角。若BOC=80，BAC= 。第 1 题图 第 2 题图AB
3、 COA BCO2如图，点 A，B，C 都 在O 上，若ABO=65 ，则BCA=（ ）A. 25 B. 32.5 C. 30 D. 45 （二）引入新课观察图，ABC ， ADC 和AEC 各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？解决上一课时中遗留的问题：如图，当他站在B，D， E 的位置射球时对球门 AC 的张角的大小是相等的？为什么呢？因为这三个角都对着 AC 弧，所以它们相等。第二环节 新知学习活动内容：议一议1通过对上面问题的讨论，引导学生总结：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。提问：如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？进一步得到：在同圆或等圆中，同弧或
4、等弧所对的圆周角相等。问题：若将上面推论中的“同弧或等弧” 改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议。2观察图，BC 是O 的直径，它所对和圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？观察图，圆周角BAC=90，弦 BC 经过圆心吗？为什么？AB CO图图 B CAO图图 由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。活动目的：通过互相交流讨论，总结规律。通过老师把问题进一步深化和变化，引导学生得到正确的定理。实际教学效果：在教学时注意（1） “同弧”指“同一个圆” 。（2） “等弧”指“在同圆或等圆中” 。（3） “同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦” 。第
5、三环节 练习活动内容（一）例题讲解1小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？2如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到C，使 AC=AB。BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？分析：由于 AB 是O 的直径，故连接 AD。由直径所对的圆周角是直角，可得 ADBC ，又因为ABC 中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得 BD=CD。 3船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A，B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，ACB 就是“危险角”，当船与两个
6、灯塔的夹角大于“危险角” 时，就有可能触礁。（1）当船与两个灯塔的夹角 大于“危险角” 时，船位于 哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角 小于“危险角” 时，船位于 哪个区域？为什么？活动目的：这个定理的学习是比较容易理解。这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角-直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题。为了进一步熟悉推论，安排三个例子。例子 1 只要通过观察图形，学生就可以得到答案。完成这个例子还可以帮助正确理解这个定理。ABC DO例子 2 是一题推理论证题。由图形 AB 是O 的直径可联系到所对的圆周角是直角，故连接 A
7、D，由等腰三角形的三线合一，可证得 BD=CD。 例子 3 这是一个有实际背景的问题。解决这一问题不仅要用到圆周角定理的推论，而且还要应用分类假设的思想。由题意可知：“危险角ACB”实际上就是圆周角。船 P 与两个灯塔的夹角为 ，P 有可能在 O 外，P 有可能在O 内，当C 时，船位于暗礁区域内；当 C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证。实际教学效果：注意：用反证法证明命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2) 从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾。 （3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。（二）学生练习1为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说
8、这种设计的合理性。2如图，哪个角与BAC 相等？第 2 题图 第 3 题图AB CDABCO3如图。O 的直径 AB=10 cm，C 为O 上的一点，ABC=30 ，求AC 的长。第四环节 课时小结1要理解好圆周角定理的推论。2构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。3要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一。4圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角） 、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角等。第五环节 布置作业课本第 108 页 习题 3.5 1、2四、教学反思本节充分利用现实生活和数学中的素材，使学生探索与圆有关的概念和性质，尽可能地设计具有挑战性的情境，激发学生求知、探索的欲望。在得出本节结论的过程中，鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法。如度量与证明、分类与转化，以及类比等。本节容量较大，教学时要控制好时间。
