1、2.1 花边有多宽第一课时教案 从容说课方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要.一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位本节“花边有多宽”是一元二次方程的基础，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念，进而通过夹逼思想估算方程的解本节的重、难点是一元二次方程的概念及其近似解教学目标(一)教学知识点1一元二次方程的概念2一元二次方程的有关概念(二)能力训练要求1经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型2理解一元二次方程的概念(三)情感与价值
2、观要求从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识教学重点 一元二次方程的概念 a0教学难点如何把实际问题转化为数学方程教学方法启发诱导式教学过程创设现实情景、引入新课师前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗? 生黄金比是 0.618师很好，你知道黄金比为什么是 0618 吗?师好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型下面我们来学习第一节：花边有多宽
3、讲授新课师我们来看一个实际问题；大家来讨论讨论一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为 8m，宽为 5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为 18m 2，那么花边有多宽?生我们可以利用列方程来求解师很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法生要从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系这个题已知：这块地毯的长为 8 m，宽为 5 m，它中央长方形图案的面积为 18m 2这个题所要求的是；地毯的花边有多宽本题是以面积为等量关系师这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程师生共析如果设花边的宽为 x m，那么地毯中央长方形
4、图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程(8-2x)(5-2x)18注意：1利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽2用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等师好，下面我们来看一个数学问题：观察下面等式10 2+112+12213 2+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?生这个题我们也可以利用数量关系列方程师很好，如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面的四个数该如何表示呢?生甲因为任何两个连续整数的差为 1
5、.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为 x+1，x+2，x+3，x+4生乙根据题意，则可得到方程x 2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3) 2+(x+4)2生丙老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为 x，那么其余四个数依次为 x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程(x-2) 2+(x-1)2+x2(x+1) 2+(x+2)2这样行吗?师丙同学的思路很好， 这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化下面我们来看一个实际问题：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的
6、垂直距离为 8 m，如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米?师同学们分组讨论，列出方程生甲墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形已知梯子的长为 10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有 6 m生乙设梯子底端滑动 xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程(x+6) 2+(8-1)210 2，即(x+6) 2+7210 2师同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(5-2x)18，x 2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3) 2+(x+
7、4)2，(x+6) 2+7210 2这三个方程有什么共同特点?生甲这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式生乙我把这三个方程进行了化简，即(1)(8-2x)(5-2x)18，40-26x+4x 218，4x 2-26x+220(2)x 2+(x+1)2+(x+2)2(x+3) 2+(x+4)2，x 2+x2+2x+1+x2+4x+4=x 2+6x+9+x2+8x+16，x 2-8x-200(3)(x+6) 2+72=102，x 2+12x+36+49=100，x 2+12x-15=0由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和生丙把这三个方程经过化简后，最高次数是二次生丁这三个方程的每一个方程中
8、只含有一个未知数师同学们总结得很好上面的三个方程都是只含有一个未知数 x 的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程这三个方程还都可以化为 ax2+bx+c0(a、b、c 为常数，a0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程注意：1一元二次方程必须同时满足以下三点；(1)方程是整式方程(2)它只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是 2，即化简为 ax2+bx+c=0 时
9、，a02任何一个关于 x 的一元二次方程都可以化为 ax2+bx+c=0(a0)的形式,其中 a0 是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了因为任何一个关于 x 的一元二次方程都可以化为 ax2+bx+c=0a0的形式，所以我们把 ax2+bx+cO(a、b、c 为常数，a0)称为一元二次方程的一般形式,其中 ax2、bx、c 分别称为二次项、一次项和常数项，a、b 分别称为二次项系数和一次项系数注意：(1)当 a0，b0 时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a0.(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式
10、课时小结本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念 1一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a、b、c 为常数，a0)的形式2一元二次方程的一般形式为 ax2+bx+cO(a0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的3在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.课后作业(一)课本 P44习题 21 1、2(二)1预习内容：P 44-P462预习提纲探索一元二次方程的解或近似解，活动与探究 1当 d、b、c 满足什么条件时，方程(
11、a-1)x 2-bx+c0 是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当 a、b、c 满足什么条件时，方程(a-1)x 2-bx+c0 是一元一次方程?过程让学生通过讨论、总结，知道：对于方程 ax2+bx+c0，当 a0 时是一元二次方程；当 a0 且 b0 时，方程为 bx+c=0，是一元一次方程结果当 a1 时，方程(a-1)x 2-bx+c0 是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是 a-1，一次项系数是-b当 a=1 且 b0 时，方程是一元一次方程板书设计花边有多宽一、1设花边的宽为 x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m根据题意，可得(8-2x)(5-2x)182设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为x+1、x+2、x+3、x+4根据题意，可得 x2+(x+1)2+(x+2)2(x+3) 2+(x+4)23设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m根据题意，可得(x+6) 2+7210 2二、议一议三个方程的共同特点：(1)只含有一个未知数(2)整式方程(3)可化为 ax2+bx+c0三、1一元二次方程的定义2一元二次方程的一般形式；ax 2+bx+c0(a0)ax 2是二次项，a 是系数bx 是一次项，b 是系数c 是常数项四、练习五、小结六、课后作业
