1、3 立方根1立方根的概念及表示方法(1)立方根的概念：如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(也叫做三次方根)如 238，那么 2 就叫做 8 的立方根，由于 3 ，所以(32) 278 叫 做 的立方根32 278(2)立方根的表示方法： a 的立方根可表示为“ ”，读作“三次根号 a”，其中“3”是3a根指数， “a”是被开方数要注意，这里的根指数“3”不能省略例如：2 的立方根可表示 为 .32哦，判断一个数 x 是不是某数 a 的立方根，就看 x3是不是等于 a.对啊! 求一个数的立方根，应先找到一个立方等于所求数的数，再求立方根.【例 11
2、】 求下列各数的立方根：(1)8；(2)125；(3) ；(4)0.064；(5)0；(6)6.127解：(1)因为 238，所以 8 的立方根是 2，即 2.38(2)因为(5) 3125，所以125 的立方根是5，即 5.3 125(3)因为 3 ，所以 的立方根是 ，即 .(13) 127 127 13 3127 13(4)因为(0.4) 30.064，所以0.064 的立方根是0.4，即 0.4.3 0.064(5)因为 030，所以 0 的立方根是 0，即 0.30(6)6 的立方根是 .3 6谈重点 化简立方根完全立方数的立方根是可以化简的，如(1)(5)；非完全立方数的立方根是不
3、可以化简的，只需表示出来即可，如(6)【例 12】 下列语句正确的是( )A 的立方根是 2 B3 是 27 的立方根64C 的立方根是 D(1) 2的立方根是1125216 56解析：A 因为 8，而 2 的立方等于 8，故 8 的立方根是 2.64B 因为3 的立方是27，3 是 27 的立方根是错误的.C 因为 的立方是 ，所以 的立方根是 .56 125216 125216 56D 因为(1) 21，它的立方根是 1，而不是1.答案：A2立方根的性质(1)立方根的性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0 的立方根是 0.(2)开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方
4、如同开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算【例 2】 有下列命题：负数没有立方根；一个数的立方根不是正数就是负数；一个正数或负数的立方根和这个数同号，0 的立方根是 0；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是 1 和 0.其中错误的是( )A BC D解析：一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0 的立方根是 0.立方根等于本身的数有 0,1 和1.所以都是错的，只有正确答案：B辨误区 1,0，1 的立方根深入理解概念，特别地，要关注 1,0，1 的立方根的情况3立方根的应用立方根在日常生活中应用很广泛，如求物体的体积等【例 3】 某金属冶炼厂，将 27
5、 个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸成一个长方体钢锭，量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为 160 cm、80 cm 和 40 cm，求原来立方体钢锭的边长为多少？分析：原来立方体钢锭体积在炉中熔化后浇铸成的长方体钢锭的体积解：设立方体的边长为 x cm，则 27x31608040.解得 x .803答：原来立方体钢锭的边长为 cm.803点评：本题是一个等积变形问题，利用体积不变列方程即可4立方根的化简公式 ； a；( )3 a.3 a 3a 3a3 3a如果 x3 a，那么 x 就是 a 的立方根，即 x ，所以 x3( )3 a.同样，根据定义，3a 3aa3是 a 的三次方，所以
6、a3的立方根就是 a，即 a.3a3设 x3 a，则( x)3 x3 a.根 据立方根的定义可知，x ， x . .3a 3 a3 a 3a要深入理解立方根的性质，必须掌握以上性质公式【例 4】 化简：(1) ；(2) ；(3) .3 64 30.000 1253338分析：求一个负数的立方根，可以根据立方根的定义来求，也可以转化成它的绝对值的立方根，再求其相反数，因为 .求带分数的立方根，首先要把带分数化成假3 a 3a分数再求解：(1) 4.3 64 364 343(2) 0.05.30.000 125 30.053(3) .3338 3278 3(32)3 325灵活利用立方根与平方根解
7、题平方根与立方根是两个很相近的概念，如果不正确地认识和理解它们的异同，在解题中很容易引起混淆而造成解题错误(1)区别：定义不同平方根：如果 x2 a，那么 x 叫做 a 的平方根立方根：如果x3 a，那么 x 叫做 a 的立方根表示方法不同正数 a 的平方根记为 ，数 a 的立方a根记为 .表示平方根时，根指数 2 一般省略不写，但是用根号表示立方根时，根指数 3 绝3a对不能省略，否则就与二次根式混淆了读法不同正数 a 的平方根 ，读作“正、a负根号 a”数 a 的立方根 读作“三次根号 a 或 a 的立方根” 被开方数的取值范围不3a同在平方根 中，被开方数 a 是非负数，即 a0.但在
8、中， a 可以是任意的数a 3a根的个数 不同一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，0 的平方根是 0，负数没有平方根任何数都存在立方根，一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0 的立方根是 0.(2)联系：求平方根与立方根的运算都是开方运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算，都是乘方的逆运算【例 51】 已知 | b327|0 ，求( a b)b的立方根a3 64分析：由非负数的性质求出 a， b 即可解：由题意，得 0，| b327|0，a3 64于是 a3640， b3270.解得 a4， b3.因此( a b)b(43) 3343.故( a b)b的立方根
9、为 7.3(a b)b 3 343析规律 非负数 的性质几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0.【例 52】 已知 2，求 x17 的平方根35x 32分析：由立方根的定义先求出 x 的值，再求 x17 的平方根解：由立方根的定义，得5x32(2) 3.解得 x8，则 x179.故 x17 的平方根为3.变式题：(1)一个数的两个平方根分别为 3a1 和 a11，求这个数的立方根；(2)已知 3m9 的立方根为 3，求 2m3 的立方根；(3)已知 2x1 的平方根为3,3 y2 的立方根为 1，求 x y 的值解：(1)由题意，得 3a1 a110， a3，故(3 a1) 264， 4.364(2)由题意，得 3m927， m12.故 2m327， 3.327(3)由题意，得 2x19，则 x5；3y21，则 y1.故 x y6.
