1、8.3 完全平方公式与平方差公式1了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算2感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察 归纳概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力 21*cnjy*com1完全平方公式(1)完全平方公式：(a b)2 a22 ab b2，(a b)2 a22 ab b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的 2 倍(2)完全平方公式的证明：(ab)2( ab)(ab) a2abab b2(多项式乘多项式) a22ab
2、b2(合并同类项)(3)完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍可简单概括为“首平方，尾平方，积的 2 倍夹中央” 【来源：21cnj*y.co*m】公式中的 a， b 可以是单项式，也可以是多项式对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算【例 11】用完全平方公式计算(1)(x2 y)2；(2)(2 a5) 2；(3)(2 s t)2；(4)(3 x4 y)2；(5)(2x y3 z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成( t2
3、 s)2，然后再计算，也可以把2 s 看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成3 x 与 4y差的平方，也可以看成3 x 与4 y 和的平方；(5)可把 2x y 看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成 2x 与 y3 z 的和平方，再用差平方公式计算解：(1)( x2 y)2 x22 x2y(2 y)2 x24 xy4 y2；(2)(2a5) 2(2 a)222 a55 24 a220 a25；(3)(2 s t)2( t2 s)2 t22 t2s(2 s)2 t24 ts4 s2；(4)(3 x4 y)2(3 x)22(3 x)4y(4 y)29 x224
4、xy16 y2；(5)(2x y3 z)22 x( y3 z)2(2 x)222 x(y3 z)( y3 z)24 x24 xy12 xz y22 y3z(3 z)24 x2 y29 z24 xy12 xz6 yz.(1)千万不要与公式( ab)2 a2b2混淆，发生类似( ab)2 a2b2的错误；(2)切勿把“乘积项”2 ab 中的 2 漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题
5、，由于(3 x4 y)2与(3 x4 y)2是相等关系，故可以把(3 x4 y)2转化为(3 x4 y)2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法(4)完全平方公式的几何解释如图是对( a b)2 a22 ab b2几何意义的阐释大正方形的面积可以表示为( a b)2，也可以表示为 S S S S S ，又 S ， S ， S ， S 分别等于 a2， ab， ab， b2，所以 S a2 ab ab b2 a22 ab b2.从而验证了完全平方公式( a b)2 a22 ab b2.如图是对( a b)2 a22 ab b2几何意义的阐释正方形的面积可以表示为( a b)2，也可以表示
6、为 S S 大 S S S ，又 S 大 ， S ， S ， S 分别等于a2， ab， b2， ab，所以 S a2 ab ab b2 a22 ab b2.从而验证了完全平方公式( a b)2 a22 ab b2.【例 12】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于 a， b 的恒等式：_.21cnjycom解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即( a b)24 ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，
7、即( a b)2，根据面积相等有( a b)24 ab( a b)2.【版权所有：21 教育】答案：( a b)24 ab( a b)22平方差公式(1)平方差公式：(a b)(a b) a2 b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差(2)平方差公式的证明：(a b)(a b) a2 ab ab b2(多项式乘多项式) a2 b2(合并同类项)(3)平方差公式的特点：左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式利用此公
8、式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式如( a b)(a2 b)不能用平方差公式计算【例 21】计算：(1)(3 x2 y)(3x2 y)；(2)( m n)( m n)；(3)(2 x3)(2 x3)分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中 3x 对应“ a”，2 y 对应“ b”；(2)题中相同项为 m，互为相反数的项为 n 与 n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将 21 教育名师原创作品原式变形为(32 x)(32 x)，然后运用平方差公式计算解：(1)(3 x2 y)(3x2 y)(3 x)
9、2(2 y)29 x24 y2.(2)( m n)( m n)( m)2 n2.(3)(2 x3)(2 x3) (32 x)(32 x)(3) 2(2 x)294 x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的 a，哪一项相当于公式中的 b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式www.21-cn-(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即 a2 b2；若把小长方形旋转到小长方形的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S S S S ( a b)(a b)从而验证了平方差公式( a b)(a
10、 b) a2 b2.【例 22】下图由边长为 a 和 b 的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是_分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a 的正方形除去边长为 b 的正方形得到的，所以它的面积等于 a2 b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和这两个梯形的面积都等于 (b a)(a b)，所以梯形的面积和是( a b)(a b)，根据阴影部分的面积不变，得12(a b)(a b) a2 b2.因此验证的一个乘法公式是( a b)(a b) a2 b2.21*cnjy*com答
11、案：( a b)(a b) a2 b23运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式【例 3】计算：(1)2 013 22 0142 012；(2)103 2；(3)198 2.分析：(1) 2 0142
12、 0131,2 0122 0131，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将 1032改写为(1003) 2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将 1982改写为(2002) 2，利用两数差的平方公式进行简便运算 【出处：21 教育名师】解：(1)2 013 22 0142 0122 013 2(2 0131)(2 0131)2 013 2(2 013 21 2)2 013 22 013 211.(2)1032(1003) 2100 2210033 210 000600910 613.(3)1982(2002) 2200 2220022 240 000800439
13、204.4利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单 【来源：21世纪教育网】在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性【例 4】先化简，再求值：5( m n)(m n)2( m n)23( m n)2，其中 m2， n .15解：5( m n)(m n)2( m n)23( m n)25( m2 n2)2( m22 mn n2)3( m22 mn n2)5 m25 n22 m24 mn2 n23 m26 mn3 n210 n22 mn.当m2， n 时
14、，原式10 n22 mn10 22(2) .15 (15) 15 655乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：位置变化：(b a)( b a) a2 b2.符号变化：( a b)( a b)( a)2 b2 a2 b2.系数变化：(0.5a3 b)(0.5a3 b) (0.5 a)2(3 b)2.指数变化：(a2 b2)(a2 b2)( a2)2( b2)2 a4 b4.增项变
15、化：(a b c)(a b c)( a b)2 c2，(a b c)(a b c) a2( b c)2.增因式变化：(a b)(a b)( a b)( a b)( a2 b2)(a2 b2)( a2 b2)2.连用公式变化：(a b)(a b)(a2 b2)(a4 b4) a8 b8.【例 51】计算：(1)( a b1)( a b1)；(2)(m2 n p)2；(3)(2x3 y)2(2x3 y)2.解：(1)( a b1)( a b1)( a b)1( a b)1( a b)21 a22 ab b21.(2)(m2 n p)2( m2 n) p2( m2 n)22( m2 n)p p2 m
16、24 mn4 n22 mp4 np p2.(3)(2x3 y)2(2x3 y)2(2 x3 y)(2x3 y)2(4 x29 y2)2(4 x2)224 x29y2(9 y2)216 x472 x2y281 y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：( a b)2 a2 b2或( a b)2 a2 b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式【例 52】计算：(21)(2 21)(2 41)(2 8
17、1)(2 2n1)的值分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(21)，这样就可巧妙地运用平方差公式了解：(21)(2 21)(2 41)(2 81)(2 2n1)(21)(21)(2 21)(2 41)(2 81)(2 2n1)(2 21)(2 21)(2 41)(2 81)(2 2n1)(2 41)(2 41)(2 81)(2 2n1)(2 2n1)(2 2n1)2 4n1.6乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算解题时，灵活运用
18、乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答21 世纪教育网版权所有【例 6】一个正方形的边长增加 3 cm，它的面积就增加 39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为 x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x3) 2 x239，求解即可解：设原正方形的边长为 x cm，则( x3) 2 x239，即 x26 x9 x239，解得 x5(cm)故这个正方形的边长是 5 cm.7完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数” ，注意为使用公式创造条件(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： a2 b2( a b)22 ab；
19、a2 b2( a b)22 ab；( a b)2( a b)24 ab；( a b)2( a b)24 ab；( a b)2( a b)22( a2 b2)；( a b)2( a b)24 ab 等在公式( ab)2 a22ab b2中，如果把 a b， ab 和 a2 b2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个21 教育网(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用 a22 ab b2( a b)2， a22 ab b2( a b)2.21世纪*教育网【例 71】已知 a2 b24 a2 b50，则 的值是_a ba b
20、解析：原等式可化为( a24 a4)( b22 b1)0，即( a2) 2( b1) 20，根据非负数的特点知 a20 且 b10，从而可知 a2 且 b1.然后将其代入求 的值即a ba b可答案：13【例 72】已知 a b2， ab1，求 a2 b2的值分析：利用完全平方公式有( a b)2 a22 ab b2，把 2ab 移到等式的左边，可得(a b)22 ab a2 b2，然后代入求值即可www-2-1-cnjy-com解：( a b)2 a22 ab b2， a2 b2( a b)22 aB a b2， ab1， a2 b22 2212.21cnjy涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式本题也可从条件出发解答，如因为 a b2，所以( a b)22 2，即 a22 ab b24.把 ab1 代入，得 a221 b24，于是可得 a2 b2422.2-1-c-n-j-y
