1、1已知定点 F1(2,0) ，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹中为双曲线的是( )A|PF 1| PF2|3B|PF 1|PF 2|4C|PF 1|PF 2|5D|PF 1|2| PF2|24解析：选 A.由双曲线的定义可知， |PF1| PF2|3 时，P 点的轨迹是双曲线2方程 1 表示双曲线，则 k( )x210 k y25 kA(5,10) B(，5)C(10，) D(，5) (10，)解析：选 A.由(10k )(5k )0，b0)，x2a2 y2b2由已知可得 P( ，4)，5则有Error!解得Error!双曲线的方程为 x2 1.y245(2013深圳高
2、二检测)若椭圆 1 和双曲线 1 的共同焦点为x225 y216 x24 y25F1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则| PF1|PF2|的值为( )A21 B.212C4 D3解析：选 A.由椭圆的定义得 |PF1| PF2|10.由双曲线的定义得|PF 1|PF 2|4.由( 2 2)4 得| PF1|PF2|21.6已知双曲线方程为 1，那么它的焦距为_x220 y25解析：a 220，b 25，c 2a 2b 225.c5.故焦距为 2c10.答案：107(2011高考上海卷)设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线 1 的一个焦点，则y2m x29m_.解析：由已知条件知 m9
3、52，所以 m16.答案：168(2012高考辽宁卷)已知双曲线 x2y 21，点 F1，F 2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF1PF 2，则| PF1| PF2|的值为_解析：设|PF 1|m，| PF2|n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m n| 2a2 ，m 2n 24c 28，故 mn2，(|PF 1|PF 2|)2(m n) 2(mn) 24mn 44212，于是|PF1| PF2|2 .3答案：2 39根据下列条件，求双曲线的方程：(1)以椭圆 1 的短轴的两个端点为焦点，且过点 A(4，5)；x216 y29(2)以椭圆 1 长轴的两个顶点为焦点，焦点为顶点x2
4、16 y29解：(1)双曲线中 c3，且焦点在 y 轴上，设方程为 1(a0，b0)，将y2a2 x2b2A(4， 5)代入，得 25b216 a2a 2b2.又b 2c 2a 2，即 b29a 2，25(9a 2)16a 2a 2(9a 2)解得 a25 或 a245(舍)，b 29a 24.所求的双曲线方程为 1.y25 x24(2)椭圆的焦点为( ，0)，相应长轴的两个顶点为(4,0)，7双曲线中，c4，a .7b 29，且双曲线的焦点在 x 轴上所求的双曲线方程为 1.x27 y2910已知与双曲线 1 共焦点的双曲线过点 P( ， )，求该双曲线的标准x216 y29 52 6方程解
5、：已知双曲线 1，得 c2a 2b 216925，x216 y29c5.设所求双曲线的标准方程为 1(a0 ，b0)x2a2 y2b2依题意，c5，b 2c 2a 225a 2，故双曲线方程可写为 1，x2a2 y225 a2点 P( ， )在双曲线上，52 6 1. 522a2 6225 a2化简得，4a 4129a 21250，解得 a21 或 a2 .1254又当 a2 时，b 225a 225 0，b0)满足如下条件：x2a2 y2b2(1)ab ；3(2)过右焦点 F 的直线 l 的斜率为 ，交 y 轴于点 P，线段 PF 交双曲线于点 Q，且212|PQ| QF|21.求双曲线的方程解：设右焦点 F(c,0)，点 Q(x，y)，设直线 l：y (xc) ，212令 x0，得 P(0， c)，212则有 2 ，PQ QF 所以(x， y c)2(cx ， y)212x2( cx) 且 y c2y，212解得：x c，y c.23 216即 Q( c， c)，且在双曲线上，23 216b 2( c)2a 2( c)2a 2b2，23 216又a 2b 2c 2， (1 ) ( 1)1，49 b2a2 712a2b2解得 3，又由 ab ，可得Error!b2a2 3所求双曲线方程为 x2 1.y23
