1、“负负得正”的乘法法则可以证明吗？关于“负负得正”的乘法法则，是否可以通过证明来确认这条法则呢？这个问题历来被老师们关注，有关专家对此也有各种看法，现将一篇新近文章转摘如下，供老师们参考。“负负得正”的乘法法则可以证明吗？(田载今 ，中学数学教学参考，2005 年第 3 期)有理数的乘法法则中包括“负负得正”一条， “两个负有理数 相乘，结果（积）是一个正有理数，其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.”例如， （2）（3）=6这条法则对刚学它的人来说，不是很容易理解，多数人是把它硬记下来的.记得水稻专家袁隆平院士说过他学正负数时想不清这个法则的道理，就去向老师请教，老师说：“你记住就行了.”编写
2、教材时，大家为说明这条法则的道理想了很多办法,有的教材以实际问题为背景来说明,有的教材从运算律的角度进行说明,有的教材利用相反数的意义解释教学中,许多老师都反映这条法则的道理不是很好讲.也有人考虑：是否可以通过证明来确认这条法则呢？教科书中哪种说法可以算是对它的证明呢？一种意见认为， “负负得正”有着丰富的实际背景，实践是检验真理的标准，这些实际背景对这一 法则的证明.例如，考虑这样的问题：如果水位一 直以每小时 2 厘米的速度下降，现在水位在水文标尺刻度的 A 处，3 小时前水位在水文标尺的刻度在何处？为区分水位变化方向，我们规定水位上升为正，下降为负；显然 3 小时前水位在水文标尺刻度的
3、A处上方 6cm 处，这可以表示为（2）（3）=6.在许多情况下，都能找到类似这样的“负负得正”的原型，因此， “负负得正”可以认为是通过客观实践检验证明的.上面的意见中，以“实际事物 的原型”替代“数学的证明”的做法是不妥的.数学中的证明不是个例的验证，数学不是物理、化学、生物那样的实验科学，它的命题具有一般性，不能依靠检验个别案例完成对一般结论的证明，而需要依据已有的结论（定义、公理和定理等）经合乎逻辑的推导来证明.这些客观事物中的原型，只有在人为地规定问题中有关量的正负意义之后，即经过数学化、抽象化之后，才具有了“负负得正”的意义，它们只能说明“负负得正”有 实际背景，或作为应用“负负得
4、正”法则的例子，而不能作为逻辑地推导这个法则的根据.另一种意见认为，可以通过运算律来证明“负负得正”这一法则，具体推导过程如下：有了有理数的加法法则以及“正正得正” ， “正负得正”的乘法法则之后，由分配律，有（1）（1）=（1）（12）=（1）1（1）2=1（2）=12=1 . 进而由交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘的结果,例如， （2）（3）=（1）2（1）3=（1）（1）23 =（1）（1） （23）=16=6.于是,得出“负负得正”这一法则.笔者认为,上面的意见中在应用分配律时,用到了 （1）（12）=（1）1-（1）2. （1）当确立了有理数的加法法则以及“正正得正”,“正负得
5、负”的乘法法则,而尚未确立“负负得正”这一法则时,这样做是缺乏根据的.在这时,我们可以确信（1）（21）=（1）2（1）1. 这是因为的左边为 （1）（21）=（1）1=1 .的右边为 （1）2（1）1= -2-(-1)=-2+1=-1.所以(2) 的左边等于右边,即(2)成立.但是,我们不能用类似的方法推出成立,因为的左边为 （ 1）（12）=（1）（1） ，而（ 1）（1）的法则此时尚未成立,所以无法确定的左边是否等于右边,即此时分配律等于（1）（12）是否适用尚且存疑。先确定运算法则,后才能确定那些运算律成立,是合乎逻辑顺序的做法.这就是说,只有当（1）（1）的结果确定后,才能明确(1)
6、成立.因此,像上面那样用分配律推导“负负得正”的法则有循环论证之嫌.还有一种意见认为,如果在确立了通常的有理数加法法则后,把有理数的乘法定义为一种抽象的运算(即先不规定具体的乘法运算法则),并从抽象代数角度约定有理 数集合连同加法、乘法运算构成一个域，那么就能推导出通常的具体的有理数乘法法则，自然也就推出了“负负得正”.笔者认为，事实上并非如此，请看下面反例.我们这样规定有理数的乘法“ ”:对于任意两个有理数 a 、b 它们的“乘积”a b=ab 即这样“乘积”等于通常乘法的乘积的相反数.可以验证，1 是这种“乘法”的单位元，对任意非零有理数 x，他的逆元是 ，并且 (a b) c=a (b
7、c)（结合律） ； a b=b a（交换律） ；x a (bc）=a ba c（分配律）在有理数结合内都成立.因此，有理数集合 Q 连同通常意义的有理数加法“” 、如上定义的有理数的乘法“ ”，满足抽象代数中域的定义，即Q， 是一个域.但是，这个“乘法”法则不是“负负得正” ，而是“负负得负.”上述反例证明.在确立了有理数通常 的加法法则，并约定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域的条件下 ，并不能一定得出“ 负负得正”的乘法法则.第四种意见证明，如果先确立通常的有理数的加法法则以及两个非负有理数的乘法（及算术中的乘法）法则，然后再把含有负因数的有理数乘法定义为一种抽象的运算，并把这种抽象的
8、乘法运算连同算术中的乘法合起来作为整个有理数的乘法法则，并且约定有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域，那么就能推导出通常的有理数乘法法则，自然也就推出了“负负得正”.具体推导过程如下：由于约定了有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域，根据分配律（1）1=（12）1=1121=12=1， （1）2=（1）（11）=（1）1（1）1=1（1）=2， （1）（1）=（1）（12）=（1）1（1）2=1（2）=12=1， 因此， （1）（ 1）=1。在此基础上，由 交换律和结合律可以推出任何两个负数相乘的法则，即两个负有理数相乘，结果（积）是一个正有理数，其绝对值等于相乘两数的绝对值的乘积.这种意见
9、中，作为推理依据除了确定加法法则及部分乘法法则外，还有“有理数集合连同加法、乘法运算构成一个域”这个重要的约定，然而，在乘法法则尚未确定之前，就做出这个约定在逻辑上是否合适呢？应先完全确定有理数的加法和乘法的具体法则，才能根据域的定义判断Q，X是一个域，这是一种合乎逻辑的推理顺序.而像上面那样先约定Q，X是一个域，再由约定去确定乘法法则的过程，恰与正常的推理顺序相反.这样进行本未倒置的分析，目的在于说明确定乘法法则的一种意图，即使新确定适用于 Q 的乘法法则与已有的算术中的乘法法则不矛盾，并且能使Q，X是一个域.这样的分析只能说明确定有理数乘法法则的思想背景，而不能认为是合乎逻辑地导出了有理数
10、的乘法法则.代数中类似上面那样说明某种规定的背景的例子有许多，例如下面的对规定a0=1(a0)的解释.我们已知，同底数幂除法法则，即 aman=am-n(a0,m、nN+，mn)。如果这一法则在 a0,m、n N+，m=n 时也适用，则有 amam=am-m=a0另一方面，显然有 amam=1。于是，规定 a0=1(a0).这里的“这一法则在 a0,m、nN+，m=n 时也适用”事先缺乏根据，而只是一种假设，借以作为后面如何具体定义 0 指数幂的背景.因为“这一法则在 a0,m、nN+，m=n时也适用”这个前提条件，在未定义 0 指数幂前还未落实，所以不能认为由这个空中楼阁可以推导 a0=1(a0)，否则就犯了推理理由不真实和循环论证的逻辑错误.这个问题与前面第四种意见的做法是类似的，类比他们可以帮助我们认识到第四种意见的做法并非证明.综上所述， “负负得正”的乘法法则是数学中的一种规定（定义） ，它不能通过逻辑证明得出.然而，对这个法则的规定既有客 观世界中的实际背景，又有数学内部需要和谐发展的思想背景.教学中适当地介绍这些材料，可以帮助学生认识乘法法则的由来和合理性，但是不能将这样做误认为证明这个法则.
