1、1(2011高考课标全国卷)椭圆 1 的离心率为( )x216 y28A. B.13 12C. D.33 22解析：选 D.由 1 得 a216，b 28，c 2a 2b 28，c 2 .x216 y28 2e .ca 224 222椭圆 x2my 21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 等于( )A. B212C4 D.14解析：选 D.由已知得 2 22，1mm .143曲线 1 与曲线 1( kb0)，x2a2 y2b2则Error!，解得Error!，故椭圆的标准方程为 1.x225 y2165已知椭圆的标准方程为 1(a b0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B
2、 在椭圆x2a2 y2b2上，且 BFx 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P.若 2 ，则椭圆的离心率是 ( )AP PB A. B.32 22C. D.13 12解析：选 D.如图，因为 2 ，则 OA2OF ，a2c，e .AP PB 126椭圆 6x2y 26 的长轴的端点坐标是_解析：由 6x2y 26，得 x2 1.y26故 a .6长轴的端点为(0， )和(0， )6 6答案：(0， )、(0 ， )6 67椭圆焦点在 x 轴上，O 为坐标原点，A 是一个顶点，F 是一个焦点，椭圆长轴长为6，且 cosOFA ，椭圆的标准方程是_23解析：如图，椭圆长轴长为 6，|AF| 3，co
3、sOFA ，|OF|AF| c3 23c2，b 2a 2c 25.椭圆的标准方程为 1.x29 y25答案： 1x29 y258若椭圆的短轴长为 6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1，则椭圆的离心率为_解析：依题意，得 b3，ac1.又 a2b 2c 2，解得 a5，c4，椭圆的离心率为 e .ca 45答案：459求椭圆 4x29y 21 的长轴长和焦距，焦点坐标，顶点坐标和离心率解：将椭圆方程变形为 1.x214y219a ，b ，c .12 13 a2 b2 56椭圆的长轴长和焦距分别为 2a1,2c .53焦点坐标为 F1 ，F 2 .( 56，0) ( 56，0)顶点坐标为 A1
4、 ，A 2 .( 12，0) (12，0)B1 ，B 2 .(0， 13) (0，13)离心率 e .ca 5310求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)椭圆过(3,0)，离心率 e ；63(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 8.解：(1)若焦点在 x 轴上，则 a3，e ， c ，b 2a 2c 2963.ca 63 6椭圆的标准方程为 1.x29 y23若焦点在 y 轴上，则 b3，e ，解得 a227.ca 1 b2a2 1 9a2 63椭圆的标准方程为 1.y227 x29综上可知，所求椭圆标准方程为 1 或 1.x29 y23 y227 x29(2)设椭
5、圆方程为 1(a b0)x2a2 y2b2如图所示，A 1FA2 为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线(高)，且|OF|c，| A1A2|2b，cb4，a 2b 2c 232，故所求椭圆的标准方程为 1.x232 y2161若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为( )OP FP A2 B3C6 D8解析：选 C.由题意，F(1,0)，设点 P(x0，y 0)，则有 1，所以 y 3(1 )x204 y203 20 x204(2x 02)，因为 (x 01，y 0)， (x 0，y 0)，所以FP OP x 0(x
6、01)y x 03 (x02) 22.OP FP 20 x204 14因为2x 02，所以当 x02 时， 取得最大值为 6.OP FP 2椭圆 1 的焦点在 x 轴上，则它的离心率 e 的取值范围是_x25a y24a2 1解析：由题意知 5a4a21， 0)的离心率为 ，试求椭圆的长轴长和短轴长，焦12点坐标及顶点坐标解：椭圆方程可化为 1.x24 y2m(1)当 04 时，a ，b2，mc ，m 4e ，解得 m ，ca m 4m 12 163a ，c ，433 233椭圆的长轴长和短轴长分别为 ，4，焦点坐标为833F1(0， )， F2(0， )，顶点坐标为 A1(0， )，A 2(
7、0， )，B 1(2,0)，233 233 433 433B2(2,0)4设 P 是椭圆 1(a b0)上的一点，F 1，F 2 是其左、右焦点已知x2a2 y2b2F 1PF260，求椭圆离心率的取值范围解：法一：根据椭圆的定义，有|PF 1| |PF2| 2a，在F 1PF2 中，由余弦定理得cos 60 ，|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 12即|PF 1|2| PF2|24c 2|PF 1|PF2|.式平方得|PF 1|2| PF2|22|PF 1|PF2|4a 2.由得|PF 1|PF2| .4b23由和运用基本不等式，得|PF 1|PF2|( )2，即 a 2.|PF1| |PF2|2 4b23由 b2a 2c 2，故 (a2c 2)a 2，解得 e .43 ca 12又因 e1，所以该椭圆离心率的取值范围为 ，1) 12法二：设椭圆与 y 轴交于 B1，B 2 两点，则当点 P 位于 B1 或 B2 时，点 P 对两个焦点的张角最大，故F 1B1F2 F1PF260，从而OB 1F230.在 Rt OB1F2 中，e sin OB 1F2sin 30 .ca 12又因为 e 1，所以该椭圆的离心率的取值范围为 ，1) 12
