1、1.1 正数和负数1相反意义的量(1)生活中存在大量具有相反意义的量生活中，有许许多多具有相反意义的词语，例如向东和向西、西北和东南、向前和向后、向左和向右、上升和下降、零上和零下、收入和支出、盈利和亏本、买进和卖出等生活中存在着数不清的具有相反意义的量，如前进 3 m 与后退 5 m，收入 300 元与支出 80 元等(2)具有相反意义的量的特点具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成为相反意义的量；与一个量成相反意义的量不止一个，如与上升 2 m 成相反意义的量就很多，如：下降 1 m，下降 0.2 m 等；相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反；二是它们都具有数量如前进8 m
2、 与前进 5 m，上升与下降都不是相反意义的量，因为前者意义不相反，后者缺少数量；相反意义的量中的两个量必须是同类量，如节约汽油 3 吨与浪费 1 吨水就不是具有相反意义的量(3)应用方法相反意义的量可用正数和负数表示至于哪一种量为正，可以自由确定，当已知一个量用正数表示时，与其相反意义的量就用负数表示，反之亦然习惯上把“前进、上升、零上温度、增加”等规定为正，而把“后退、下降、零下温度、减少”等规定为负谈重点 对相反意义的量的理解表示相反意义的量必须具有相反的意义，且数量必须带单位表示相反意义的量的数值可以不同【例 11】 添上恰当的词，使前后构成具有相反意义的量(1)库存增加 1 000
3、千克与_500 千克；(2)商店买进 50 支铅笔与_20 支铅笔；(3)股票上涨 a 元与_b 元解析：所填的词必须使前后的量具有相反的意义增加与减少、买进与卖出、上涨与下跌分别具有相反的意义答案：减少 卖出 下跌【例 12】 (1)如果零上 3 记为3 ，那么8 表示的意义是 _ _；(2)如果下降 3 米记为3 米，那么上升 5 米应记为_ ；(3)如果前进 5 千米，记为5 千米，那么后退 6 千米应记为 _；(4)支出 10 元人民币记账为10 元，那么20 元表示的意义是 _；(5)某仓库运出货物 20 千克记为20 千克，那么运进 35 千克货物应记为_解析：(1)零上 3 记作
4、3 ，即“”号表示“零上” ，那么与它相反意义的量“零下”就记作“” ；(2)本小题的“”号表示“下降” ，因此， “上升”应记为 “” ，也就是说，具有相反意义的两个量，把其中的一个规定为正时，那么另一个即为负；(3)(5)小题类似答案：(1)零下 8 (2) 5 米 (3) 6 千米 (4)收入 20 元人民币 (5)35 千克析规律 正数、负数的实际应用本题中的“零上、上升、前进、收入、运进”表示的量均为正数，与它们意义相反的量则都用负数表示2.正数与负数(1)正数的概念：为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中一种意义的量，如零上温度、高于海平面高度等规定为正的，用原来熟悉的
5、数如 1,6,7,9,8 844 来表示它们，这样的数叫做正数正数的前面也可添上正号“” ，如1，5，16，通常情况下，正数前的正号可省略不写(2)负数的概念：把与正数相反意义的量，如零下温度、低于海平面高度等规定为负的，用在正数前面添上负号“”的数，如3，14，155 来表示它们，这样的数叫做负数(3)关于正数和负数的几点说明正数前面的“”号可以省略，如3 前面的“”号可省略不写；负数前面的“”号不能省略，如负 5 写作5.正数和负数是相对而言的，取决于作为基准的量，但一般情况下，人们习惯这样来规定正数和负数：收入为正，支出为负；零上为正，零下为负；高出海平面高度为正，低于海平面高度为负判断
6、一个数是否是负数，关键是看是否正数前面带有“”号，而不是看它是否有“”号辨误区 正、负数的意义对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“”号的数是正数，带“”号的数是负数而应该理解为“所有大于零的数都是正数，所有小于零的数都是负数” 【例 2】 指出下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？2，2 ，3 ，204，0.02，3.65，5 .13 15 17分析：根据正数和负数的意义来判断，尤其要弄明白负数的意义：在正数前面加上“”号解：正数是：2 ，3 ，204，3.65；13 15负数是：2，0.02，5 .173零的意义(1)0 既不是正数，也不是负数，是我们认识的数中唯一的一个“中性数” (2
7、)0 比任何正数小，比任何负数大，它是正数与负数的分界(3)0 在计数时表示“没有” (4)0 是表示具有相反意义量的基准数此时它不能表示没有例如：海拔 0 米的地方表示它与基准的海平面一样高，收支平衡可记作 0 元辨误区 正确判断字母表示的数的性质要特别注意：“大于 0”是正数的本质，当用字母表示数时，不能只看带不带“”号，不要误认为“a”前面是正号就是正数，也不要以为“a”前面带有“”号就是负数，关键是看这个数是不是大于 0.【例 3】 下列说法正确的是( ) A零是正数不是负数B零既不是正数也不是负数C零既是正数也是负数D不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数解析：根据正数和负数
8、的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案.0 既不是正数，也不是负数只有 B 符合答案：B4有理数(1)有理数的概念整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数；整数和分数统称为有理数(2)有理数的分类有理数可以按照它的定义分为整数和分数两类即有理数还可以按照性质分为：正有理数、零和负有理数三类即谈重点 有理数的分类既是正数又是整数的数是正整数，既是负数又是整数的数是负整数，既是正数又是分数的数是正分数，既是负数又是分数的数是负分数【例 4】 把下列各数填在相应的横线上：35,0.7,80， ，0.8 8,0,3.14，7.9，234，3，10.1909 13正整数_；正分数_；负整数_
9、；负分数_解析：先把有理数分为正数和负数两类，再把正数分为正整数和正分数两类，把负数分为负整数和负分数两类，分别填写在相应的横线上答案：80,234,3 0.7,3.14， 35，10 ，0.88，7.913 19095正确理解具有相反意义的量的意义在实际生活中，常常把零上温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正，而把与它们意义相反的量规定为负，用负数表示引入负数后， “0”不再仅仅表示没有，而是正数和负数的分界，具有初始位置的意义(1)相反意义的量基准明确就是说变化过程方向明确，数量明确，不受其他数的影响，也 不用关 心起始点，此类问题只要规定好一个方面为正，则另一个方面为负就可以(2)相
10、反意义的量基准不明确有些数据型的量，起点不是以 0 开始的，则需要把某一个数值视为基准点 0，如平均数等，以这个基准值为界，以上的记为“” ，以下的记为“” 把具有相反意义的量的表示方法和取“标准”(或“起始”位置) 等知识结合在一起，综合性较强，是近几年中考的热点之一【例 51】 某项科学研究，以 45 分钟为一个时间单位，并记每天上午 10 时为 0,10时以前记为负，10 时以后记为正，例如，9：15 记为1,10：45 记为 1 等等依次类推，上午 7：00 应记为( )A3 B4 C 2.15 D7.45解析：本题中的标准是上午 10 时为 0，表示方法是 10 时以前记为负，10
11、时以后记为正，要求用新规定来表示 7：00.7：00 到 10：00 是 180 分钟，180454，因为 7：00 在10：00 以前，所以 7：00 应记为4.答案：B【例 52】 一个物体可以左右移动，若规定向右移动为正，则向右移动 10 m 应记作_，向左移动 4 m 应记作_，8 m 表示物体_,0 m 表示物体_ _，向左移动2 m 就是向_移动 2 m.解析：正、负数可以表示具有相反意义的 量，若向右记为“正” ，那么向左则记为“负” ；或者说若正数表示向“右” ，那么负数表示向“左” ，零表示不动答案：10 m 4 m 向左移动 8 m 原地不动 右【例 53】 小王骑车向东走
12、了 10 千米，又向西走了 5 千米怎样用正负数表示？解：若规定向东为正，则小王骑车向东走了 10 千米，表示为10 千米，向西走了 5千米，可表示为5 千米；若规定向西为正，则小王骑车向东走了 10 千米，表示为1 0 千米，向西走了 5 千米，可表示为5 千米6.有理数的分类有理数有两种基本的分类方法，一种分类根据定义，另一种分类根据数的符号，即有理数的性质不论哪种分类形式都要有明确分类的依据，分类时要做到不重不漏，两种分类形式不能混淆必须弄清楚非负数和非正数的范围正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数注意：“小数”属于分
13、数；“自然数”属于整数在所有含“正” “负”字眼的数集中，都不能出现“0” 因为“0”既不是正数也不是负数【例 6】 把下列各数填在相应的括号内：3,2，1， ，0.58,0，3.141 592 6,0.618， ，5.23.14 139整数： ；负数： ；分数： ；非负有理数： ；负分数： 答案：整数：3,2，1,0， ；负数： ； 3， 1， 14， 0.58， 3.141 592 6，分数： ； 14， 0.58， 3.141 592 6，0.618，139，5.23，非负有理数： ；2，0，0.618，139，5.23，负分数： . 14， 0.58， 3.141 592 6，7正负数
14、在实际生活中的应用(1)在股票交易中的应用日常生活中水位的变化，股市行情变化，温度升降等都可以用正数和负数表示，不仅能表示出变化的方向，而且还能表示出变化幅度的大小例如：在股市上，上涨记为“” ，下跌记为“” ，不涨不跌记为“0” (2)在产品检测中的应用某一产品质量是否合格，都有一定的指标数值，而实际生产的产品，可能在这一标准上下波动，波动值在规定的范围内称为合格，超出了规定值，则不合格，某粮店出售的某种品牌的面粉袋上标有质量为(250.2) kg 的字样，从中可以看出，在这袋面粉中，最多可以超出标准质量 0.2 kg，最低低于标准质量 0.2 kg，它的标准值是 25 kg.一般把产品的标
15、准值记为 0，在标准值以上的记为正，以下的记为负解技巧 根据标准数确定正、负数抓住标准数，标准以上记为“” ，标准以下记为“” ，即比标准数量多多少记为“”的多少，少多少记为“”的多少【例 71】 股市有风险，投资须谨慎，王先生上周五买进某种股票 3 000 股，每股16 元，下表为本周五个交易日的涨跌情况(单位：元) ：星期 一 二 三 四 五每股涨跌 0.8 1.5 0.5 1.1 0.6相对于前一个交易日，哪天股票是上涨的，哪天是下跌的？分析：根据股票交易表示法，正数表示上涨，负数表示下跌解：周一、周二、周五这三天是上涨的，周三、周四是下跌的【例 72】 某品牌奶粉标准质量是 454 克
16、，超出 2 克的记为2 克，若低于标准质量3 克以上，则视为不合格现抽取 10 袋进行检测，结果如下：袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10记作 2 0 3 4 3 5 4 4 5 3(1)这 10 袋中，有几袋不合格？(2)质量最大的是哪袋，实际质量是多少？(3)质量最小的是哪袋，实际质量是多少？分析：此题是在基准数的 基础上波动，所以在基准数的基础上加减解：(1)有 3 袋不合格，分别是第 4 袋、第 6 袋和第 9 袋(2)质量最大的是第 7,8 袋，实际质量均是 4544458( 克)；(3)质量最小的是第 6,9 袋，实际质量均为 4545449( 克), 8.按规律排列的有
17、理数当数的范围扩大到有理数之后，按一定的规律排列有理数，就成为考查有理数的意义以及分类的有效手段，并且成为中考命题的热点研究数学、学习数学、应用数学的过程，实际上就是探索、研究数学规律并运用数学规律的过程解决此类问题的关键是建立数与它的序号之间的关系，其中数的符号是首先要考虑的，数的符号一般由数的序号的奇、偶性来决定对于数字规律性问题，我们要注意观察各部分数字的变化规律以及各数字之间的关系解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种重要的数学思想方法数学史上有很多重要的发现如哥德巴赫猜想、费尔玛大定理等就是由数学家的探索、猜想而得到的，学习数学必须不断去探索、猜想、总结规律，才会有所发现，有所创造【
18、例 8】 观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的三个数，并说出第 99 个数是什么？第 2 013 个数是什么？(1)1，1,1，1,1，1,1，1，_， _，_，；(2)1，2,3，4,5，6,7，8，_，_ _，_，；(3)1， ， ， ，_，_ _，_，.12 1314 1516 17分析：(1)(2)小题全部是按正数、负数、正数、负数的规律排列的一组整数，(1)去掉数的符号后是 1，(2)去掉数的符号后是按顺序排列的自然数； (3)是按负数、正数、负数、正数的规律排列的一组分数，其分母是按顺序排列的自然数，即分母就是数的序号，分子是 1.解：(1)1，1,1，第 99 个数是 1，第 2 013 个数是 1；(2)9，10,11，第 99 个数是 99，第 2 01 3 个数是 2 013；(3) ， ， ，第 99 个数是 ，第 2 013 个数是 .18 19 110 199 12 013谈重点 寻找数字规律的方法仔细观察数字以及它的符号的特点，把数和它的序号建立联系，特别注意其中符号的确定方法
